Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Другое ее доказательство дал К а ифе ре р (Кар)егег Н.) — 3!1ецпцзЬег. Вауег, А!са(1. Мйпсйеп, !929, Я. 179. Система форм сс'„..., )с с описанным выше свойством называется системой резулыпантое форм сп ..., с„. Если формы с"; являются линейными, то и-строчные определители, составленные нз всевозможных наборов по и из г данных форм, составляют систему результаитов.
Для форм Тп са от двух переменных х„ ха обычный результант й является системой резульгаитов. Точно так же в общем случае, когда даны п форм от л переменных, система результантов состоит из единственного результанта Я. См. по этому поводу Гурвиц (Нцгцй13 А.), !)Ьег ТгацЬе!13!оггпеп. — Апп. ((! Ма1. (3), 1913, 20. 5 131. Примарные идеалы Основная задача теории идеалов в кольцах многочленов состоит в том, чтобы установить, принадлежит ли многочлен заданному идеалу п!=(уи ", и Под словом «установить» здесь имеется в виду не фактическая проверка в конечное число шагов, хотя таковая всегда воз«южна '), а метод проверки, который одновременно выяснял бы строение идеала и выявлял геометрическое соотношение между корнями и его элементами Г.
Один из таких методов был впервые предложен ') См. К е н н г (Кптд д). Е(п)е)(пп» (п С(е апяете(пе Таеппе сег а)деЬ- са(ас)~еп 6гоаеп.— Ее)р«(ди (903, а также Гс р ма н ((4егпсапп Сп). Ене Ггаяе лес епсп(си юмеп зсиг)((е !п оег Тьепг)е с(ег Ро!употшеа)е, — Ыа(Ь Лпп., вь, 8. 736 — 788. 472 тно~ ия идеалов в кольцах многочлснов !гл хш (а=001) для 1=1, ..., в, !а = — 0 (1п). откуда Тем сам ьш заново доказана т е о р е м а Г и л ь б е р т а о к о ри я х 8 130), причем дополнительно замечено, что показатель р зависит только от идеала щ. Далее, если ! — миогочлен, которьш не содержит ни одного из многообразий примарных идеалов ~1н ..., «„то в каждом '1 1, а а'а сг Е, хщ Тйеоме Вег Моаа!п ипа !аеа!е,— Ма!!1.
Апа., !905, 60, 5. 20 — !16, Ласкерам'), рассмотревшим разложение идеалов на примариые компоненты. Основная идея метода Ласкера состоит в следующем: согласно теореме о разложении из 9 118 каждый идеал |п представим в виде пересечения примарных идеалов: и! =(чм ..., Я,1. Следовательно, для того чтобы многочлен 7 принадлежал идеалу яь необходимо и достаточно, чтобы 1" принадлежал всем примарным идеалам 1, Таким образом, для принципиального решения поставленной выше задачи нужно лишь определить условия, при которых многочлен принадлежит примарному идеалу. Согласно 9 117 каждому примариому идеалу ! соответствуют простой идеал р и показатель р со следующими свойствами: 1) да=О(а) =0(!); 2) из )д=О(~1) и )4.=0(р) следует, что а= — 0(я).
В случае ~1 =~:о простой идеал р соответствует, в свою очередь, некоторому неприводимому многообразию М. В силу 1) все корпи идеала 1 являются одновременно корнями идеала р и наоборот. Следовап1ельно, многообразие примарного идеала 9 ~ с неприводилао и равно многообрази~о соопавепгспгв!пои)его простого идеала. Пусть й — прнмарный идеал относительно простого идеала р показателя р и М вЂ” многообразие этого идеала. Если 7" — некоторый многочлен, содержащий многообразие М, то !=0(р) и, следовательно, )а=О(н).
Но если ! не содержит М, то в соответствии со свойством 2), сформулированным выше, в каждом сравнении по модулю ~1 можно сокращать иа !. Таким образом, у нас есть уже два важных средства, часто позволяющих обнаружить справедливость сравнения )а = 0 (й) или соответственно а =— О (1). С помощью теоремы о разложении они сразу переносятся на произвольные идеалы а1=1~1п ..., ~1,). Действительно, если 7'— многочлен, содержащий многообразие М идеала ш, и если р— наибольший из показателей примарных идеалов 9„..., )„то 423 4 !зп НРИМАРНЫЕ ИДЕАЛЫ сравнении ф — = 0 (пг) можно сократить на Г" и получить у=О(!п), поскольку соответствующее сравнение имеет место для всех примарных идеалоа 1, Кратко и ярко это можно выразить так; а: ()) = ж; согласно 2 119 это равенство имеет место тогда и только тогда, когда Г не делится ни на один из простых идеалов р„ ..., г„ соответствующих идеалу !п (и, таким образом, не содержит ни одного из соответствующих многообразий).
Согласно 2 119 для произвольного идеала п имеет место несколько более общее утверждение: равенство а:п=щ выполняется тогда и только тогда, когда и не делится ни на один из идеалов р„..., р, или, что то же самое, когда многообразие идеала и не содержит ни одного из многообразий простых идеалов р„..., рм Эта теорема часто оказывается полезной при отыскании простых идеалов р„..., р„соответствующих заданному идеалу щ. Именно, чтобы установить, совпадает ли неко. торый простой идеал р с одним из простых идеалов рг, берут произвольный идеал и, делящийся на ), например, о=р, и смотрят, выполняется соотношение (1) или нет, т. е, выясняют, следует ли д= — 0(!и) из дз= —.0(!п).
Если (1) имеет место, то р не совпадает ни с одним из р . Под размерностью примарного идеала подразумевается размерность соответствующего простого идеала (и многообразия). Г1од размерностью или наивысшей размерностью произвольного идеала пело подразумевается наибольшая из размерностей примарных компонент (или соответствующих простых идеалов). Если размерности всех примарвых идеалов, соответствующих данному идеалу и, равны одному и тому же числу й, то идеал и назысается несмешанныл! идеалом размерности д. Зада ч а 1. Идеал (х*, хека+1) является примарным с показателем 2 и соответствующим простым идеалом (хи хзхз+!).
3 ад а ч а 2, Каждая степень ро неразложимого и отличного от константы многочлена р порождает (и — 1)-мерный примарный идеал. Каждый отличный от константы многочлен Г порогкдает несмежанный (п — 1)-мерный идеал. Задач а 3. Если г — простой идеал из задачи 1 4 !28, то идеал р' не является примарным. (Многочлен (х,хз — х))е — (х1 — х,хз) (х( — х хз) имеет множитель хп а второй яногкитель не прин.длсжнт р',) гг>г хш тггг>гггя ндгллов в кольцлх многочленов ч 132. Основная теорема Нетера С помощью разложения на примарные идеалы мы решим здесь вопрос о том, каким условиям должен удовлетворять многочлен 1", чтобы принадлежать нульмерному идеалу ш. Предпошлем этому оосу>кдению одну л е м м у, которая полезна и в других случаях; Если Х вЂ” роси ирение >голл К и 1"; 1„..., 1,— многочлены из К (х1=-К 1х„..., х„), ио из г" = — 0(гг„..., г',) в Х [х) след>генг, чпт 1= — 0(1„..., ),) в К 1х1.
До к а з а тел ь ство. Пусть где дг — многочлены с коэффициентами из Х. Выразим эти коэффициенты через конечное множество линейно независимых элементов 1, о>„го,„... поля Х с коэффициентами из К. Тогда каждое слагаемое дД в (1) приобретает следующий вид: (йе+ Фго>г+ а>го>з+ ° ° .) )г где игл — многочлены с коэффициентами из К.
Из (1), таким образом, следует, что )=Хам1+ УВЛ+ "Ха Л+" Так как элементы 1, ын о>„... линейно независимы, то слагаемые с 1, о>„ы,, слева и справа должны совпадать, откуда ) =~; агч)» что и требовалось доказать. На основании этой леммы мы можем для ответа на вопрос о справедливости сравнения 1 = 0()„ ..., ),) произвольно расширить основное ноле К, например, присоединить к нему некоторые корни идеала (г'„ ..., ),). Если рассматриваемое сравнение окажется выполненным в кольце Х (х), то оно было выполнено и до расширения поля.
Нульмерное многообразие при подходящем расширении основного поля распадается на конечное число отдельных точек; следовательно, при желании всегда можно предполагать, что все рассматриваемые нульмерные простые идеалы обладают лишь одним корнем (а не системой сопряженных точек, как обычно). Нульмерный простой идеал р не имеет делителей, потому что В ЭТОМ СЛуЧаЕ КОЛЬПО КЛаССОВ ВЫЧЕТОВ Е,гг, СОГЛаСНО Э 129, яВЛяется полем, О>сюда следует, что каждый нульмерный примарный 475 4 1зг) ОснОВЯАя теоремА нетеРА идеал однократен, потому что примариый идеал, которому соответствует простой идеал, не обладающий делителями, является, согласно з 122, однократным.
Далее, из теорем й 122 следует, что каждая нульмерная изолированная примарная компонента й идеала а представляется в виде ч=(пк р'), (2) причем показатель р является наименьшим среди чисел о со свойством ро= — 0(пк р'ы). (3) (5) Действительно, в этом случае можно для каждого значения а оборвать степенные ряды на слагаемых степени о и получить совпадение обеих частей по модулю р, Таким образом, признак (5) требует слишком много: достаточно, чтобы обе части в равенстве (5) совпали не полностью, а только до слагаемых степени «р, т) 0 сходимости которых, конечно, ничего не предполагается. ') Подразумевается, что при формальном разложении по произведениям степеней переменных ут обе части в (б) совпадагот. Выясним смысл соотношения (2) в случае, когда основное поле предварительно расширено так, что все рассматриваемые оДнокРатные иДеалы ) облаДают лишь оДним коРнем а = (аз, ..., а„).
Равенство (2) утверждает, что для сравнения 7=0(ч) необходимым и достаточным является сравнение 7=0(пи р'). (4) Пусть идеал 1п задается базисом (7„..., 7',). Положим у,=хч — ат, тогда р == (у„..., у„). Если считать, что все рассматриваемые многочлены расположены по возрастающим степеням элементов ут, тО ра СОСтОИт ИЗ ВСЕХ тЕХ МНОГОЧЛЕНОВ, В КОтОрЫЕ ВХОдят ТОЛЬКО произведения элементов у, общей степени =-р.
Соотношение (4) означает, таким образом, что 7 совпадает с некоторой линейной комбинацией У, 'д,,г, с точностью до слагаемых степени, большей или равной р. Поэтому если умножить 7„..., 7, на 1 и на все произведения элементов у, общих степеней ~р, а затем обозначить через йн ..., й, многочлены, получающиеся после отбрасывания всех слагаемых степени =--р, то (4) будет означать, что 7 является линейной комбинацией многочленов й„..., й, с коэффициентами из основного поля с точностью до слагаемых степени «р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
