Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 104
Текст из файла (страница 104)
3 ада ч а 2. Пусть 2 =Р(ггл) и И вЂ” кольцо, целозамкнутое в Р. Доказать, что те и только те злемепты 9 =а+ Ь ) г( являю(ся целыми над И, у которых следы и нормы 5 (с)=3+9'=(а+ЬГ' о)+(и — Ь т (()=2а, (Ч (9) = $ 9' = (о + Ь )' г() (о — Ь )Г(() = и' — Ьза принадлежат кольцу И. 3 ада ч а 3. Если в задаче 2 И=К]х] — кольцо многочленов от одной переменной и о — некоторый много шеи, не имеющий кратнык множителей, то 9 а+Ь)(г( является целым злсментом тогда и только тогда, когда а и Ь принадлежат И.
3 а л а ч а 4. Если в задаче 2 И=Я вЂ коль целых чисел и о — некоторое число, свободное от квадратов »), то один из базисов главного порядка в слу!+У(( чае ((ф 1 (4) состоитиз чисел 1, Рс((, а в случае ((= 1 (4) — из чисел 1, 2 з) Кгц!1 !Ч. Хцг Т()еог!е бег апйеше)пеп ха])11!пхе.— Ыа!)). Апп., 1928, 99, 3. 51 — 70. з) То есть не делится на квадрат простого числа. — Прим. Ред. 493 АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ! ~оп % !37. Аксиоматическое обоснование классической теории идеалов Пусть о — произвольное целостное кольцо (коммутативное кольцо без делителей нуля), в котором выполнены следующие три аксиомы: 1.
Теорема о цепях делителей для идеалов. П. Все отличные от нуля простые идеалы не имеют делителей. П1. Кольцо о целозамкнуто в своем поле частных Х, Примерами таких колец могут служить: 1) кольца главных идеалов; 2) главные порядки, которые получаются при конечных расопирениях поля частных по схеме из 5 136 из колец главных идеалов (в частности, главные порядки в числовых полях и полях функций от одной переменной), Элементы поля г., являющиеся целыми над о, а потому, согласно !П, принадлежащие кольцу о, будут называться просто целыми. В частности, единичный элемент из г является целым, так что о — целостное кольцо с единицей.
Наряду с идеалами из о (или о-модулями внутри о) мы будем рассматривать и о-модули внутри Х, т. е. подмножества поля Е, которые вместе с а и Ь содержат также а — Ь, а вместе с а — элементы пд где г — любое целое число, Если такой о-модуль а обладает конечным базисом, то а называют дробным идеалом. Если о-модуль а состоит только из целых элементов (а с=о), то он является идеалом в обычном смысле или, как мы будем теперь говорить, целым идеалом, Под суммой или наибольшим общим делителем (о, Ь) двух о-модулей а и Ь мы подразумеваем (как и в случае идеалов) модуль всевозможных сумм а+Ь, где а ен о, Ь ен 1; равным образом под произведением аб подразумевается модуль, порожденный всевозможными произведениями аЬ или совокупностью всех сумм ~' а,Ь, Суммы и произведения о-модулей с конечными базисами снова являются о-модулями с конечными базисами.
В последующих теоремах мы обозначаем готическими буквами лишь ненулевые целые идеалы в кольце о, а буквой в— с индексами или без — постоянно обозначается какой-нибудь ненулевой простой идеал. Л е м м а 1. Для каждого идеала о существует произведение простых идеалов !ь делящих а, кратное идеалу и: Р1ро рь — О (а) Доказательство. Если идеал а простой, то лемма верна. Если же и не является простым, то существует произведение двух главных идеалов оо такое, что Ьо= — О(а), ЬНиО(а), сф=О(а).
цвлыв хлгввгаичвскив элементы !гл хчп Идеалы Ь'=(Ь, а), с'=(с, а) являются собственными делителями идеала а и Ь'г' = (Ь, а) (с, а) = (Ьс, Ьа, аб а') = 0 (а). Если считать данную лемму выполненной для идеалов Ь' и с', то существуют некоторое произведение р„...р,=О(Ь') и некоторое произведение р,,,...р,=О(с'). В этом случае произведение р,...р,р,.т...р, делится на Ь' г', а потому и на а, и лемма оказывается выполненной для а. Но если бы лемма была неверна для идеала а, то она была бы неверна и для одного из делителей а' или с', этот делитель в свою очередь обладал бы делителем (собственным), для которого данная лемма не выполнена, и т.
д. Таким способом мы получили бы бесконечную цепь собственных делителей, что, согласно аксиоме 1, невозможно. Следовательно, лемма верна для каждого идеала а. Лемма 2. Если идеал р простой, то из аЬ=О(р) следует, что а=— 0(р) или Ь= — 0(р). Д о к а з а т е л ь с т в о. Если а ~ь 0 (р) и г Ф 0 (р), то существуют такой элемент и из а и такой элемент Ь из Ь, что оба они не принадлежат р. Но их произведение аЬ, находясь в а(Ч должно было бы принадлежать р, а это противоречит тому, что идеал р прост.
Символом р-' мы будем обозначать совокупность (целых или дробных) элементов а, для которых ар — целый идеал. Очевидно, р-' — некоторый с-модуль. Лемма 3. Если р~ а, то в р-' суи!ествует нее(елый элемент. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть с — произвольный отличный от нуля элемент из р. Согласно лемме 1 существует произведение простых идеалов со свойством: р1р,...р,=О(с). Мы можем предположить, что это произведение несократимо, т. е. его нельзя заменить никаким частичным произведением типа р,...
...р, = 0(с). Так как произведение р,р,...р, делится на р, то один из его сомножителей, скажем, р„должен делиться на р, а потому совпадает с р. Тем самым рр,... р, = 0 (с), р,...р,ФО() Следовательно, существует не принадлежащий идеалу (с) элемент Ь из произведения р,...р,. Для него справедливы соотношения гЬ= О(рр,...р,) =О( ). Следовательно, идеал рЫс целый, а потому Ь1с принадлежит идеалу р-'. Но так как Ьц!зО(с), то элемент Ь1с не является целым, что и требовалось доказать. $ >зп лксиомАтичвсков Оаоснозлниа Теорема 1.
Если р=е, то р р->=в. Доказательство. Согласно определению идеала р-' имеет место включение с ы р-', так что Р =ар с р-'Р. Следовательно, целый идеал рр-' является делителем идеала р, а потому он равен либо р, либо о. Предположим, что Р'Р '=Р Тогда Р.(Р->)'=(Р1>->)р '=Рр >=Р, Р(р-')в=р> и т. д.
Следовательно, если а ~ 0 — пронзвольнь>и элемент из Р и Ь вЂ” произвольный элемепт из р-', то элемент аЬ' ~ Р(Р-')' является целым, в силу чего все степени элемента Ь представляются как дроби с одним и тем же фиксированным знаменателем а. Поэтому элемент Ь целый. Это оказывается выполненным для произвольного элемента Ь из р-', что противоречит лемме 3. Теперь мы можем доказать основную теорему о разложении: Теорема 2. Каждый идеал а является произведением простых идеалов.
Доказательство. Можно считать, что а чье. Пусть в соответствии с леммой 1 Р>Р,... р, =— 0 (>) и число г выбрано наименьшим; тогда ни одно из укороченных произведений не сравнимо с нулем по модулю а. Пусть далее р— произвольный отличный от о простой идеал, явлюощийся делителем идеала а (таковой обязательно существует согласно лемме 1). Но тогда произведение р>...р, делится на р и, следовательно (в силу леммы 2), одно из р> делится на Р, а потому совпадает с р, поскольку идеалы р> не имеют делителей. Мы можем считать, что Р> =-р. Ул>ножим (1) на Р-', тогда получится Р,...р,= 0(р-' ) = — 0(в); следовательно, р-'а — целый идеал, который включается в произведение менее чем г простых идеалов. Проведем теперь индукцию по г, Предположим, что для идеалов, которые включаются в произведение менее чем г простых идеалов, отличных от нуля, теорема уже доказана (дяя идеалов, включающихся лишь в о ли н простой идеал, отличный от нуля, теорема очевидна).
Тогда, в частности, теорема верна для Р-'>, т. е. Р 'з = Рз ° Рз. Умножение с обеих сторон на р дает нужное представление для а. Единственность такого представления гарантирует Тео рема 3. Если а = — 0(Ь) и з =Р>...Р„Ь=Р>...р,', то кажда>й отличный от а простой идеал, входящий в разложение идеала 496 ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ сгл. хоп (, входит и в разложение идеала а и по крайней мере столька же раз.
Дока за тельство. Пусть «(Фо. Так как «1 — делитель идеала а, то, как и выше, мы приходим к выводу о том, что «( — это один из идеалов «,. Пусть, например, «,=«(. Тогда «,-'а = 0 («,-'(), «т 'т— = )а « «т ()= — «и ° ° ° «н Предположим, что наше утверждение уже доказано для меньших значений а (для Е=О, о=о утверждение тривиально); тогда каждый отличный от о идеал из списка «'„..., «', входит в список , «, по крайней мере столько же раз, Отсюда следует требуемое. Следствие 1.
Представление идеала а в виде произведения простых идеалов единственно с точностью до порядка следования сомножителей и с точностью до числа сомножителей, равных о. Следств ие 2. Из делимости следует представление в виде произведения: если а = — 0 (Ь), тс а = (с при некоторо,и целом идеале с. Действительно, в качестве с нужно взять произведение простых сомножителей, входящих в разложение идеала а, которые остаются свободными после составления произведения, равного о. 3 а д а ч а. Разложить на простые множизели-идеалы главные идеалы (2) и (3) и главном иоридие числового ноля $ ()' — 5).
5 138. Обращение и дополнение полученных результатов Мы видели, что из аксиом ! — П! (3 137) следуют теоремы 2 и 3, гарантирующие однозначное разложение идеалов на простые сомножители. Это положение обратимо: Пусть о — целостное кольцо с единис(ей Пусть в о каждый целый идеал а представи.и в виде произведения простых идеалов: а=«г«а ... «„и пусть, если а делится на (з, то в каждом разложении для а каждый отличньш от о множитель из разложения для о участвует по крайней мере столько же раз.
Тогда в кольце о выполняются аксиомся 1 — П1. Доказательство. Теорема о цепях (аксиома 1) немедленно следует из того, что каждый целый идеал а =«Р' ... «~' обладает лишь конечным числом делителей о=«,' ... «,"(о;~рс). В частности, простой идеал «делится только на «и на о, так что выполнена и аксиома П. Аксиома П! (целозамкнутость кольца г в поле частных 2„) доказывается так. Предположим, что Х вЂ” произвольный элемент поля х', целый над о; тогда некоторая его степень, скажем )"', 497 ОБРЛЕ!ение и дополнение з !за линейно выражается через Л", ..., Л"-', или, иначе говоря, принадлежит е-модулю (=(Л', Л1, ..., Л -').
Если Л=а!Ь, то модуль ( с помощью умножения всех его элементов на идеал Ь =(Ь"-') становится целым идеалом. Очевидно, что ( удовлетворяет равенству (1=(. Умножение на Ь' дает ((Ь)1 = ((Ь)Ь. В силу единственности отсюда следует, что (Ь = (, и, таким образом, если обе части умножить еще на Ь-( '), (=е. Следовательно, элемент Л принадлежит кольцу Р, что и требовалось доказать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
