Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Во втором же случае ь = — (0). Теорема 2. Если о — нуль-примарное кольцо и а~о, то пересечение всех сп1епеней идеала а равно нулю: 9 =[а, и', ...) =(0). (4) Доказательство. Г!режде всего следует доказать включение 1: — аг, Для этой цели представим 419 в виде пересечения примарпых идеалов й = [4!1 ° ° 1 1. Для каждого 1 идеал 4й делится на цй следовательно, 9 илн некоторая степень а" делится на яо Но идеал Ь делится на каждую степень а"; следовательно, в обоих случаях 9 ~ !о Так как это включение имеет место для всех 1, справедливо равенство ь = й. Согласно теореме 1 отсюда следует, что 9 =(0).
Для простых идеалов ряба имеет место более сильное утверждение: Теорема 3. В любом нуль-примарнож кольце пересечение всех силзволических ппепеней рьч отличного от в простого идеала р является нулевым идеалол4: [Г, 1ом, р'", ...) =(0) (б) Доказательство. Пусть 5 — совокупность всех элементов из ь, не делящихся на р. Возьмем кольцо частных ов. Пусть 411 — расширение идеала р в кольце ав. Очевидно, расширением идеала р' будет ф'. Однако сужение идеала '4)' на исходное кольцо равно (т")в = ~'"'.
Пересечение всех шп|волических степеней рол равно пересечению всех 11)' с кольцом о. Согласно теореме 2 пересечение всех идеалов !))' равно нулю. Следовательно, пересечение всех р<'! является нулевым идеалом. 1) См. задачу 9 в $ 25,-Прии, ред.
454 Ов!цля теОРия ипеАЛОВ коммутАтиви>ях колец 1Гл. хч Теоремы 1 и 2 могут быть распространены на произвольные кольца рассмотренного здесь вида. Пусть 5 — множество всех элементов э=! — а, где а пробегает идеал а. Множество о' мультипликативно замкнуто, а потому можно определить Я-компоненту (0)э нулевого идеала как множество таких х, для которых выполняется равенство (1 — а) х = 0 дл я а еп а. Имеют место следующие предло>кения: Теорема !а. Из ! с= й следует, что (> ы (0)э. Теорема 2а. 77ересечение всех степеней идеала и ровно (0)э. Доказательство теоремы !а начинается точно так же, как доказательство теоремы 1, — с равенства (1 — а) Й=О.
Из этого равенства немедленно следует утверждение: й ее (0)э для всех й из о. Половина теоремы 2а — включение 1и* '," 1-(0)э — доказывается точно так же, как теорема 2. Вторую половину— включение (0)э ь= (е, а', ... ! — доказать тоже легко. Действительно, если х лежит в (0)э, то (1 — а) х= О, откуда х=ах, и поэтому х=ах=а'х=а'х=... Тем самым элемент х делится на любую степень элемента а. Применим теоремы ! и 2 к факторкольцу о>й по некоторому примарному идеалу о; в результате получатся следующие утверждения: Теорема !б. Если Π— примарный идеал и о— = 0(п1, я), (б) то либо (а, я) =о, либо 1 =— 0(я). Теорема 2б. Если элемент у кольца о удовлетворяет при каждом натуральном п сравнению у= — 0(п", й), (7) то либо (и, 1) = о, либо у = — 0 (ц).
ДЛИпл ПОИМЛгНОГО Г»ДП«ЛД Ь ЮВ» Л ада ч в 1 В любо«» не»еровом ко.юис с единицей пс» с ечепие всех симюь»ических степеней простого идеала 1 Ф с равно (0>а. задач а 2. Кан формулируются теоремы 1б и 26, когд.г вместо примарпого идеала т берется произвольный идеал юй (Применить теоремы 1а и 2а н факторкольиу с»ггг.) й 125. Длина примарного идеала.
Цепи примарных идеалов в иетеровых кольцах Теорема 1 и 2 (й 124) и их варианты были использованы в упоминавшейся работе Крулля для доказательства теорем об обрыве цепей простых идеалов Прежде чем обратиться к этим теоремам, нам нужно ввести понятие длины примарного идеала. Пусть 1 — примарный идеал, ассоциированный с простым идеалом 1 в нйтеровом кольце с. Ряд прпмарных идеалов, ассоциированных с одним н тем же простым идеалом р, оканчивающийся идеалом »1, '1» -> г(а -> ° -> »1» = й называется еобеглееннь»л» нормальным рядом данного иримирного идеала. Слово «собственныйа употребляется здесь для указания на то, что каждый последующий идеал является в данном ряде собственным делителем предыд)щего.
'1исло 1 называется длиной нормального ряда. Если в ряд нельзя более вставить ни одного примерного идеала, то он называется ком»годен(ионным рядом примарного идеала 1. Докажем, что каждый нормальный ряд примарного идеала й л»ожет бь»ть уплотнен до нпготорого композиционного ряда и что все композиционные ряды пышат одну и ту же длину. Она называется длиной примарного»»оголи й Для доказательства можно ограничиться случаем, когда й— нулевой идеал. Общий случай сводится к этому переходом к кольцу классов вычетов по идеалу 1.
При таком гомоморфизме все идеалы, делившие й, станут делителями идеала с. Ситуация упрощается еще больше, если персйтп к кольцу а частных с'=-, где 5 — множество элементов из с, не делящихся 5' на р. Все собственные делители идеала р при расширении с до о' переходят в единичный идеал о'1 только р переходит в отличный о» о' простой идеал р'. Так как каждый простой идеал в о' является расширением некоторого простого идеала пз о (а именно— своего сужения), то в кольце о' существует только один простой идеал р', если не считать само с', Поэтому в представление пересечением любого идеала гп' ~ о' может входить только один яр»»- мирный идеал (ассоципровацный с простым идеалом р'), т.
ел 456 ОвшАя ТБОРия идеАлОВ кол1мутАтивиых кОлгц 1Гл ху В кольце о' каждый идеал, огпличный от о', являегпся приАларныл относительно простого идеала р'. Начиная с этого места, кольцо о' и идеал р' обозначим через о и р. Рассмотрим о как аддитивную группу с областью операторов о. Допустимыми подгруппами являются тогда идеалы в о, т. е. само кольцо о и идеалы, примарные относительно простого идеала р. Каждый собственный нормальный ряд в смысле теории групп о:зя) эйл э...~я~=(0) после отбрасывания начального члена о дает собственный нормальный ряд примарного идеала о,=(0). В главе б было доказано следующее утверждение: если в группе с операторами существует композиционный ряд, то каждый нормальный ряд можно уплотнить до некоторого композиционного ряда и все композиционные ряды имеют одну и ту же длину 1. Поэтому нам нужно лишь доказать, что существует хоть один композиционный ряд, Для этого построим нормальный ряд р -з р' ~...:э ро = (О).
Факторгруппу рь/рь"' можно рассматривать как векторное пространство с о1р в качестве области операторов. Так как идеал р максимален, Факторкольцо о1р является полем. Так как идеал о" имеет конечный базис, то указанное векторное пространство конечномерно; следовательно, существует конечный композиционный ряд от 11" до рь". Если для й =- 1, 2, ..., р — 1 записать соответствующие композиционные ряды друг за другом от р до (О), то получится требуелюе. Все теоремы Крулля о цепях простых идеалов опираются на следующую основную теорему: Теорема о главных идеалах. Если (Ь)~о — главный идеал и р — изолированный простой идеал, соответствуюи4ий (Ь), то любая собственная цепь простых идеалов р:з рл ~ обрывается уже на ри Дока за тельство.
Предположим, что существует цепь вида рл >ро ° (1) С помощью перехода к кольцу классов вычетов по модулю Г, можно сделать рв равным нулевому идеалу. При этом получится так, что само кольцо не будет содержать делителей нуля. ПерейР дем к кольцу частных —, где 5 — множество элементов из о, не 5' делящихся на Г; тогда все не делящиеся на р элементы станут обратимыми, а делящиеся на р идеалы нз цени (1) останутся 467 4 (2Н дли(м пгимхяного идяллл различными и простымп.
Кольцо частных, которое мы вновь обозначим через (ч содержит единицу и не имеет делителей! нуля. Так как все простые идеалы, принадлежащие (Ь), переходят, за исключением р, в единичный идеал, то (Ь) является примариым идеалом для р. Равным образом, все делители идеала (Ь), кроме р, являются примарными для простого идеала р. При переходе к кольцу частных теория идеалов в с существенно упрощается, что облегчает дал нейшее доказательство. Обозначим через р<', как и раныпе, г-ю символическую степень идеала рп Идеалы цепи (р!', Ь) ='(р'!', Ь) ='.. Пусть теперь и -=з.
Докажем сначала, что р(т! < — <Ьр(о1! р(п!-~-(<) Действительно, пусть х — элемент пз р<"". Тогда ! (2) х е- (р(т) Ь) (р(т-',- и Ь) х=-у+Ьг, где у ~ р<'"! '(, Ьг =- х — у — = О <р("о). ! в силу чего так что По определеншо, идеал р<ю является примарным и элемент Ь не делится на с(о<ветствующпй простой идеал ),; следовательно, элемент г должен делиться на р<"'!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
