Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Отсюда х = у+ Ьг =— О (1 " '-'(, Ьр<'"!), ! ' ! чем п доказывается (2). Согласно теореме 1б 8 124), из (2) следует включение р<» ! <- <и э и так что р<"'! =р<"'+и для всех т==-.з, т. е, ! ! р(!! я(., ((=ко<"л(= (3) Копыто р пе имеет делителей нуля. Согласно теорел<е 3 (~ 124) пересечение символических степеней идеала р, является нулевым являются делителями элемента Ь, а потому, в соответствии с отмеченным выше, эти идеалы примарны относительно простого идеала 1.
Число различных идеалов в этой цепи не может быть больше, чем длина прпмарного идеала (Ь); поэтому, начиная с некоторого места, идеалы в цепи станут равными: (ро! Ь) - —. (1 <!-!. и Ь) —— 458 ОБпыя тгОРия н!и:.Алов комму Глтцвных кОлец 1гл. хч идеалом. Таким образом, из (3) следует )ин = (0), 1 (4) (5) р ~ рг ~ ть — ь обрывается не позднее, чем на р„ В частности, эта теорема имеет место тогда, когда в=-ц=(Ь,, ..., Ь,) — примарный идеал и р — соответствующий простой идеал. Так как каждый идеал имеет конечный базис, оказывается справедливым следующее утверждение: Каждая собственная цепь простых идеалов (5) обрывается на конечном спасе. По поводу доказательства и применения результатов к теории локальных колец можно рекомендовать упомянутую вылив книгу Норткотта.
Однако степень )пн является примарным идеалом относительно 1 простого идеала р„в то время как (0) является простым идеалом р, Получилось противоречие. Следовательно, любая цепь вида (1) невозможна. С помощью повторного применения теоремы о главных идеалах Крулль доказал следующее обобщение: Если р — изолированный простой идеал, принадлежащий идеалу ш = (Ь„..., Ь,), а ~ о, то любая собственная цепь простых идеалов Глава шестнадцатая ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ В этой главе общая теория идеалов будет применена к кольцам многочленов с=К [х„..., х„), где К вЂ” произвольное поле. Кроме обшей теории идеалов, будут предполагаться известными главы 1 — 6 и 1О. 5 126.
Алгебраические многообразия Пусть 11 — произвольное расширение основного поля К. Набор из и элементов С„..., С„поля 2 называется точкой $ аффинного пространства А„(й). Точка $ называется корнем многочлена г из кольца с= К [х„..., х,), если [Дн ..., $„) --О. Г1од алгебраичеснил~ многообразием М в аффинном пространстве А„(с1) подразумевается множество всех общих корней некоторого конечного числа мпогочленов ~н ..., 1„, т. е. множество решений уравнений 1,(й) = О, ..., 1,(й) = б. Если из многочленов 1, ..., 1, постРоить идеал о = ([н ..., 1,), то ясно, что общие корни многочленов [о ..., [, являются корнями всех многочленов 1=ИА+ +й 1.
идеала ~; таким образом, многообразие М может быть охарактеризовано и как множество общих корней всех многочленов данного идеала илн, как мы будем говорнтьь корней идеала а. То, что в данном случае в идеале в фиксирован конечный базис, не накладывает никаких ограничений на идеал а в силу теоремы Гильберта о базисе (% 115). Итак: всякое многообразие М состоит из корней некоторого идеала а кольца ь= — К [х„..., х„) в аффиннолг пространстве А„(11), Множество М называют многообразием (нли многообразием корней) идеала а, Любой делитель идеала а, т.
е. любой идеал с, содержащий идеал ч, определяет некоторое подмногообразие в М. Однако может оказаться, что разные идеалы определяют одно и то же многообразие М. Среди всех таких идеалов один является особенно важным, а именно — множесзво всех многочленов 1', абра. щаюшихся в нуль во всех точках многообразия М. Очевидно, ТЕОРИЯ ИДЕ!ЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛСНОВ !ГЛ хч! это множество является некоторым идеалом и!. Идеал !в называют соответствующим л!ногообразию М, Многообразием идеала ш вновь является само М, так что М определяется с помощью ш однозначно (и наоборот), В кольце ь = К (к„ ..., к„~) выполняется теорема о цепях делителей, а потому выполнено условие максил!алю|ости (з 115).
Отсюда следует: Принцип минимальности дл я многообразий. В каждом непустом множестве л!ногообразий М существует некоторое минимальное многообразие М*, т. е. многообразие, в котором не содержится ни одно другое многообразие данного множества. Доказательство. Каждое многообразие М имеет свой идеал ш и различным многообразиям М соответствуют различные идеалы я!.
В множестве этих идеалов ш существует максимальный идеал ш*, который соответствует некоторому многообразию М"'. Многообразие М" и является минимальным в данном множестве. Если многочлен 1 принимает во всех точках многообразия М нулевое значение, то говорят, что л!ногочлен 1' содержит л!ногообразие М (так как и в самом деле многообразие 1= — О содержит многообразие М). Таким образом, идеал ш многообразия М состоит из всех многочленов, содержащих М. Пересечение М Пй! двух многообразий М и У вновь является многообразием. Действительно, если М состоит из корней идеала а =(!'„..., !',), а й! — из корней идеала й =(д„..., д,), то М П й! состоит из корней идеала (сн 1)=И„..., г„а!, ..., у,) Объединение М () й! многообразий также является многообразием.
Действительно, оно определяется пересечением а () 1 (или произведением а 1). Прежде всего, каждая точка объединения является корнем всех многочленов из а или корнем всех много. членов из 1; таким образом, это в любом случае — корень всех многочленов нз ЯП'Р (и, в частности, из а й). Если же какая. либо точка е не принадлежит объединению М() У, то в а существует многочлен 1, а в 6 существует многочлен д, которые не обращаются в нуль в точке с; но тогда произведение ф, принадлежащее аП'г (и а 1), не обращается в $ в нуль, а потому $ не есть корень пересечения ЯП'в (или произведения а Р).
Следовательно, корни пересечения ЯП1 (как и произведения а й) — это точки объединения М () й! и только они. Начиная с этого места, условимся, как это обычно делается в алгебраической геометрии, о том, что рассматриваемые много образна не пушим. Многообразие М, которое можно представить в виде объединения двух (непустых) собственных подмногообразий, называется 461 АлгеьглпчГские многооБРАзпя 4 1261 составным нли приводимым. Если хотят подчеркну гь, что оба подмногообразия определяются уравнениями с коэффициентами нз основного поля К, то говорят: многообразие М приводимо над >гелем К.
Многообразие, не являющееся приводимым, называется неприводимым или неразложимым (над основным полем К). Критерий. Многообразие М является неприводимым над К >погда и только тогда, когда соответствующий идеал прост, т. е. когда из того, чпю >у содержит М, следует, что ( или д содержит М. Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала предположим, что М приводнь>о: М =М,() М, где М, и М,— собственные подмногообразия в М. В идеале л>ногообразия М, существует многочлен ), не содержащий М, так как иначе имело бы место включение М, ~ М.
Точно так же в идеале многообразия М, су>цествует много- член д, не содержащий М. Произведение ~д содержит М, и М„ а потому и М. Следовательно, идеал многообразия М не является простым. Теперь предположим, что М неприводимо. Если существует произведение )у, содержащее М, но прп этом ни ), ни д не содержит М, то М можно представить как объединение двух собственных подмпогообразий М, и Мм которые определяются следующим образом: М> состоит из всех точек многообразия М, удовлетворяющих уравнению >" =О, а М, состоит из всех точек многообразия М, удовлетворяющих уравнению д=-О. Каждая точка $ многообразия М принадлежит тогда М, или М, потому что из ~($)дф)=0 следует, что (($)=0 или у(с)=0.
Это противоречит предположению о ~еприводимости многообразия М. Точно так же доказывается утверждение: Если неприводииое многообразие М содержится в обьединении двух л>ногообразий М, и Мм пю М содержится или в М, или в Ме Соответствующее утверждение имеет место и тогда, когда М содержится в объединении нескольких многообразий М,, ..., М,. Теорема о разложении. Каждое многообразие М, определенное над полем К, предспшеляется в виде объединения конечного числа неприводимых над К многообразий. До к аз атал ь ство.
Предположим, что существуют многообразия М, которые не представляются в виде объединения неприводимых многообразий; тогда среди этих М существует минимальное многообразие М*. Оно должно быть приводимым, а потому представляться н виде объединения двух собственных подмногообразий М, и М,. В силу предположений минимальности многообразия М* подмногообразия М, и М, должны представляться в виде объединения неприводимых многообразий; но тогда таким является и М*, что противоречит предположению. Тем самым доказана теорема о разложении. 462 тгюпия ильялов в кольцях многочлгнов )гл. хщ Если из разложения удалить все лишние члены, то полученное разложение будет единственным с точностью до порядка следования многообразий.
Действите.пьио, если м=-у,(), ()...(),), (2) — второе разложение, то 7т содержится в объединении лн!огообразий lь а потому а силу своей неприводимостп — в одном из многообразий (п которое при подходящей нумерации можно считать многообразием эт. Точно так же г'т содержится в одном из 7„: !т с=-. )т : (а.
Если бы было )!чь1, то многообразие 7т в (1) бьио бы лишним; следовательно, у=1 и !, =,гт. Точно так же получается !я= 7а, ..., 7,:= и', И с==а, а ЭТИМ И ДОКаЗЫВаЕтСЯ ЕДИНСтВЕННОСтЬ разложения. Те же самые теоремы имеют место и тогда, когда рассматриваются точки Сл принадлежащие лишь некоторой фнксированнои части аффинного просгранства Аа(12). См. Г а б и х т (НаЬ|с!ч! %.), Торо!оййасье Е)кепасиа)1еп а!йеьга1асйег Мапо!21а)!!ййе1!еп. — Ма!Ь. Лпп., 122, Б, 181. О разложении неприводимого пад )4 многообразия при расширении основного поля см. мою работу ОЬсг Л.
т!ге!1а Мепьсйгйпбг1пх бег а!2еЬгамсйеп Осоше1ис,— Лыь Ма!Ь. 8спь Сп!ч, НагпЬпгж 22, Б. 158. $127. Универсальное поле В классической алгебраической геометрии всегда считалось, что поле (а, которому принадлежат координаты точек $, является полем комплексных чисел. Новейшая алгебраическая геометрия исходит, однако, из произвольного основного поля Н. Расширение ь) основного поля, содержащее координаты точек й, как показал Андре Вейль, целесообразно брать универсальным иад К, т. е, считать, что, во-первых, ь) олгебрапчески замкну!по и, во-вторых, О плсеет бесконечную степень пгрансчендентности над К. Если задано поле Н, то такое универсальное поле можно построить, присоединив сначала к К бесконечно много переменных и„ и,„ ..., а затем взяв, в соответствии с у 72, алгебраическое замыкание. Использование универсального поля основано на следующей теореме: Дгобое расширение Н (а„..., а„), получающееся присоединениел! конечного числа элементов а„..., а, к Н, можно изоморфно вложить в ьа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
