Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 97

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 97)

Это означает, что если заданы и каких-либо элемегпов а,, а„в произвольнол! расширении А поля К, то 463 кошш пгосгого пдсллл 4 !2В! сущесз вует изолгорфизлг Н(и„..., сс„) ... К (сс<, ..., я,'), который оставляет элементы из К на месте, а элементы я„... ..., я„переводит в некоторые элементы и;, ..., а,~ поля 21. Ло к а за тел ь от в о. Элементы я„..., а„можно перенумеровать так, чтобы а„..., я, были ачгебраически независимы над К, а осзальные а, алгебраически зависели над К от а„..., я,. Выберем теперь аг, ..., а„' в л) алгебраически независимыми над К.

Тогда существует некоторый изоморфнзм К (сс„..., а,) — К (я<, ..., сс',), (1) ко~орый оставляет на месте все элементы из Н, а и„..., а, переводит в а<, ..., и',. Если теперь г=п, то все требуемое доказано. Если же г и, то а„, является корнем некоторого неразложимого многочлена <р(х) с коэффициентами из К(а„... ..., я,). Этому многочлену соответствует многочлеп <р'(х) с коэффициентами из К (ссь ..., сс,'), который обладает корнем а,'., в 1К Согласно 2 41 изоморфизм (1) люжно продолж<пь до изоморфизма К(я„..., и„,,) —.-К (и<, ..., а,'„,), (2) который переводят а,, в а,'<, Продолжая закилг способом, мы в конце концов получим искомый изоморфизм К(а„..., а„) — 'К(ссг, ..., я„') . (3) $ 128.

Корни простого идеала Пусть опять л) — универсальное поле над основньв| полем К и пусть е — кольцо многочлепов К 1х< ..., х„1. Если с„ ..., 2„— элементы произвольного расширения поля К, то согласно 2 127 мы всегда можем найти изоморфизм полей, который переводит $„ в элементы из лс.

Следовательно, для дальнейших теорем безразлично, будут ли 2„ ..., 2„ элементами поля 12 или какого-либо другого расширения Л поля К. Если считать, что 2< — элементы из сс, то Ч будет точкой аффинного пространства Я„(О) Такая точка $ называется оби(нза корнел< некоторого идеала Г, сели из включения р ~ р следует, что )(з) = О, и наоборот. В этом случае идеал р состоит в точности из тех мпогочленов р'(х), для которых р"(ь) = О. Сейчас будет показано, что такой идеал р обязательно прост. Далее будет показано, что каждая точка ~ является общим корнем некоторого однозначно определенного простого идеала р~«п, наоборот, каждьгй простой идеал 1-2-'-< обладает общим корнем 2, определенным однозначно с точностью до изоморфизма. 464 тсогия идвллов в кольцлх миогочлгпов [гл хш Теорема 1.

Если $ь ..., с„— элеменпил произвольного расширения поля К, то многочлены !' кольца о= К[х„..., х„), для которых 1(с) =О, состовляют отличный от о простой идеал. Доказательство. Из Г(Ц) =О и д(с) =О следует, что ГЯ) — д($) = О. Из 1($) =О следует, что ГД) й(Е) =О. Следовательно, указанные выше многочлены действительно составляют некоторый идеал. Из ((с)д(й) =О и д(з) ~э О следует, что ((Е) = О, так как в поле нет делителей нуля. Следовательно, указанный идеал прост. Так как в нем нет единичного элемента, то он отличен от всего кольца ь. Пример. Пусть $„..., 1„— линейные функции одной переменной 1 с коэффициентами из поля Н: Ь=-а;+М. Тогда простой идеал описанного вида состоит из всех много- членов )(хь ..., х„) со следующим свойством: ((а,+(),1, ..., а„+ + ()„г) равно нулю тождественно по 1, нли, выражаясь геометрически, идеал состоит нз всевозможных многочленов, которые обращаются в нуль во всех точках прямых, задаваемых в и-мерном пространстве с помощью параметрического представления (1).

Этот пример может служить наглядной иллюстрацией к теоремам данного и следующего параграфов. Теорема 2. Если р обозначает построенный в теореме 1 нроспюй идеал, то поле Л= Н (й„..., с„) изоморфно полю частных П кольца классов вычетов кольца е по идеалу г, причем элементы $„..., $„при этом изоморфизме соответствуют классам вычетов переменных х,, ..., х„. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 2 — кольцо тех элементов из Л, которые записываются в виде многочленов от Еь ..., $,. Тогда Л=К (Е„... Д„) является полем частных кольца 2. Сопоставим каждому элементу ((Рь ..., $„) из 2 класс вычетов из е1г, представляемый многочленом ) (х„..., х„). Так как из 1(в) — к(ь) =-О следует, что 1 — д=О(р) или !'— = д(Г), и наоборот, то указанное отображение взаимно однозначно. Очевидно, что сумма переходит в сумму, а произведение — в произведение.

Тем самым кольца 2 и е~р изоморфны. Но тогда и их поля частных Л н П тоже изоморфны. Теорема 1 утверждает, что каждая точка й является общим корнем однозначно определенного простого идеала В. Теорема 2 утверждает, что точка $ определяется идеалом р однозначно с точностью до изоморфизма.

Теперь будет доказана Теорема 3. Каждый отличный от е простой идеал обладоет обьцил~ корнем Е нод универсольнылт полем П. Доказательство. Многочленам из ь мы сопоставим элементы некоторого нового множества ю', которое содержит поле э !м! когпи пРООТОГО идаллА коэффициентов К, причем двум сравнимым по модулю ) много- членам будет соответствовать один элемент, а двум несравнимым многочленам — два различных элемента; при этом элементы из К, по определению, будут переходить в себя, Сделать это всегда возмонЛно, потому что в силу неравенства рФо два элемента из К сравнимы по модулю р только тогда, когда они равны.

Элементы, соответствующие элементам х„..., х„, обозначим через ьТ, ..., $„. Множество с' взаимно однозначно отображается на кольцо классов вычетов кольца о по идеалу г. Таким обоазом, мы можем определить на о' сложение и умножение, которые соответствуют сложению и умножению в кольце е!Г, и тогда ю' окажется изоморфным ко !ьцу классов вычетов; поэтому оно не имеет делителей нуля н для него можно построить поле частных Л. Каждый элемент из о' соответствует по крайней мере одному многочлену г из !х а потому он может быть записан в виде )'($„...Д„). Следовательно, а' равно К(Д„..., й, а Л равно К Я„... Д„). Согласно ч 127 поле Л изоморфно вкладывается в универсальное поле 12; поэтому можно считать, что Ле= ьг. Элемент )(с„..., ~,) равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен 1 принадлежит нулевому классу вычетов по модулю Следова!ельпо, ~ является общим корнем идеала Г, чем и доказывается теорема 3. Согласно теореме 3 каждый простой идеал р ~ в в универсальном поле й обладает общим корнем 1, который в силу теоремы 2 определяется идеалом р однозначно с точпосТыо до изоморфизма.

Точка $ является корнем идеала Г, а потому принадлежит многообразию М этого идеала. Идеал, соответствующий многообразию М, — это снова г, потому что если многочлен 1 обращается в нуль во всех точках многообразия М, то, в частности ) Д) = О, и поэтому 1" Е р.

Так как соответствующни идеал прост, многообразие М иеприводимо. Мы получили следующую теорему: Теорема 4. Каждый простой идеал ) Фо соопгветствует некоторому неприводимому многообразию корней и служит идеалом этого многообразия. Если исходить из пепрпводимого многообразия М, то соответствующий ему идеал 1 согласно й 126 прост. Корнями идеала 1 являются в точности точки из М. Если $ — общий корень идеала р, то $ называется общей точкой многообразия М над полел! К. Таким образом: Точка З многообразия М является общей точкой этого многообразия нод полем К, если каждое равенство 1" Я) =О с коэффициентами из К, выполняющееся для с, вьтолняется и для всех и!очек л!ногообразия М, Согласно теореме 3 каждое ненриводимое многообразие М обладает общей точкой. Обратно, если некоторое многообразие М обладает общей точкой, то соответствующий идеал многообразия 466 тгоппя яде!лов н колы!ах м!юсо'!хи'нов !Г.ч.

хч! М согласно теореме 1 является простым, так что М неприводимо. Тем самым доказана Теорема 5. Многообразие М обладает общей точкой над К тогда и только тогда, когда оно неириводимо над К. Задача !. Идеал к!ха — х,, кеха — х х) — х)хе) ( в кольце К [хы х,, ,''ха] является простым, так как он имеет обвсий корень !М, сй са).

~ 129. Размерность Пусть $ — общая точка над К некоторого неприводнмого многообразия М или общий корень соответствующего простого идеала р. Если г — степень трансцендентности системы [ч„..., ~„[, то среди элементов 5; имеется ровно г алгебрапчески независимых, скажем, ~4,..., ц„; остальные элементы алгебранчески зависят от этих. Можно рассматривать с„..., с, просто как переменные, тогда все Е; являются алгебраическими функциями этих г переменных, Степень трансцендентяостн г остается неизменной, если общая точка при некотором изоморфизме поля переходит в другую общую точку с'; таким образом, число г зависит только от идеала !ч оио называется размерностью простого идеала р и многообразия М.

Очевидно, что размерность простого идеала р л= о принимает значения от О до п. Единичному идеалу е, у которого вообще нет корней, приписывается размерность — 1. Если $ — общий корень некоторого простого идеала р, а Г— произвольный корень того же идеала, то каждому многочлену 1(С) из К [С[ можно сопоставить к4ногочлен 1(Ч') из К [Ц. Так как из ) Я) = д (кь) следует, что 1(х) = — д (х) (т), а отсюда — равенство !'(Ч')=д(~'), то отображение !(с) !'Я') однозначно. Так как, очевидно, сумма переходит в сумму и произведение — в произведение, то мы ил!есм го ма ма рфн з и НЯ НИ.

Если он является изоморфизмом, то, конечно, $' является общим корнем идеала р, и наоборот. В случае нульмерного идеала р все точки $ алгебраичны над К; поэтому все рациональные функции от с являются целыми рациональными: К(с) — — Н[Ц Следовательно, К[с] является полем. Если в этом случае ~' — другой корень данного идеала, то гомоморфизм (1) должен быть изоморфизмом, потому что поле не ил!еет гомоморфизмов, кроме взаимно однозначных и таких, которые переводят все элементы в нуль.

Характеристики

Список файлов книги