Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Условие 4) следует из того, что ~ а+ Ы ( [а + ! Ь [„ если воспользоваться неравенством ее+бе=-(в+6)', которое выполняется для любых двух вещественных чисел е ге О, 6 == О и числа О ( р ( 1'). Для р-адического нормирования сор(а) поля рациональных чисел эквивалентным является каждое нормирование ф(а) = гр (а)', где а — произвольно фиксированное положительное число. Пусть гр и ф — нормирования поля К. Покажем что следующие три утверждения равносильны: 1.
гр и ф эквивалентны; 2, из гр(а) < 1 следует, что ф (а) ( 11 3, ф является некоторой степенью нормирования гр, т. е. ф(а) =гр(а)' для всех а при фиксированном е) О. Пусть сначала вьшолнено 1; докажем 2. Из гр(а)(1 следует, что а" стремится к нулю в смысле нормирования гр. Но тогда а" должно стремиться к нулю и в смысле эквивалентного нормирования !ч так что должно выполняться неравенство ф(а) (1. Предположим, что имеет место 2, и докажем 3.
Заметим прежде всего, что из го(а)(гр(Ь) следует гр(а[Ь)(1, в силу чего ф(а/Ь) ~1, а потому и ф(а) (ф(Ь). Пусть теперь р — произвольно фиксированный элемент из К, для которого гр(р) ) 1. Тогда и ф(р))1. Пусть а — произвольный элемент из К и !р(а)=<р(р)е, ф(а)=ф(р)е'. Покажем, что 6=6'. Пусть л и т — целые числа, для которых гг[т(б и т)О. Тогда !р (р)тт т" гр (р)Е го (а) так что гр (ре) ( ггг. (ат) Отсюда следует, что (ре) т-. ф (ат), ф (р)тт ( ф (а) = ф (р)е' л(т Так как верхняя граница дробей 1!)т, для которых л)т -б, в точности равна 6, то 6~6' и, равным образом, б'(6, так что 6=6'. Но тогда е= — — вполне определенное не зависящее !ох 4(р) !ок ~р(р) ) Пусть, скажем, Осе (6.
Тогда — ~~ — ) и [од[е+ 6)о=а [оаб+ !е ! ВР -1-Р [ОК [-о-+1)[:= Р!Оаб+[ОВ [ — +1) = [Од (Ее+бе). — ПРиМ, РЕд. НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 52! з 443! от а положительное число и, так как 3 =3', то для всех а имеем 1ой ф (а) = 6' 1од тр (р) = б! ОИ тр (р) = бе! ОН гр (р) = в !оц гр (а), откуда ф (а) = гр (а)'. То, что из 3 следует 1, очевидно. Таким образом, утверждения 1 и 3 равносильны. Если г( — поле с нормированием гр, а К' — поле с нормированием зр, изоморфное полю К, то изоморфизм между К и К' называется двусторснне непрерывным или топологическим, если он отображает каждую ф-нуль-последовательность из К на некоторую ф-нуль-последовательность из К' и наоборот.
Поля К и К' называются в этом случае непрерывно иэомоофными. В случае топологического изоморфизма сходящиеся последовательности переходят в сходящиеся, а фундаментальные — в фундаментальные. Отсюда непосредственно следует, что: Оепрерьгвно иэоморфные нормированные поля гх и К' имеют непрерывно иэачорфные пополнения Й„и йк .
3 а д а ч а 4, Показать, что среди известных вам нормирований поля рационзльных чисел — а именно, абсолютного значении и р-адических нормирований — любые два незквивзлентны. $ 143. Нормирования поля рациональных чисел Приводимая ниже теорема Островского показывает, что известными нам нормированиями поля рациональных чисел — а именно, р-адическими нормированиями и абсолютным значением — исчерпываются, по существу, все возможные нормирования этого поля.
При этом в качестве поля значений нормирований опять берется поле вещественных чисел. Лгобое нетривиальное нормирование гр поля 4!.) рациональных чисел либо имеет вид ф(а) — --',а'Р при 0(р=-! и, следовательно, эквивалентно обычному абсолютному эиаченшо, либо имеет вид ф(а) = ф (а)' при некотором фиксированном просгпом числе р и некотором фиксированном положительном числе о и, следовательно, эквивалентно некопюрому р-адическому норлшрсваншо, Доказательство. Для любого целого рационального числа и имеет место неравенство ер (и) ( ) и ~, потому что ф (гт) = ф ( ~ п ~ ) = ф (1 + 1 + ...
+ 1) = ( ф (1) + р (1) + "+ ф (1) = ~ п !. Пусть а ) 1 и Ь ) ! — два произвольных натуральных числа. Разложим Ь' по степеням числа а; Ь'=се+с!а+ ... +с„а", О~се(а, си~О. 522 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ 1гл. хан! Наивысшая степень а" числа а в данном случае не превосходит Ь': а" (Ь', т. е. 1ои Ь П ~У вЂ”. 1оаа' Если теперь предположить, что М=!пах(1, ср(а)), то в силу соотношений ср(Ь»)(ср(с„)+ср(с,) ср(а)+...+ср(с„) ср(а)" «- ..
а (1 + ср (а) -1- ...-) ср (а)о) а (и .! 1) Мо имеет место неравенство !Ьа Ь ср(Ь)» ..а(~а а+1)М! ао' 11оа а или о а1 т+а. с т(ь) с» 1оаь АС1оа а В силу леммы из 2 141 отсюда следует, что сов Ь ср (Ь) -- М !»а а т. е ср (Ь) ~ гпах 11, ср (а) сов о) Первый случай. Нормирование ср архимедово. Тогда существует целое число Ь, для которого ср (Ь) ) 1. Если бы для какого-нибудь другого целого числа а~1 имело место неравенство ср(а) ~1, то из доказанного выше неравенства получалось бы противоречие: ср(Ь)~1. Счедовательно, ср(а))1 для всех целых чисел а)1. Тем самым в данном случае получается неравенство вишь ср(Ь) ~ср(а) !Ьао или 1 1 Ср (Ь)1оаЬ ( Ср (а)!оао Так как а и Ь можно поменять местами, то 1 ! Ср (а) Сов о ( Ср (Ь) !»аь и, следовательно 1 ! ср (а) !ось = ср (Ь) 1оа ь Если ср (Ь) =-Ь", то отсюда следует, что ср(а) = аа.
Поэтому 'р(г)=! 1' 323 НОРЛгИРОВАНИЯ ПОЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧНСР.Ч 4 на) для каждого рационального числа г =- а)Ь. Обязательно р О, так как !р (а)) 1, и р (1, так как 2Р = гр (2) =- гр (1 + 1) =-= гр (1) + ф (1) = 2. Второи' случай. Нормирование ф неархилгедово. В этом случае гр (а) ~! для всех целых чисел а. Совокупность всех целых чисел а, для которых гр (а) (1, является, очевидно, идеалом в кольце целых чисел. Этот идеал прост, так как из гр(аЬ) .= = ф (а) гр (Ь) - 1 с необходимостью следует, что ф (а) - 1 или ф(Ь)(1.
Напомним, что в кольце целых чисел каждый идеал является главным и, в частности, каждый простой идеал порождается некоторым простым числом. Целые числа а, для которых ф(а)(1, являются поэтому кратными некоторого простого числа р. Каждое рациональное число г может быть представлено в виде г= — р', где целые числа г и и не делятся на р. Так как ф(г) =-ф(п) =1, то ф(г) =ф(р)Р =р-"'=ф (г)', где о = (охф(р) — некоторое фиксированное число, положительное 1ок р в силу ф (р) ( 1. Таким образом, нормирование ф эквивалентно р-адическому нормированию грр. После того как нормирования поля рациональных чисел (ь( описаны полностью, мы можем перейти к алгебраическим и трансцендентным расширениям; сначала рассмотрим случай алгебраических расширений.
На самом деле мы ограничимся неархимедовыми нормированиями, так как архимедовы нормирования менее интересны. Точнее, имеет место следующая теорема Островского: любое поле К с архимедовым нормированием неггрерывно изоморфно некоторому полю, состоящему из комплексных чисел, наделенному обычным абсолютным значением. За доказательством мы отсылаем читателя к оригинальному изложению'). Сформулируем план действий следующим образом: мы будем исходить из некоторого наперед заданного (неархимедова) нормирования гр поля К, Затем мы рассмотрим алгебраическое расширение Л поля К и выясним, как и сколькими способами можно продолжить нормирование ф поля К до нормирования Ф поля Л.
В 9 !44 поле К предполагается нормированным и полным относительно этого нормирования. В 9 !45 случай неполного поля сводится к случаю полного поля с помощью некоторого вложения. В 9 146 найденные результаты используются для того, !) Островский (Оа)гогеаЫ А.). ОЬег е)п(хе ьоаппяеп бег Гний(!опа1- 81е!своик ф(х)ф(р)=ф(ху).— дс1а ша11г,, 1918, 41, 3. 27! — 284. Основную роль в дальнейшем играет большая статья Островского, опубликованная в Маци Х., 1934, 39, 8. 296 — 404. нормированные поли )гл хтггг чтобы найти все архимедовы н неархимедовы нормирования про- извольного поля алгебраических чисел.
Зада ч а. Если Ч,(а) =' а , 'и грр(о) — р-адические нормирования, то нро. изведение всех этих значений для кагкдого фиксированного о равно !. й 144. Нормирование алгебраических расширений: случай полного поля Пусть поле К полно относительно показательного нормирования ю (а) = — !оя Чг(а), т, е, в нем имеет место критерий сходимости Коши. Выясним, как можно продолжить это показательное нормирование па алгебраическое расширение Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
