Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Таким образом, имеет место следующая теорема: 467 Размерность $ !хэ) В случае нульмерного и роси!ого идеала все корни .являются общилщ, зквиваленигными друг другу '). !(оординаты $„..., $„или Ц, ..., $;, являются в этом случае алгебраическими над К. Если ограничиться рассмотрением корней $ или $' в универсальном поле х1, то эти корни окажутся сопряженными над К.
Число указанных сопряженных точек с координатами из Й не превосходит (а когда К Я) сепарабельно, в точности равно) степени поля К($) над К. Итак: Нульмерное неприводимое многообразие состоит из конечного числа сопряженных над К точек. Если, в частности, поле К алгебраически замкнуто, то существует всего одна точка с над К, а соответству!ощий идеал имеет вид р=(х, — $„..., х„— с,). Теорема. Различные корни г-мерного просп!ого идеала имеют степень тронсцендеьипности, не превосходящую г, и если степень трансг4енденггзности некоторого корня в точности равна г, пго этот корень общий, Доказательство. Пусть $' — корень степени трансцендентности и; рассмотрим гомоморфизм (1).
Если с'„..., с', алгебраически независимы, то алгебраически независимы и ~„..., с,с действительно, каждое алгебраическое соотношение между $ является соотношением и между $'. Отсюда следует, что г==з. Если г =з, то все е алгебраически зависят от с„..., $,.
Пусть при гомоморфизме (1) некоторый многочлен )($), отличный от нуля, переходит в нуль. В поле К ($) элемент 17)' мо кно записать в следующем специальном виде: в(1! " 1,) г (э!' ''' зи) Ь(зм ''' ' ээ) Отсюда й(я„..., $,) =-й5„..., с„) г(с„..., с„). Но при гомоморфизме (1) ) переходит в нуль, так что й(е, ... ..., $,) тоже должно переходить в нуль, т. е. й($;, ..., Ы)=0, а это противоречит предположению об алгебраической независимости элементов 1;, ..., Ц.
Следовательно, при гомоморфизме (1) ни один отличный от нуля многочлен не переходит в нуль. Таким образом, при г = з гомоморфизм (1) является изоморфизмом. Отсюда следует утверждение о том, что с' — общий корень. !(аждый корень в' идеала р может рассматриваться как общий корень некоторого идеала р'. Из 7"==0(р) следует, что )Д')=0 ') Это означает, что они переходят друг и друга при изоморфизмах, остаи. ля!ощих на месте элементы из К. 460 теория идеАлОВ В кОльцАх мнОГОчленОВ !Гл хчл нли что ( =О () '). Тем самым идеал р' является делителем идеала р. Обратно, каждый отличный от с простой делитель р' идеала р может быть получен таким способом, потому что каждый идеал р'Фо обладает некоторым общим корнем ~'.
Из сформулированной выше теоремы немедленно получается: Каждый делитель р' идеала р имеет размерность г'(г; если г'=г, то )н =р. Под размерностью произвольного многообразия подразумевается наибольшая из размерностей его нсприводимых составляющих. Одномерные многообразия называются кривылш, двумерные многообразия — поверхностями, (и — 1)-мерные многообразия— гиперповерхностями.
3 ад а ч а 1. Главный идезл (р), где у — неразложимый отличный от константы многочлен, является (» — !)-мерным простым идеалом. 3 а д а ч а 2. Обратно. каждый (и — !)-мерный простой идеал является главным. 3 а д а ч а 3. единственным»-мерным многообразием в А» (1!) является само пространство А„(й); соответств)чопгнй идеал является нулевым идеалом. $130. Теорема Гильберта о корнях. Система результантов для однородных уравнений Каждый отличный от с простой идеал имеет в универсальном поле ь) некоторый общий корень.
Таким образом, любой простой идеал без корней является единичным идеалом о. Докажем более общее утверждение: Каждый идеал и =((ы ..., )",) не имеющий корней в поле а), является единичным. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что существует идеал и эьо без корней. Тогда, в соответствии с принципом максимальности, существует и максимальный идеал ш ~ о без корней. Являясь максимальным, этот идеал согласно 3 16 является и простым. Но любой простой идеал зп ~ е обладает корнями.
Доказанную выше теорему можно сформулировать также следующим образом: Если многочлены !'„..., ); не имеют в ггространстве А„(ьг) оби(их корней, то 1=-уА+" +й.)' (1) Эта теорема — частный случай теоремы Гильберта о корнях, утверждающей следующее: Если )' — многочлен из К(х„..., х„'), обращающийся в нуль во всех оби(их корнях многочленов !"'„..., („ принадлежащих просгпранству А„(а)), то !"'т =)!з!'г+ "+М. (2) для некоторого натурального числа с). 0 м01 ТЕОРЕМА ГНЛЬВЕРТА О КОРНЯХ Д о к а з а т е л ь с т в о. С помощью остроумного приема Рабиновича (Майк Лпп., 102, 5.
518) общий случай сводится к доказанному выше частному случаю. Для ) =0 утверждение очевидно. В случае 1~0 добавим одну новую переменную г. Многочлены 1 — г~ не имеют общих корней в А„,((г), поэтому согласно доказанной выше теореме 1=й1)~+ +к.1.+Ы (1 — г1) (3) Сделаем в этом тождестве подстановку г=1д и умножим получившуюся дробь на подходящую степень Г».
Тогда получится равенство 1»=йА+" +йд"., которое н требовалось установить. Обобщение теоремы о кори я х. Если многочленеч р„... ..., р, обращаются в нуль во всех общих корнях многочленов ~„... ..., 1„, то существует такое натуральное число д, что все произведения из д сомножителей, составленные только из многочленов рь принадлежат идеалу (Гн ..., 1',) (и наоборот). Дока за тел ьств о. Имеют место сравнения р~ =00н ~ ~г). Положим ч =-(ч1 — 1)+(ч — 1)+ "+(ч. — 1)+1. Тогда каждое произведение р,~ ... р";, в котором )1,+...+Й,=д, содержит по меньшей мере один сомножитель р», так как иначе число а,+...+аб было бы равно самое большее числу (у — 1)+ "+(Ч' — 1)=--у — 1 Отсюда следует утверждение.
Обратное очевидно. В качестве приложения доказанной только что теоремы мы получим условия, гарантирующие наличие общего нетривиального (отличного от (О, ..., О)) корня в поле о у системы форм, т. е. нескольких однородных многочленов Ен ..., Е„. Если (О, ..., О) — единственный корень, то все одночлены х„ ..., х„ обращаются в нуль во всех корнях идеала (Е„ ..., Е,), а потому каждое произведение Хи состоящее из д сомножителей, выбранных из элементов х„..., х„, принадлежит идеалу: Х, = а „Е, +...
+ анр,. (4) Пусть степени форм Е„..., Е, равны соответственно дн ... ..., д,. Чтобы справа в (4) содержались лишь члены степени нужно в 6н оставить слагаемые ст пени о — д„а остальные слагаемые опустить. Тогда вместо б„получится форма Н„степени 470 таогия идеалов в кольцах многопланов нл хю а — аь Сравнение членов степени о слева и справа в (4) дает равенство Х, =Нар,+...+Н,,р,. (5) Обратно, если равенства типа (5) имеют место для всех произведений Х„состоящих из у сомножителей, то (О, ..., 0) является единственным общим корнем многочленов Ри ..., с"„.
Произведения из элементов х, степени о — а, обозначим через Хи. Формы Нр в (5) являются линейными комбинациями этих произведений (с коэффициентами из К). Следовательно, (5) утверждает, что все произведения Ху степени а выражаются линейно через произведения Хиуь Мы получили следующий результат: Необходимым и достаточным условием для того, чтобы лтогочлены с"и ..., с„имели единственный общий корень (О, ..., 0), является следующее: все произведения Ху достаточно высокой степени у линейно выражаются через произведения Хл;Р~ с козффиииенталш из К.
Если Л' — число произведений Ху степени о, составленных из данных элементов, то этот результат можно сформулировать и так: Для того чтобы формы Ри ..., с", имели нетривиальный общий корень, необходимо и достаточно, чтобы для каждого у=1, 2, ... число линейно независимых произведений Хл;г"; было меньше, чем Ц. Если выразить произведения ХнР, в виде линейных комбйнаций произведений Х,: ХиР~ = ~ адоХл / то из коэффициентов алц при каждом и и каждом ( можно составить вектор-строку (аи„..., аил) (М =Жд). Высказанное условие означает тогда, что среди этих векторов- строк имеется менее М линейно независимых. Это означает, что все определители из любых таких У векторов-строк равны нулю.
Если ΄— эти определители, то получается следующее утверждение: Для того чтобы гь ..., г", обладали нетривиальным общил~ корнем, необходимо и достаточно выполнение равенств Одь=О (у=1~ 21 ). (6) Элементы аец являются коэффициентами форм Рь Следовательно, Рдь являются целочисленными формами от коэффициентов форм Е„, .., г,. Рассмотрим сначала ги ..., г", как общие формы степеней Яи ..., а„т. е. как фоРмы с неопРеделенными коэффициентами аб 47! пш!млриыв идеалы 1м! тогда сушествует бесконечно много многочлепов 0,ь(а,) от этих коэффициентов.
Однако, по теореме Гильберта о базисе, суш ствует конечное множество среди всех этих многочленов, через которое все указанные мпогочлены выражаются линейно (с целочисленными многочленами в качестве коэффициентов). Если (для конкретных форм см ..., с",) многочлены О,„из этого конечного множества равны нулю, тон все многочлены системы равны нулю и выполняются равенства (6). Таким образом, суи(еслгеует конгчное число целочисленных форм от а,: )с,(а)), ..., )с (а)), которые обращаются е нуль тогда и только тогда, когда формы гм ..., г, имеют общий нетриеиальнь«й корень. Эта теорема, играющая важную роль в алгебраической геометрии, принадлежит М е р те н с у (Мег1епз Е.) — 3!1хцпцзЬег, %!епег Айаг(., 108, 8. 1174.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
