Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Обратимся теперь к обобщениям теорем 2 и 3, тоже относящимся к классической теории идеалов. Тот факт, что из делимости следует возможность представлять элементы в виде произведения, позволяет ввести наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное точно так же, как это делается в случае целых чисел с помощью разложения на простые множители. Пусть а и Ь вЂ” два целых идеала: дг р!1 )1г Р 1 ''' г Ь вЂ” р 1 р г 1 ''' г (здесь в обоих случаях указаны простые множители, входящие в а и Ь, возможно, с нулевым показателем степени).
Каждый общий делитель содержит лишь простые множители т! из пере- численных и при этом с показателем степени (т1, где т; — наи- меньшее из чисел оп оь Наибольший общий делитель (а, 6) дол- жен делиться на каждый общий делитель и, в частности, на р',.1, Следовательно, он может иметь лишь следующий вид: р1 рг ! ''' г Точно так же устанавливается, что наименьшее общее кратное (пересечение) аП 6 идеалов а и Ь является идеалом ,и! „,Н, ! ''' г где рл — наибольшее из чисел рь оь Теорема 4.
Если а=0(9), то о Ь существует элемент д, для которого (и, с()=Ь, 498 !ГЛ ХЧИ НЕЛЪ|Е ЛЛГЕЕРАИа!ЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ Доказательство. Пусть в=р Ра1 Раа (О |т р ) Мы должны выбрать элемент й так, чтобы й делился на Ь, но не имел общих с в делителей, отличных от делителей идеала Положим С ра1|1 ра,+1 Тогда с, =се О (с). Следовательно, существует элемент с)ь принадлежащий идеалу сь но не принадлежащий идеалу с. Тогда йс= — 0(р!д') для )чь 1, й! Ф О (гУ "~) Сумма й = й1 +...
+ й, делится на Ь (так как этим свойством обладают все 4). Но вместе с тем й=АФО(р!'|п)' следовательно, элемент й не имеет с а общих множителей, отличных от множителей идеала Ь. Следствие 1. В колысе классов вычетов ед! каждый идеал Ь,са является главным. Действительно, идеал Ь/а порождается классом вычетов а + А Следствие 2. Каждый идеал Ь обладает базисом из двух элементов (а, й), где аэьΠ— произвольно выбранный элемент из Ь, Действительно, пусть а — произвольный ненулевой элемент из Ь и а =-(а). В соответствии с теоремой, приведенной выше, (а, й) = ь.
Следствие 3. Каждый идеал Ь с помощью умножения на некоторый идеал Ь, взаимно простой с заданным идеалом с, может быть превращен в главный идеал. Доказательство. Положим а =сЬ. В соответствии с вышеприведенной теоремой имеем (а, й) = ь. (1) Так как й делится на Ь, мы можем считать, что (й) = ьь. Ввиду (1) (сь, ьь) =ь.
Следовательно, с и Ь должны быть взаимно простыми, $1зз] двовнын идиллы Эадача 1. Пусть 0 — кольцо всех частных п/Ь, где а и Ь вЂ” целые и Ь не делится иа некоторые наперед заданные простые идеалы »,,...,1,. Тогда каждому идеалу с из» соответствует некоторый идеал и из С, состоящий из дробей с!Ь, где а ~ж я. Идеалам»ы ..., В, соответствуют простые идеалы 'Рх .... 1)„а всем остальным простым идеалам из с соответствует единичный идеал ьг.
Каждый идеал в 0 однозначно представляется в виде произведенвя степеней идеалов ~рт,...,й),. Кроме того, в кольце Гл каждый идеал является главным. 9 139. Дробные идеалы В 5 137 о-модуль в поле частных Х был назван дробным идеалом, если он обладает конечным базисом.
Таким образом, идеалы в о, или «целые идеалы», являются частным случаем дробных идеалов. Если (о,...„о,) — базис некоторого дробного идеала, то с помощью умножения на подходящий знаменатель можно сделать все элементы базиса — а с ними и весь идеал — целыми. Обратно, если некоторый о-модуль а при умножении на какой-то целый элемент Ь~ О становится целым идеалом, то в целом идеале Ьа имеется конечный базис Ьа =(а„..., а,), а потому Тем самым мы доказали следующее предложение: Произвольный с-модуль в поле Е является дробным идеалом тогда и только тогда, когда он может быть сделан целым идеалом с помощью умножения на некоторый целый элемент ЬФО. Мы уже видели, что вместе с а и Ь идеалы а Ь и (а, Ь) имеют конечные базисы, а потому ови одновременно являются и дробными идеалами.
То же самое остается верным и для частного модулей а: Ь, где а и Ь вЂ” целые идеалы и Ь~иб'). Действительно, если Ьм=Π— произвольный элемент из Ь, то Ь . (а: Ь) с= Ь (а: Ь): — а: — о, так что а: Ь с помощью умножения на Ь становится целым идеалом. В частности, о: »=»-т — дробный идеал. Каждый целый или дробный ненулевой идеал обладает обратньсм, Доказательство. Пусть с — целый или дробный ненулевой идеал и элемент ЬФО выбран так, что идеал Ьс целый: Ьс = а.
(1) т) Под юствьси модулей а: Ь (в поле Х) мы подразумеваем совокупность злсментов Л из Х, для которых ЛЬ . с. БЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ !ГЛ ХЧИ Если теперь и =рхра... Р„то умножение равенства (1) иа р,'р,' ... 11,' дает в соответствии с теоремой 1 (9 137) (р,'р,' ... р,'Ь) г = о, чем и доказано существование обратного идеала с '=1,' ...
р,'б. Из этого предложения следует: целые и дробные ненулевые идеалы образуют абелеву группу. Уравнение ос=ай однозначно решается относительно неизвестного с. Решением будет п-18, в других обозначениях, йуп!. Из доказанных ранее теорем теперь следует: Каждый дробный идеал является отношениелг двух целых идеалов, т. е. представляется в виде " Р,' Р, Рг" ' При этом можно сокращать каждый идеал, участвующий одновременно как в числителе, так и в знаменателе. Каждый дробный главный идеал ()) допускает представление в виде частного двух целых главных идеалов, в котором ни один из Г любых наперед заданных простых идеалов не входит одновременно в числитель и знаменатель. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть после сокращения и Р„..., р,— наперед заданные Г простых идеалов. С помощью умножения па некоторый идеал 8, взаимно простой с произведением ргна ... р„, мы получим в знаменателе некоторый главный идеал (й): следовательно, Таким образом, и числитель оказался главным идеалом. При этом ни один из идеалов р„..., р, не входит в числитель и знаменатель. 3 а д а ч а. Дробь-идеал а га есть частное модулей 1: а. По поводу дальнейших сведений нз теории идеалов в числовых полях мы отсылаем читателя к книге: Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел.
-А!л Гостехиздат, 1939. По поводу теории идеалов в функциональных полях н ее приложений отсылаем читателя к фундаментальной работе Де дек и н да и В е бе р а (1)сбей!пб к., ЪГеьег Н). — Сге1!е з 1„1882, 92, 8. 181. 601 » !«о! теояия идеАлОВ $ !40. Теория идеалов в произвольных целозамкнутых целостных кольцах Существуют важные целостные кольца, удовлетворяющие аксиомам 1 и П1, но не удовлетворяющие аксиоме П из 9 !37.
Обратимся, например, к кольцу многочленов К [хь ..., х„! более чем от одной переменной или к кольцу целочисленных многочленов и их конечным целозамкнутым расширениям (главным порядкам). Во всех этих кольцах есть простые идеалы, отличные от нулевого и единичного, обладающие собственными делителями — простыми идеалами с этим же свойством. В таких кольцах нельзя, следовательно, применять теорию идеалов из 3 137. Покажем, что, несмотря на это, основные результаты развитой теории остаются верными, если заменить отношение равенства идеалов отношением «квазиравенства», определяемым ниже '). Итак, пусть о — целостное кольцо, целозамкнутое в своем поле частных Х.
Готические буквы в дальнейшем будут обозначать ненулевые дробные идеалы, т, е. о-модули в Х, которые становятся целыми идеалами при умножении на подходящий ненулевой элемент из о. Под обратным идеалом а-' опять будет подразумеваться совокупность тех элементов г из Х, для которых идеал га является целым. Определим: идеал а квазиравем идеалу 1, если а-» =6-т. Обозначение: а 6. Отношение, очевидно, рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Равным образом идеал а называется квазиделителем идеала 0, а 6 — квазикратным идеала а, если а-' ы 6-т или, чтото же самое, если а то — целый идеал. Обозначение: ам 0 нли 9~ а. Простейшие свойства символов ~ и таковы: !. Из а 6 следует а = о. (Доказательство очевидно.) 2.
Если а — главный идеал: а =(а), то, обратно, из а -. 9 следует а » 0. Действительно, тогда а '=(а'); из предположения о том, что а то — целый идеал, следует, что а-тб — целый идеал, т. е. все элементы из е делятся на а. 3. Если а 0 и одновременно а — [, то а [. 4. Все квазикратные 9 идеала а и, в частности, все квазиравные идеалу а идеалы 6 обладают свойством: 0 ~ (а-') '. (Немедленное следствие из целостности идеала ба-т.) Таким образом, в частности, 9 ы (а ')-'.
Согласно 1 отсюда следует, что а =-(а-')-'. С другой стороны, идеал а-'(а-') ' целый, так что а =-" (а-')-', н мы получили свойство 5. а (а-')-'. '! Теория, опубликованная автором в Мя1Ь. Апп., 1929, 101, была впослед. ствин приведена Артином в более стройный вид и публикуется здесь именно в таком виде. ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНГЫ !гл ххп Согласно 4 и 5 идеал (а-')-' является наибольшим из содержаи(их а и квазиравных еиу. Мы будем обозначать идеал (а-')-' через а*.
6. Если а=т Ь, то ас(Ьс. Действительно, (са) 'са является целым, так что (са)-'с с: — а-'с:-Ь-' и (са) 'сЬ вЂ” целый идеал; следовательно, са -. сЬ. 7. Если а Ь, то ас сЬ. (Следствие из 6.) 8. Если а Ь и с Ь, то ас ЬО. (Потому что в соответствии с 7 имеем ас !с ЬЬ.) Если все идеалы, квазиравные некоторому фиксированному идеалу, объединить в один класс, то класс произведения ас будет, в соответствии с 8, зависеть лишь от класса идеала а и класса идеала с.
Следовательно, мы можем определить произведение двух последних классов как класс произведения ас. 9. Единичным классом относительно умножения классов является класс идеалов, квазиравных единичному идеалу о, потому что для каждого а имеет место равенство во=- а. 1О. Все квазикратные кольца о и, в частности, все идеалы единичного класса являются целыми.
(Частный случай свойства 2: нужно положить а=!.) Следствие: все идеалы, квазираввые некоторому целому идеалу, являются целыми. Мы докажем теперь важнейшее свойство обращения: 11, аа-1 о, То, что аа-'=о, очевидно, потому что аа-' — целый идеал. Остается доказать„что аа-'.--,о или (аа ') '~о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
