Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Такое положение вещей можно фактически проверить в каждом отдельном случае (при заданных о, гн ..., 7, и 7). В частности, оно имеет место тогда, когда существуют формальные степенные ряды Р,(у), ..., Р„(у) '), для которых 1=РА+ ... +Р,1, ). 478 ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МИОГОЧЛГИОВ !гл хл Точно так же можно установить выполнение или невыполнение соотношения (3) для каждого конкретного сс оно означает, что после отбрасывания произведений степени ) О все одночлены СТЕПЕНИ Лт ПРЕДСтаВЛЯЮТСЯ ЧЕРЕЗ МНОГОЧЛЕНЫ '»" д,,)е.
ТаКИМ Образом, при заданных 7„..., 7', для каждого корня а можно последовательно испытывать значения О= 1, 2, 3, ..., пока не будет найдено такое а, для которого выполнено (3): это значение О является показателем идеала !. В случае нульмерного идеала а все примарные компоненты нульмериы и изолированы; следовательно, описаниьш выше признак можно применить ко всем этим компонентам при 7=0(!). Если оп выполнен для всех корней, то ) =0(п!).
Тем самым установлена следующая теорема: Пусть для каждого корня а=(а„..., а„) некоторого нуль- мерного изолированного идеала гп показатель р определен как наименьшее из натуральных чисел а, длл которых выпалняетсл (3) при р =(х, — а„..., х„— а„); если мнагочлен !' удовлетворяет условию (4) при всех ), та 1=— 0(п!). ДлЯ слУчаЯ гп=(7„7»), гДе ), и )а — м!югочлены от ДвУх переменных, эта теорема была впервые доказана Максом Нетер ом'): то была знаменитая «ос нов на я теорема Нетера», которая заложила основу «геометрического направления» в теории алгебраических функций. Впрочем, вместо более слабого соотношения (4) Нетер предполагал выполненным условие (5) о степенных рядах для всех корней.
Предложенный здесь вариант, при котором требуется совпадение слагаемых лишь до степени р — 1 по совокупности переменных уи ..., у„, восходит к В е р т и н и '), который, кроме того, предложил границу для возможных значений показателя р "). Обобщение на и-мерный случай принадлежит Ласкеру и Маколею. Условие 7=0(пг„ро), достаточное для 7=0(а), мы называем, следуя Маколею, нетеравым условием в в«очке и. Чтобы объяснить способы применения теоремы Нетера, обратимся к одному частному случаю, когда нетеровы условия оказываются особенно простыми. Каждый из многочленов 7„..., ), определяет некоторое алгебраическое многообразие (гиперповерхность) ), = 0 в и-мерном пространстве. Равным образом многочлен 7 определяет гиперповерхность 7=0. Если 7 разлагается на неразложимые множи- г) Мое1Ьег М.
ОЬег е!пеп за1« апа пег Тьеог!е г)ег а!деЬгаисЬеп ГВВЬ11- опеп. — Ма1Ь. Апп., !873, 6, 8. 38! — 389. ') Бегин! Е. Епю аппп«)агпеп1а!»а1» апа пег ТЬеог!е пег а!яеьга!»сьеп Рпп. 81!опеп. — Ма1Ь. Апп., 1889, 34, 8. 447 — 449. а) Более точные границы дает Дю бр ей (Эньге!! Р.). ТЬе»е г)е !)ос1ога1. — Раг!а, 1930, 477 4 ~м! основнля теогсмл нетгРА тели 7= рь ро..., то и многообразие Г'=О распадается на неприводимые части р„= О, р, = О, ..., каждую из которых мы должны считать столько раз, каков показатель степени соответствующего множителя в разложении многочлеиа ). Если многочлен !' разложен в точке а по степеням у,=х„— а„ и разложение начинается со слагаемых э-го порядка (э 0): ! = соу1+с,у1 1у,+ ... +ему, + то говорят, что гиперповерхность ! =О имеет в а з-кратную точку'). Сумма членов з-го порядка, приравненная нулю, сама по себе дает некоторую гиперповерхность с,у',+ ...
+с„у„'=-О, состоящую из «прямых линий», проходящих через точку а; эту гиперповерхность называют касательным конусом к гиперповерхности 7"=О в точке а. Простейшим случаем теоремы Нетера является тот, когда среди гиперповерхпостей г",-=О, ..., г",=О, определяющих нуль- мерный идеал ж, существуют такие 7, = О...,, )„= О, которые все имеют в а простую точку и касательные гиперплоскости к которым в а нмщот общей только точку а: 1, = — с„у,+ ...
+с,„у„+..., с»»у» + + с««у«+ )„=с„,у,+ ... +с„„у„+,, (у„..., у„) =0(()н ..., ~„), р»), р = 0 (~н, р«). н поэтому Отсюда следует, что идеал ш имеет в точке а изолированную примарную компоненту я показателя 1, т. е. и = у. Каждый многочлен, обращающийся в пуль в а, делится, таким образом, на й. По поводу дальнейших частных случаев и применений теоремы Нетера можно адресовать читателя к моей книге «Е!и!ОЬ гнпп !и б!е а!де(7га!зс)че Оеоп1е!г!е». 4) Или что точка а являетоя «-кратной,— Прим, о«ре«. линейные формы ~~ с,„у„линейно независимы. »=1 Если в этом случае обозначить простой идеал (х,— а„ ..., х„— а„) через т, то среди линейных комбинаций многочле- иов 7„..., )„по модулю р' имеются сами переменные у„..., у„, т.
е, 478 ил;ю тгогия идв4лов в кольцах много ~ланов $133. Сведение многомерных идеалов к нульмерным В этом параграфе мы распространим теоремы, доказанные в 3 132 для нульмерных идеалов, на многомерные идеалы. Метод состоит в следующем: если 1 — примарный идеал в кольце Н(х] размерности б, 1 — соответствующий простой идеал, общим корнем которого является Д» ..., $„), и если, например, $ь ... алгебраически независимы, то с помощью подстановки х, =$и ..., х„=$» мы превращаем идеалы Ч и в в нульмерные.
Осуществим эту подстановку во всех многочленат д идеала 1; при этом многочлены д перейдут в многочлепы д' из кольца Н($и ..., $») (х»ьи ..., х„] и составят там некоторый идеал 3'. Очевидно, что подстановку х,=$о ..., х»=-$» достаточно произвести в базисных многочленах д„..., д,; тогда полученные многочлены д(, ..., д~ будут порождать идеал я': ч — (д! ° ° ° дг) ° Ясно, что идеал 1' состоит пз многочленов д', деленных на произвольные отличные от нУлЯ многочлены 4Р от пеРеменных $ь ... 3», потому что многочлены р' составляют в К Дь ..., $», х»„, ..., х„] некоторый идеа,т, и чтобы получить порождаемый им идеал в К Дь ..., 3»)(х»»„..., х„], как раз н нужно упомянутым многочленам приписать знаменатели Ч. Точно так же, как из 1 получается а', из идеала 1 получается идеал р' и вообще из каждого идеала а =Ц» ..., ~,)— некоторый идеал ш'=(7"и ..., )'1), Геометрически подстановка х, =.„..., х»=$» означает, что все рассматриваемые многообразия пересекаются линейным пространством х,=си ..., х»=$», проходящим через об(цую точку многообразия идеала ч.
Если 7" (х„..., х„) — некотоРый многочлен и ) ($и ..., 5», х».„... ..., х„) принадлежит идеалу Ч', то, согласно сказанному выше, 7($, х) =, = — '., где д(х) =0(1), д' »(3, х) ф(Ь " $») ч(;) ' так что 7($, х) =Р6)16, х) Отсюда ввиду алгебраической независимости элементов .. „3» следует, что д (х) = ~э (х) 1(х) = 0 (ч).
Из ср($) ФО следует, однако, что ср(х) ФО(я), откуда 7'(х) = — 0 (Ч). Таким образом, чтобы выяснить, принадлежит ли некоторый многоччен Г(х) идеалу а, нужно лишь проверить, принадлежит лн идеалУ ч' соответствУющий мпогочлен Г' =(($„..., $», х»»м ... ..., х„). Итак, идеал я однозначно определяется идеалом 1!34 свягвиив многомввиых идеалов к ггтлькгюньгм лтз Мы утверждаем следующее: ггдсал 1' в кольце К (ьп ...
..., $») [х»„, ..., х»1 примарен; соответсгпвующий простпог1 идеал совпадает с идеалолг 1', показатель идеала и' равен показателго идеала ц; общим корнем идеала 1Р является Я».,ь „с„) и, наконец, размерность идеала р' равна нулю. Доказательство. Чтобы показать, что идеал ц' является примарным, а 1' — соответствующим простым идеалом, достаточно ) становять следующие три свойства: 1) из Г(Б, х)д(с, х) — = 0(1') и Г'(З, х)~0(р') следует, чго д(с, х) — = 0(1'); 2) из Г'(с, х)= — 0(1') следует, что (($, х) = — 0(р'); 3) из )Д, х) = — 0(1Р) следует, что (($, х)» =0(ц1).
Во всех трех свойствах можно считать ) и д целыми рациональными по 1м ..., $» потому что в случае необходимости пх можно умножить на подходящий многочлен гр($). С учетом последнего замечания можно заменить $ на переменные х, идеал я' — на идеал 7, а идеал В' — на идеал 1; действительно, например, ((с, х) = 0 (1') эквивалентно сравнению )(х) = 0 (1) и т. д. После такой замены 1), 2) и 3) будут утверждать не что иное, как то, что й1 — примарный, а  — соответствующий простой идеал, а это иам уже известно. Одновременно установлено, что показатели идеалов ~1 и в равны.
Чтобы показать, что Я»м, ..., е„) является общим корнем идеала р', нужно показать, что из ~($г, ..., Ь, $».п ..., $„)=-0, где 1" — Рациональнаа фУпкцпи от л, ..., ь» и целаа Рациональная функция от -„ „ ..., 2„, следует сравнение ~(з, .)— = 0(1е), и наоборот. Вновь можно считать, что 1" — целая рациональная функция от сл, ..., ч». Но тогда )(си х) — = 0(т') эквивалентно сравнению ) (х) = 0 (и); следовательно, эта часть утверждения оказывается верной благодаря тому, что (ьь ..., $„) — общий корень идеала р. Наконец, нульмерность идеала р' следует из того, что элементы ь»,п ..., $„ алгебраичны над К (со ..., ьь»), Таким образом, все утверждения доказаны. Тем же способом можно показать, что если 1 — примарная компонента идеала вг.=()п ..., )„), пю в' — примарная компонента соотеетсгпвуюи1его идеала гп'=(1г„..., Г"„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
