Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Наша цель состоит в изучении теории идеалов в кольце Я. Как мы знаем, для этого в первую очередь нужно выяснить, справедлива ли в (о теорема о цепях делителей для идеалов. Точнее, нужно выяснить, переносится ли на С теорема о цепях делителей при условии, что опа выполнена в Я. В соответствии с теоремами из Э 134 это возможно, если существует базис для (о как для Я-модуля. Этим рассуждением определяется наша ближайшая цель. Прежде всего, одна подготовительная Теорема. Если о — некоторый элемент поля л, то о=в/г, где эенЯ, генЯ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Элемент о удовлетворяет некоторому уравнению с коэффициентами из Р. Эти коэффициенты являются дробями, числителн и знаменатели которых принадлежат кольцу Я. С помощью умножения на произведение всех этих знаменателей упомянутые дроби становятся элементами из Я и получается уравнение г,о +г,о"-'+...+Г„=О.
Положим г, = г и умножим это на г (го) +г,(го) -'+г,г(го) '+...+Г„,г'" '=О, Следовательно, го — целый элемент над Я. Положим го=э и тем самым получим требуемое. Из этой теоремы следует, что Х вЂ” поле частных кольца (к. Если некоторый элемент я является целым над основным кольцом, то и все сопряженные с ним элементы (в некоторол расширении Галуа поля Р, содержаи4ем л.') являются целыми. Доказательство.
Конечное множество элементов из л, через которые по условию линейно выражаются все степени элемента $, при любом изоморфизме поля л переходит снова в конечное множество элементов, через которые линейно выражаются все степени того или иного сопряженного с $ элемента. Суммы и произведения целых элементов снова являются целыми; поэтому являются целыми и элементарные симметрические функции от $ и сопряженных с ним элементов.
Мы получили следующее предложение: Если в некотором неразложимом над полем Р уравнении, которому удовлетворяет целый элемент $, старший коэффициент равен единице, то и все остальные коэффициенты итого уравнения 489 4 !зо! ЦЕЛЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ Е ПОЛЕ являются целыми над Я. В частности, если кольцо Я целозамкнуто в Р, то все эти коэффициенты принадлежат Я.
В случае целозамкнутого кольца Я это предложение дает удобное средство для выяснения, является ли тот или иной элемент $ целым: для этого не нужно строить все уравнения, которым удовлетворяет $, и среди них отыскивать уравнения с целыми коэффициентами, а достаточно найти неразложимое уравнение для $ со старшим коэффициентом 1. Если все его коэффициенты целые, то и $ — целый элемент, если же не все коэффициенты целые, то и $ не является целым.
Сделаем теперь трн следующих предположения: 1. Кольцо Я це,зозамкнуто в своем поле частных Р. 11. В кольце Я имеет место теорема о цепях делителей для идеалов. 111. Лоле Х является сепа робел ьнь!и раси»и ремнем поля Р. Из 111, в соответствии с 9 46, следует, что поле Х порождается некоторым апримитивным элементом» а: Х = Р (о). Согласно последней теореме о = з!г (г ~ чб, г ен Я); следовательно, это поле порождается и целым элементом з. Элемент з удовлетворяет некоторому уравнению и-й степени, где и — степень расширения Х(Р, Каждый элемент 9 из Х можно представить в виде п — ! $=.'); р»з' (ра ~ Р).
о Если в (1) заменить в на сопряженные с ним элементы з, (в каком- либо расширении Галуа поля Х, содержащем Р), каковых, согласно 5 44, существует ровно п, то для элементов $„сопряженных с 9, получатся равенства еч =,У, р»з» (т= 1, 2, ..., п). о (2) Определитель этой системы уравнений равен') Л=~з,',= П (зл — зи) лк !! Х8»»4» р»= В !) См. задачу 2 из 4 28. — Прим.
рад. Квадрат этого определителя является симметрической функцией от з„а потому содержится в Р. Так как сопряженные элементы з, все различны, В~О. Следовательно, систему уравнений (2) можно решить: целые ллтепедические элел|енты |гл. хчп где 3», и Р— многочлены от вт, т.
е. элементы, целые иад Я. Умножение этсго равенства на 0' дает Р Р»= ~',Ро»ты т (3) Если теперь предположить, что $ является элементом из С, т. е. целым элементом, то окажется, что элементы ст, а с ними и левая часть в (3) целые, Вместе с тем левая часть является элементом из Р. Так как кольцо Я целозамкнуто в Р, то элемент Р'р, принадлежит Я. Положим 0'р„=г„; тогда р„=г„Р-' и, согласно (1), а — | Р-ов» о Следовательно, каждое $ из чо может быть линейно выражено через 0 'з', О зз', ..., 0»з' ' с коэффициентами из И. Другими словами, кольцо йо содержится в конечном Я-модуле: 331 10-ззо Р-Язг 0 зв - |) Отсюда, согласно теоремам из 3 134, следует, что С, как и всякий подмодуль в еб сс, в частности, всякий идеал в Я, обладает конечным базисом над Я как л|адуль, или, что то же сал|ое, для И-мадулей и, в частноспш, для идеалов в»б, выполняепкя теорема о цепях делителей.
Если, например, И вЂ” кольцо главных идеалов, то даже ч,. и каждый подмодуль в 1о обладают линейно независимыми базисами как модули над Я. Под Я-порядком в Х подразумевается всякое кольцо в Х, которое содержит Я и является конечным Я-модулем. В соответствии со сказанным выше кольцо Я является Я-порядком, как и любое кольцо, закточенное между Я и С. Обратно, из определения целостности следует, что каждый Я-порядок сз в Е состоит исключительно из целых элементов, т.
е. принадлежит кольцу с... Тем самым кольцо Я можно охарактеризовать как Я-порядок в Х, содержащий все остальные И-порядки. Кольцо Я называют также главным порядкол| поля Х. Если пойдет речь об «идеалах поля», «единицах поля» и т. д., то всегда будут иметься в виду идеалы из С, единицы из йб и т. д. В соответствии с 3 135 кольцо чо целозамкнуто в поле Х. Результаты этого параграфа не остаются справедливыми в некоммутативных алгебрах над Р; препятствие состоит в том, что сумма двух целых элементов уже не обязана быть целой, 11оэтому совокупность всех целых элементов не является порвдком.
Несмотря на то, что каждый порядок по-прежнему. состоит из целых элементов, в некоммутативном случае не существует наибольшего, главного порядка, содержащего все остальные. При подходящих предположениях относительно поля Х появляются различные максимальные 9|-порядки, так что каждый Э|-порядок, а также каждый целый элемент содержатся по 491 цвлые элементы н пОле 4 гм1 крайней мере в одном максимальном Зг.аорядке, По поводу теории идеалов в таких маггсггмаггьггмх Э1.порядках слг. Д ой р и н г (Пеибпя Ы.). А!деЬгеп.— Егдеьп.
Ыай., 1935, 4, Не11 1. Во всех Я-порядках поля Х, в соответствии с доказанным выше, выполняется теорема о цспях делителей. Поэтому для таких порядков выполнены теоремы о существовании и единственности разложения на простые множители пз 99 118 и 119 (представление всех идеалов в виде пересечения примарных идеалов). Согласно 9 122 значительное упрощение теории идеалов оказывается возможным тогда, когда каждый отличный от нуля простой идеал Я-порядка о не имеет делителей.
Следующая теорема устанавливает условия, при которых имеет место этот случай: Если в ко,гьг1е Я каждый простой идеал, отличный от нуля, не имеет делителей, то и в каждом Я-порядке о каждый ненулевой идеал не илыет делителей. Доказательство. Пусть 1 — произвольный простой идеал из о, содержащий отличный от нуля элемент Е Элемент 1 удовлетворяет некоторому уравнению с коэффициентами из Я: (» (-аг1»-г+ +а» =0 которое мы будем считать выбранным наименьшей возможной степени и со старшим коэффициентом 1; в этом уравнении а» -~:О, так как иначе можно было бы сократить на Е Следовательно, а„= — 0(1) =0(р), а потому а„принадлежит пересечению 9ПЯ. Это пересечение является простым идеалом в Я, потому что если произведение каких-нибудь двух элементов из Я принадлежит Я П), а потому и 1, то один из сомножителей должен принадлежать р, а потому и ЯПр.
Так как а„принадлежит простому идеалу ЯДр, этот простой идеал отличен от нулевого, а потому нс имеет делителей. Если теперь и — произвольный собственный делитель идеала р и сс — некоторый элемент из и, не принадлежащий 1, то и удовлетворяет уравнению вида и'+ (ггиг-г -(-...-(-(гг = О, а потому и сравнению с наименьшей возможной степенью и" +с,и»-'-1-...+с» = — 0(г), в котором вновь с»цггО(р), так как иначе возможно было бы сокращение на и. Следовательно, с„=О(и) =0(п), а потому элемент с» принадлежит пересечению а() Я и не принадлежит пересечению р()Я.
Таким образом, это пересечение пПЯ является собственным делителем идеала )ДЯ и по этой причине совпадает с Я. Следовательно, идеал и содержит единичный элемент, так что и = о. Теорема доказана. 1 492 целые АЯГеБРАические элементы (гл хчп Предположения этой теоремы выполнены, в частности, тогда, когда 3] является кольцом главных идеалов (кольцом целых чисел, кольцом многочленов от одной переменной). Таким образом, в этом случае в о выполнена теорема о том, что каждый идеал, отличный от нуля и единичного идеала, однозначно представляется в виде произведения взаимно простых и отличных от о примарных идеалов.
Однако, как мы увидим, для главного порядка Я выполняется нечто большее: примарные идеалы равны степеням простых идеалов, а потому в этом случае каз(сдый идеал равен произведению степеней простых идеалов. Ввиду значительности этого главного результата «классической» дедекиндовой теории идеалов для теории числовых и функциональных полей мы докажем его, не используя понятия примарного идеала и общей теории идеалов. Это будет сделано в следующем параграфе с помощью метода, предложенного К ру ллем'). Зада ч а 1. Если И вЂ” кольцо главных идеалов, (ы(, ..., ы,) — всегда существукиций в »том случае линейно независимый базис Я.порядка» и (ыи), 1 ..., ы(„)) — сопряженные базисы в некотором расширении Галуа поля Р, то «ди()' скрнминаит поля» (1) „ (1) 3 1 '" а () = (а) (л) 1 "'~л является целым, рациональным и отличным от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
