Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 109

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 109)

При этом мы по-прежнему будем предполагать, что значения йг(а) являются г) 1Ч!11 Е.— 3. ге!пе цпб апйечг. Ма(Ь., 1936, 176, Б. !26 — !40. См, также литературу к этой работе. а) Ма)нег К . СЬег РзеибоЬезчег!ипйеп, !. — Ас(а Ма(Ь., !936, 66, 5. 79 †1; !а. — Айаб. цге1епзсй. Апгз1сгбагп Ргос., !936, 39; П . — Ас1а Ма1Ь., 1936, 67, 5. 5! — 80; Кгц!! Ф. Ацйегпе!пс Вевег1цпйз(Ьеог!е, — 3, ге!пе цпб ащечг, Ма!Ь., 1932. 167, 5, !60 — !96, НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ (гл. хчн! вещественными числами.

Определим в Н фундаментальньсе последовательности (а,,) как последовательности, обладающие следующим свойством: сР (а — ад) - е длЯ Р ) и (е), с) ) и (е), где е — произвольное положительное число из Р. Из кольца фундаментальных последовательностей получается поле классов вычетов ь)К точно так же, как в ~ ?8; все доказательства переносятся на этот случай дословно.

Единственная разница состоит в том, что (ск, как и само поле Н, является не упорядоченным, а всего лишь нормированным. Нормирование на (1(( определяется так: если а определяется фундаментальной последовательностью (а,), то на основании уже доказанного неравенства ~ ср (а,) — ср (а„) , '~ ср (ад — аь) значения ср (а,) составляют также фундаментальную последовательность, которая, следовательно, должна в поле вещественных чисел обладать некоторым пределом ьс. Положим ср(а) =св.

Все фундаментальные последовательности с одним н тем же пределом а определяют одно и то же значение ср(а), и эта конструкция удовлетворяет требованиям 1) — 4). Поле 11к является полным относительно нормирования ср, которое только что было определено, т. е. оно удовлетворяет критерию сходимости Коши: Каждая фундаментальная последовательноспсь в с2к сслсеет в (ск некоторый предел. Мы назвали последовательность (а„) фундаментальной, если для каждого е О из поля значений нормирования существует такое и, что ср(ар — ад) (е для р) и, с) >и.

В случае неархимедова нормирования достаточно вместо этого условия потребовать следующее: ср (а,, — а,) ( е для ч ) и (е). Лействительно, ар — ад — это сумма р — а( слагаемых а,„,— а„ и если все они имеют значение, меньшее е, то в силу (1) нз З 141 значение суммы также меньше е. Итак: В каждом поле, полнолс относительно неархимедова нормирования, любая последовательносспь (а,'с обладает пределом, если только разности а„, — ач составляют нуль-последовательность. Этот критерий можно высказать и так: для сходимости бес- 517 1 ыз1 пополнвния конечного ряда а,+а +а,+...

необходимо и достаточно, чтобы 11гпа„=О. Если поле $ рациональных чисел нормировать обычным образом с помощью абсолютной величины ~р (а) = а ~, то в качестве полного расширения получится, конечно, поле вещественных чисел. Если же исходить из р-аднческого нормирования на Ц, то в качестве пополнения получится поле Йр р-адических чисел Гензеля. Поля й,, 1с„(см й„1ри, ..., таким образом, совершенно равноправны с полем вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел (и для арифметики являются столь же важными). Элементы поля 1ер, т.

е. р-адические числа, могут быть представлены в более удобной, чем фундаментальная последовательность, форме. Действительно, рассмотрим, для к = О, 1, 2, ... модуль Ю(ы состоящий из рациональных чисел, числитель которых делится на р', а знаменатель не делится на р; для таких чисел, следовательно, гр (а) = р ~.

Назовем два рациональных числа сравнимыми шо0 рх, если их разность принадлежит Иы Если теперь (г„) — некоторая р-адическая фундаментальная последовательность рациональных чисел, то для каждого 7,, начиная с некоторого и =н(7), имеем <Р (г„— гр) ~- Р-х пРи 1х ) и (Х), ч ) гг ().), т. е. г„= г, (шод р~). Все числа г с р ) а(7) принадлежат, таким образом, однозначно определейному классу вычетов Ях по модулю 9)1ы Поэтому фундаментальная последовательность (г„) определяет некоторую последовательность классов вычетов О:з Яз ~ о(2 ~ Яз:з Ях:э вложенных друг в друга указанным способом.

Обратно, каждая последовательность (г„г„... ), которая указанным способом определяет последовательность (Ях) вложенных друг в друга классов вычетов Ях по молулю Юм так что г„а=в Ях для р . и (к), является фундаментальной. В частности, если ',г„) — нуль-последовательность, то Ях=2))х— нулевой класс вычетов. При сложении фундаментальных последовательностей (г,„)+(з„) =(г„+з ) складываются и соответствующие последовательности классов вычетов: (Ях+Ях).

В частности, прибавим к некоторой фундаментальной последовательности нуль- последовательность; тогда соответствующая последовательность 51а !гл. хчш ИОРЫИРОВАИНЫЕ ПОЛЯ классов вычетов не изменится. Обратно, если две последовательности (г„) и (5„) соответствуют одной и той же последовательности классов вычетов (Ях), то их разность — нуль-последовательность.

Итак: каждому р-адическому числу а = Вш г, взаимно однозначно соответствует некоторая последовательность классов вычетов (Ях! описанного вида. Это представление р-адических чисел с помогцью последовательностей классов вычетов мы и имели в виду выше, когда говорили об удобном представлении. Чтобы перейти от представления некоторого р-адического числа а классами вычетов к обычному представлению фундаментальной последовательностью, нужно лишь из каждого класса Ях выбрать произвольный элемент г(, тогда а=!ип г(. Можно также представить я в виде бесконечной суммы, положив г; =зм гх+, — гх=влР, и тогда так что г(+1 = 55+ 55Р + 55Р + " + зхр ° А СО а 11ш '),' ар» ~,' з 5 Х со 5=5 7=5 Прн этом 5„5„... — рациональные числа, знаменатели которых не делятся на р. р-адический предел последовательности обычных целых чисел называется целым р-адическим числом. Для классов вычетов Я„ Я„...

это означает, что в каждом из них имеется некоторое целое число. В частности, для целого р-адического числа класс Я„является нулевым классом вычетов '.О1„— совокупностью рациональных чисел со знаменателямн, не кратными числу р. Это условие является и достаточным для того, чтобы число было целым: если Я,— нулевой класс вычетов по модулю 111м то все классы вычетов Я„Я„... содержат целые числа. Действительно, Я, содержится в Я, и поэтому состоит из таких чисел г(5, для которых 5ФО (пюд р), Если мы решим теперь сравнение зх = г (пюб рх), то получится 5 5Х вЂ” Г х — — = — = — О (пюс$ ц!15), 5 5 так что число х принадлежит классу вычетов Ям Поэтому в представлении рядом (1), когда 55 — целое р-адическое число, можно все г~'„а потому и все з„выбрать среди обычных целых чисел.

Таким образом, (1) является степенным рядом по р с целочисленными коэффициентами, Каждый такой степенной ряд сходится в смысле р-адического нормирования и представляет некоторое целое р-адическое число. ПОПОЛНЕНИЯ Каждое р-адическое число а, представляемое классами вычетов (Я„ Я„ ...), можно превратить в целое р-адическое число умножением на некоторую степень )».

Лействителыго, если г'„— элемент из класса вычетов Я„ то с помощью умножения этого элемента на некоторую степень р можно добиться того, чтобы знаменатель числа р г,' не содержал множителя р и тем самым оказался переведенным в нулевой класс вычетов по модулю Йе. Если теперь разложить целое р-адическое число р а в степенной ряд (1) с целыми з„ з,, ..., то для сс получится представление с конечным числом отрицательных степеней а=а р-т (-а р р»ы 1 ° +аз+а,а+а,р'+... (2) Представление (1) целого )»-адического числа а можно канонизировать, беря всюду в качестве гх наименьший неотрицательный целочисленный г редставитель класса вычетов Ях. Тогда все числа в, удовлетворяют условию О~эх(р.

Если опять перейти от (1) к (2), то получится однозначно определенное разложение (2) произвольно заданного целого р-адического числа, в котором О ~ а„( р. На основе )-адического нормирования поля Н, которое в соответствии со способом, описанным в 5 141, задается простым идеалом р некоторого целостного кольца о, получается полное р-адическое поле 11 — обобщение гензелева р-адического поля. Например, если р — идеал (х — с) в кольце многочленов Л[х], то 11р — это кольцо всех степенных рядов с=а,„(х — с)- +...+а,+а,(х — с)+аа(х — с)'+„.

(3) с коэффициентами а, из Л. Зги степенные ряды сходятся в смысле р-адического нормирования всегда, как бы ни выбирались коэффициенты а, Выражения (3) называют формальными степенными рядами по (х — с). Задач а 1. Записать — ! и 112 с помощью канонических 3-адических степенных рядов. 3 а да ч а 2. Уравнение ) ($) = О, где ) — целочисленный многочлен, разрешимо в ноле рр тогда и только тогда, когда для каждого натурального и сравнение 1(с) то(шов р") обладает рациональным решением 3. Зада ч а 3, Разрешимы ли в поле ()а уравнения к' = — 1, х» 7» ха = 3, Может оказаться, что два различных нормирования ~р и некоторого поля К приводят к одному и тому же пополнению ьг.

Очевидно, этот случай имеет место тогда и только тогда, когда каждая последовательность (а,) из К, являющаяся нуль-последовательностью относительно гр, является нуль-последовательностью 520 [ГЛ. ХЧН! НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ и относительно ф и наоборот. В таком случае, т. е. При условии равносильности равенств 1нп !р(а,) = О и 1![п ф (а,.) = О, мы будем называть нормирования го н ф зквивалентныма. Для нормирования гр(а) ='а( поля комплексных чисел (обычное абсолютное значение) можно построить бесконечно много эквивалентных нормирований, положив гр(а) = ~а:Р, где р — фиксированное положительное число, не превосходящее 1. Условия 1) — 3) выполняются здесь тривиально.

Характеристики

Список файлов книги