Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Если и — изо.шрованная компоненпга идеала ж, то и Ч' — изолггрованная компонента идеала гп'. Описанный метод сведения всех примарпых идеалов к нуль- мерным дает средство выяснения, принадлежит ли заданный многочлен ) задапномУ идеалУ ш==-(1ь ..., (,) в пРедположсиип, 480 тво! ия идеалов в кольцлх многочлкнов (гл ху! что задано разложение идеала ш на примарные компоненты: и! =[я! . !1 1. Действительно, для каждой примарной компоненты й мы находим соответствующий нульмерный идеал !1', а затем расширяем поле К Д», ..., 8«) так, чтобы 1' распадался на примарные идеалы 1,'„обладающие единственным корнем а!"! каждый, а затем методом 8 132 с помощью «нетеровых условий» 1'=0(!!', «,"), «,',=(х!.,— а!!1, !, ..., х„— а!е!) (1) выясняем, принадлежит ли лшогочлен )' идеалам !!(=(!«', «'„а), а потому и идеалу !'. Так как корни идеалов «,' сопряжены над К(8„..., фк), то и сами идеалы «,', а потому и идеалы !1,', сопряжены над К Д!, ..., $л); следовательно, достаточно для каждого й' рассмотреть лишь один !«,'.
Таким образом, нужно присоединить лишь один корень каждого из идеалов !!'. Пусть Як!г, ..., $„) — один из таких корней. Вместо р,' мы имеем, следовательно, простой идеал «« = (хл„— с„„..., х, — $„), а вместо условия (1) можем взять более удобное условие (' = 0(ш', ф; (2) действительно, условие (2) также необходимо для сравнения [=0(и!), а из (2) немедленно следует (1). Условие (2), которое должно удовлетворяться для каждой примарной компоненты идеала ш, известно под названием крикчерпя Ген!(елыпа или и!еорелы Геш(елыпа о корнях.
В частности, если й — изолированная компонента идеала ш, т. е. «' — изолированная компонента идеала !и', то можно, как это было сделано в 5 122, определить показатель р из условия ро =— 0 (!и', ро+ '). $ Из условий (1) для [=0(«) наиболее явно обнаруживается геометрический смысл примарных идеалов: принадлежность примарному идеалу накладывает некоторые требования на начальные члены разложения многочлена ( по степеням разностей х, — $„...
х„— $а в некоторой общей точке $ алгебраического многообразия М, например, требование, что многочлен ( должен обращаться в нуль в этой общей точке или что гиперповерхность 1 =- 0 в этой общей точке должна касаться некоторой другой гиперповерхности, содержащей многообразие М, и т. д. Зада ч а 1. С помощью метода сведения к нульмерным идеалам доказать, что каждый (л — 1)-мерный прямарный идеал в К [х,, ..., х«1 явчяется главным.
Зада ! а х. Каждын несмсщанныи (п — 1)-мерныи идеал в К (хг, ..., х„1 является главным и наоборот. Глава семнадцатая ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ Развитие теории идеалов имеет с исторической точки зрения два источника: теорию алгебраических чисел и теорию идеалов в кольцах многочленов. Обе эти теории, однако, возникли из совершенно различных по своей постановке задач. В то время как основной задачей теории идеалов в кольцах многочленов является определение корней и установление необходимых и достаточных условий для принадлежности некоторого многочлена заданному идеалу, в теории целых алгебраических чисел исходным является вопрос о разложении на множители.
К этому вопросу можно прийти, например, в следующих рассмотрениях. В кольце чисел а + Ь ~' — 5, где а и Ь вЂ” целые рациональные числа, не имеет места теорема об однозначности разложения элементов на множители. Например, число 9 обладает двумя существенно различными разложениями на простые ') множители: 9 — 3.3=(2+)г 5)(2 )Г 5). Это обстоятельство побудило Дедекинда расширить область рассматриваемых элементов до области идеалов (так им впервые были названы эти объекты; Дедекинд следовал за Куммером, который добился однозначности разложения на простые множители в полях деления круга с помощью введения некоторых «идеальных чисел»).
Ему удалось показать, что в этой области каждый идеал равен однозначно определенному произведению простых идеалов. Действительно, если в указанном выше примере ввести простые идеалы рх=(3, 2+ф' — 5), ),=(3, 2 — )/ — 5), з) Числа 3 и 2 ш )' — 5 неразложимы: это следует, из того, что их норма 1ср. ф 47) равна 9. Если бы они были разложимы, то либо оба сомножителя имели бы норму + 3, либо один из них норму -~- 1. Но чисел вида а+ Ь)г — 5 с нормой -к 3 не существует, так как иначе бьшо бы аз + 5Ьа = -~- 3, что в области целых чисел невозможно.
Числом же с нормой ш 1 обязательно является один из обратимых элементов ак 1, так как аз + 5Ьз = нд 1 мажет выполняться лишь яри а = нс 1, Ь = О. 4ва ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ 1Гл. хчп то, как легко подсчитать, (3) = у!те; (2 + ф':5) = рг; (2 — )г - 5) = р,, откуда для главного идеала (9) получается (единственное) разло- жение (9) =рЫ В этой главе будет изложена классическая (дедекиндова) теория идеалов целых элементов в модернизованной аксиоматической форме, предложенной Э. Нетер "). $134.
Конечные Я-модули Мы рассматриваем здесь модули над некоторым (не обязательно коммутативным) кольцом Я, т. е. модули, для которых кольцо Я является областью левых мультипликаторов. В большинстве рассматриваемых случаев модули содержатся либо в Я (и, таким образом, являются левыми идеалами в Я), либо в некотором колыге 4:, содержащем данную область мультипликаторов Я. Под конечньм Я-модулем подразумевается такой модуль И, который порождается конечным базисом (а„..., а„), или, иначе, элементы которого могут быть выражены как линейные комбинации фиксированных элементов а„..., а„с целочисленными коэффициентами и коэффициентами из Я: т=г,а,+...+г„а„+п,а,+...+пьа» (г, ен Я, и„— целые числа).
(!) В этом случае пишут И=(а„..., аь). Говорят, что для модуля И выполнена теорема о целях делителей, если каждая цепь подмодулей У1„'111„... в И, где каждый предыдущий член является собственным подмодулем следующего члена (т. е. последующий является «делителем» предыдущего): %! ~%»~..., обрывается после конечного числа шагов. Теорема. Если в модуле И выполнена теорема о цепях делителей, то каждый подмодуль в И имеет конечный базис и наоборот. Эта теорема является обобщением теоремы из з Н5 о базисе идеала и теоремы о цепях делителей. Доказательство в данном случае совершенно аналогично.
Чтобы найти базис для произвольно выбранного подмодуля %, нужно взять в Я какой-нибудь элемент а,. Если (а,) =Я, то больше доказывать нечего; в про- ') Моейег Е. АЬ«1гай1ег Ап1Ьап Вег !ВеаНЬеог!е 1п а!ЕеЬга1»снеп ЕаЫ-ппв ЕппЬ1!опепйогрегп,— Ма1Ь, Апп„1626, 66, 3. 26 — 61. конвчныв л модели э !34! тявном случае выберем в Я элемент а„не принадлежащий подмодулю (а,), Если (а„а,) =Я, то опять-таки больше доказывать нечего; в противном случае выберем следующий элемент а, и т.
д. Если известно, что цепь модулей (а,) с (а,, а,) с (а„а„а,) с .. обрывается, то Я обладает конечным базисом. Обратно, если каждый подмодуль в И обладает конечным базисом и Иг с -*и)ь с... — цепь подмодулей в И, то объединение З всех Ȅ— тоже подмодуль, обладающий по условию конечным базисом: З = (а„..., а,). Все а,, однако, содержатся уже в некотором И„, участвующем в данной цепи; следовательно, З: — И„, откуда З=И„. Таким образом, цепь обрывается на И„. О том, при каких условиях в модуле И выполняется теорема о цепях делителей, говорит следующая Теорема.
Если в кольце Я имеет место теорема о цепях делителей для левых идеалов и И вЂ” произвольный конечный Я-модуль, то в И имеет место теорема о цепях делителей для Я-модулей. Вот утверждение, равносильное этому (в силу предыдущей теоремы): Если в Я каждый левый идеал обладает конечным базисом и модуль И обладает конечным базисом над Я, то каждый подмодуль в И имеет конечный базис над Я. Доказательство совершенно аналогично доказательству теоремы Гильберта о базисе (ф 115). Пусть И=(а„..., аь) и Я— произвольный подмодуль в И. Каждый элемент из Я можно записать в виде (1).
Если в выражении (1) среди 2Ь коэффициентов г„..., пь последнее 2Ь вЂ” ! (т. е. начпная с (1+1).го и заканчивая 2Ь-м) равны нулю, то мы говорим о выражении длины ч-1. Рассмотрим все входящие в Я выражения длины(1. Коэффициенты при 1-м слагаемом в них составляют, как легко видеть, некоторый левый идеал в Я или в кольце л', целых чисел.
Этот идеал обладает конечным базисом (Ьц, ..., Ь„,). Каждый из Ь„является последним (1-м) коэффициентом (г, или пиь) некоторого выражения (!), которое мы обозначим через Вкк В„=г,а,+...+Ь„а, или В„=г,а +...+Ь„а, ь. 484 ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ [гл. хоп Мы утверждаем теперь, что все выражения В„(1 = 1, ..., 2л; и =1, ..., з,) составляют базис в И. Действительно, каждый элемент (1) из И длины 1 может быть освобожден от 1-го коэффициента с помощью вычитания некоторой линейной комбинации элементов Вц, ..., Вьи (с коэффициентами из И или д,— в зависимости от значения 1), т. е. данное выражение (1) можно свести к выражению меньшей длины. Тем же способом полученное выражение можнс изменить и еще уменьшить длину; продолжая таким образом, мы в конце концов придем к нулю.
Значит, каждый элемент из И может быть представлен в виде линейной комбинации элементов В„„что и требовалось доказать. Если один из идеалов (Ьг„..., Ь„,) окажется равным нулю, то соответствующие элементы В„не надо включать в базис. $ 135. Элементы, целые над кольцом Пусть Я вЂ” подкольцо кольца Ф. Элемент 1 из ч. называется целым над Я, если все степени ') принадлежат конечному И-модулю вида (ат, ..., а ) или если все степени 1 линейно выражаются через конечное множество элементов а„ ..., а кольца ч, в виде 1Р = г а, +... + г„а + п,а, +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
