Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 108

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 108)

В кольце миогочленов Л [х„ ..., х,) идеал р = (х„ ..., х„) 512 нонминованньга поля (гл хчш Важнейшие исследования о нормированных полях относятся к случаю, когда поле значений Р архимедово. Согласно задаче 2 из 2 78 поле Р можно вложить в поле вещественных чисел. Поэтому мы будем отныне считать, что значения ф(а) являются вещественными числами.

Предполагаются известными (натуральные) логарифмы вещественных чисел и их простейшие свойства, а также степени ар положительных чисел а с произвольным вещественным показателем. Мы будем, кроме того, пользоваться следующей леммой о вещественных числах: Если а, р, у — положительные вещественные числа и ут -свч+р для каждого натурального числа т, то у =.1. До к а з а тел ь с т в о. Предположим, что у =1+ 6, 6 ) О. Тогда для т)2 имеют место соотношения у"=(1+6)'=1+.тб-',— + — ч(т — 1) 6'+...)тб+ — т(т — 1) 6', но для достаточно боль- 2 2 ших и обязательно тй) Р и — (ч — 1) 6') и, 2 у,) р+ат, откуда что противоречит предположению.

Вещественнозиачное нормирование ф поля Н называется не- архимедовым, если для всех натуральных кратных единицы и = = 1 + 1 +...+ 1 выполняется условие гр(п) ( 1. Например, р-адическое нормирование поля $ неархимедово. То, что поле значений в этом случае архимедово, не должно вызывать путаницы. Нормирование гр поля Н тогда и только тогда является не- архимедовым, когда вместо 4) выполнено более сильное неравенство 4') ф(а+Ь)(шах(ф(а), гр(Ь)).

также обладает свойствами А и Б. Соответствующая норма ф()) имеет вид е-', где в — степень слагаемых наинизшей степени в данном многочлене ). 3 а д а ч а !. Опустив в определении нормирования требование неотрииательности элемента ф(а), доказать, что если в поле Н существует элемент с такой, что ф (с) ( О, то отображение а г- ф (о) является изоморфизмом поля Н на некоторое подполе поля Р значений нормирования ф.

(Доказать, что в 4) имеет место равенство, для чего рассмотреть неравенство в 4) для случая ф (ос+ Ьс).) Задача 2. В случае в-адическик нормирований требование 4) можно усилить до 1). % и1! ногмиговьнпя Доказательство 1. Если 4') имеет место для сумм двух слагаемых, то и для сумм п слагаемых легко получить соответствующее неравенство. В частности, для и ==1-1-1+...-1-1 имеем ч (и) = шах (..., ч (1), ...) = 1, 2. Если ч — неархимедово нормирование, то для »=1, 2, ... имеет место следующее: (гр (а + Ь))' = гр ((а + Ь)») = Ч~ ~а'+ (, ) а' 'Ь +...

+ Ь') =- в,(а)»-1 ч, (Ь) ! ! ~в (Ь)»:! (»+ 1) М» где М =!пах(Ч~(а), ~р(Ь)). Но отсюда, согласно доказанной лемме, следует, что р!а+в) -1, так что р(а-)-Ь) =.=М, т. е. имеет место 4'). В дальнейшем мы будем рассматривать неравенство 4') как определяющий признак неархимедова нормирования н тогда, когда поле значений Р не есть поле нещественных чисел. Крулль заметил, что областью значений нормирования может служить произвольная упорядоченная абелева группа, поскольку значения нормы лишь перемножаются друг с другом и сравниваются по величине, а сложение не производится. Часто оказывается полезным следующее замечание, справедливое в отношении всех нормирований, неархимедовых в определенном выше смысле: Если значения ~р(а) и р(Ь) различньи то в 4') имеет место равенство.

Доказательство. Пусть, скажем, ~р(а)) ~р(Ь). Мы должны доказать, что ср(а + Ь) = р (а). Предположим противное: ср (а + Ь) С ср (а); тогда и р(а+Ь) и ~р( — Ь) =4~(Ь) меньше ч (а). Это противоречит неравенству ч (а) =шах(<р(а+Ь), ~р( — Ь)). Часто бывает целесообразно (и в литературе это принято) использовать иной способ задания неархимедовых нормирований. Вместо вещественных значений»р (а) рассматривают показатели в(а) = — !ой~р(а).

Определяющие соотношения для нормирования в терминах показателей выглядят так: 1) го(а) для а ныл является вещественным числом; 5!4 !гл. хли пояыиговкпные поля 2) !с(0) — символ о', 3) и!(аЬ) =!с(а)+!с(Ь); 4) ю(а+Ь)»пнп(ю(а), !с(Ь)). В этом случае говорят о показательном нормировании. Переход к показателям возможен благодаря тому, что ввиду усиленного неравенства 4') не нужно складывать значения ср(а). Логарифмическое отображение обращает упорядочение и превращает умножение в сложение. Пример. Пусть элементы поля К вЂ” мероморфные функции в некоторой области г-плоскости или, более общо, на некоторой рнмановой поверхности. Фиксируем произвольно точку Р на римановой поверхности и определим: и (а) для функции а равно а, если эта функция в точке Р обладае! нулем а-го порядка; и!(а) равно нулю, если рассматриваемая функция принимает в данной точке ненулевое значение; если же в данной точке функция имеет полюс порядка а, то значение ю (а) берется равным — и.

Легко видеть, что свойства 1) — 4) выполнены. Таким способом каждой точке Р ставится в соответствие нормирование поля К. Этот пример иллюстрирует значение теории нормирований для теории алгебраических функций одной комплексной переменной. Среди показательных нормирований различают дискрегпные и недискретные; первые характеризуются тем, что для каждого из них существует наименьшее положительное !с(а), которому кратны все остальные значения ю(а) (см, предыдущий пример), а вторые — тем, что значения !о (а) могут быть как угодно близки к нулю.

Так как целые кратные произвольного значения !с(а) вновь являются значениями нормирования: пю(а) =ю(а"), в не- дискретном случае значения и!(а) лежат в множестве вещественных чисел всюду плотно. р-адическое нормирование рациональных чисел является дискретным; таковы вообще все р-адические нормирования. В показательно нормированном поле К элементы а со свойством и!(а) =-. 0 образуют некоторое кольцо 3, потому что из ю(а)» » 0 и и! (Ь)» 0 следует и! (а +. Ь)» пип (и! (а), и! (Ь)) .- 0 н !о (аЬ) = = !с(а)+ю(Ь)»0. Совокупность р всех элементов а из К, для которых !с(а) ) О, является простым идеалом в 3.

Действительно, прежде всего, опять-таки нз !с (а) ) О, ю (Ь) ) 0 следует !с (а + Ь)» » т(п (!с (а), и! (Ь)) ) 0; следовательно, р — некоторый модуль Далее, из а ен), т. е. и!(а))0, и !с(с)»0 следует и!(са) = = и! (с)+!с (а) ) О, так что р — идеал. Наконец из аЬ = 0 (р), т. е. того, что !с (аЬ) = ю (а)+ !с (Ь) = О, следует, что по крайней мере одно из двух чисел и!(а) и и!(Ь) положительно, т. е. по крайней мере один из элементов а и Ь делится на р; поэтому идеал р простой. Кольцо 3 называется кольцом нормирования !с.

Элементы из 3 называются целыми (относительно нормирования), Говорят, что 515 4 ыз! ПОПОЛНЕНИЯ элемент а делится на Ь (относительно нормирования гв), если а)Ь вЂ” целый элемент, т. е. если иг(а) ) гв(Ь). Элементы а, для которых гв (а) = О, являются обратимыми в кольце 3. Так как все элементы из 3, не принадлежащие идеалу ), обратимы, то идеал р не имеет делителей в 3, Тем самым, кольцо классов вычетов 3/р является полем — полем классов вычетов нормирования. Если поле К имеет характеристику р, то, очевидно, и поле классов вычетов имеет характеристику р. Но если К имеет характеристику нуль, то поле классов вычетов может иметь либо нулевую характеристику (случай равных характеристик), либо ненулевую характеристику (случай разных характеристик). Типичные примеры случая разных характеристик доставляют р-адические нормирования.

Случай равных характеристик получается, например, тогда, когда рассматривается поле рациональных функций от одной переменной и показательное нормирование определяется тем, что его значением на произвольно взятой рациональной функции является разность между степенями знаменателя и числителя. р-адические нормирования, которые получаются с помощью идеалов в кольцах многочленов К!х„..., х„1, также дают случай равных характеристик.

По поводу дальнейшего развития описанных конструкций вплоть до полной классификации нормирований см. работы Хассе, Шмидта, Тейхмюллера и Витта' ), По поводу обобщений понятия нормирования см, работы Малера и Крулл я'). Задача 3. Показать, что в кольце 1 каждый идеал является либо множеством всех а, для которых ю (а) ) 6, либо множеством всех о, для которых ю (о) .== 6, где 6 — некоторое аеотрицательное всигественное число.

При любом дискретном нормировании можно ограничиться лишь случаем =, беря, если нужно, б, которое не входит в множество значений нормирования. В случае недискретного нормирования число В одвозначно определяется идеалом. 3 а д а ч а 4. В случае дискретного нормирования все идеалы кольца 3 являются степенями идеала М в случае же недискретаого нормирования, напротив, все степени идеала р равны р. $ 142. Пополнения Для произвольного нормированного поля К можно, в соответствии с 9 78, построить нормированное расширение 1)Н, в котором имеет место критерий сходимости Коши.

Характеристики

Список файлов книги