Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 112
Текст из файла (страница 112)
)=! Если последовательность (а<„'>( сходится, то (с,— а< >и ( — фундаментальная последовательность; тогда последовательности (а<'>') ) - и, сходятся по предположению индукции. Допустим, что последовательность (а<'>) не сходится. Тогда моя но выбрать числовую последовательность п„п„п„... так, что Ч) ~~а<'> — а!" +"'>) = в выполняется для всех т, где т — некоторое фиксированное пол аж и т е л ь н о е число. Последовательность т — ! сл (т+ ля) т — ! д„= „>,,'„— — ~~ „>,+„и,+и,„= ~~ Ь," и)+и,„ а — а ™ ,,а — а ю =. ! должна в этом случае сходиться к нулю, потому что последовательности числителей сходятся к нулю ввиду фундаментальности последовательности (с,). Имеем ))) — 1 д,— и = ~ Ь,"'иь )=! По предположению индукции, последовательности (Ь,"~) сходятся к некоторым пределам Ь, и, значит, ))) — 1 — и =,У~ Ь,иь Но это противоречит тому, что и„..., и„— базис поля Л над полем К.
Точно также доказывается следующее утверждение: последовательность >с,,) является нуль-последовательностью тогда и только тогда, когда таковыми являются последовательности (а<~>( (! =1, ..., и). На этом замечании основывается доказательство следующей теоремы единственности: Продолжение Ф нормирования <р полного поля К на алгебраическое рос>иирение Л определено однозначно и е<!)=) <<)) <!)). где Л) — норма в поле К ($), и — с>пепень этого поля над К.
бэ) э 145) овшии случай Доказательство. Достаточно рассмотреть случай фнкснроввнпого элемента $ н соответствующего поля К(й); под нормами будут подразумеваться лишь нормы в этом поле. Если некоторая последовательность [с,[ в этом попе стремится к нулю (в смысле Ф) н если ст линейно выражаются через базисные элементы и,,, и, поля К(с), то, в соответствии со сказанным выше, к пулю стремятся отдельные коэффнцненты а[т), а потому н норма, являющаяся однородным многочленом от этих коэффнцнентов. Предположим, что Ф($)л(гр(М($)) нлн Ф(э)" ьгр(У(еь)) Тогда элемент т» а) (еь) т) =- †' ., соответственно =М(й)' ел в обоих случаях имеет норму М(т))=1 н Ф(п)(1.
Следовательно, 1ппП»=0, а потому н 11птЖ(т)т)=О, что противоречит равенствам Лг (т)') = М (т))' = 1. 3 а д а ч а 4. Произнольный изоморфизм двух нормированных алгебраических расширений Л, Л' полного нормированного поля К, оставляющий на месте элементы из К, обязательно переводит нормирование поля Л в нориировзние полл Л'.
3 а д а ч а 5. Поле комплексных чисел обладает лишь одним нормированием Ф, которое в поле вещественных чисел совпадает с и (а) =', а )о — это нормированиее Ф (а) =,' а 'а $145. Нормирование алгебраических расширений: общий случай Пусть К вЂ” произвольное нормированное поле н Л вЂ” некоторое алгебраическое расширение этого поля. Обратимся вновь к следующему вопросу; как н сколькими способами заданное на К нормнровапне гр может быть продолжено на Л? Дтя простоты мы ограничимся сначала простым расширением Л = К (б). Элемент б будет корнем неразложимого многочлена Е(() нз К[ 1' Перейдем от К к пополнению ь) н построим поле разложения Х многочлена г" (г) над ь). Согласно 3 144 нормирование йз поля ьа однозначно продолжается до некоторого пормнровання Ф поля Е.
Под вловкенггети поля Л в поле Х мы подразумеваем некоторый нзоморфнзм в, который переводит поле Л = К (8) на подполе Л' — -К(6') поля Х н прн этом оставляет неподвижными все элементы нз К. Разумеется, нзоморфнзм о переводит элемент 8 в некоторый корень 0' многочлена г" (1) н этим полностью определяется.
Мы утверждаем теперь следующее: Квзадве вложение поля Л в поле Х определяет некоторое нормирование на Л. Действительно, подполе Л' в Х автоматически оказывается нормированным, а с помощью изоморфизма о-т нормнрованне с Л' переносится па Л. Очевидно, что полученное НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ ~гл хшн таким образом нормирование Ф на Л продолжает нормирование 1р на К. Мы утверждаем далее следующее: Каждое нормирование Ф полл Л, продолжающее нормирование 10 поля К, л1олсет бь1ть полуиено описанным способом при вложении Л в Х. Доказательство.
Построим пополнение поля Л. Оно содержит пополнение Й поля К, а также элемент 0; следовательно, оно содержит поле 11 (6). Это последнее можно расширить до поля разложения многочлена г", которое будет изоморфно полю разложения Х. Изоморфизы переводит Ф(8) в некоторое подполе Я(0') в Х, оставляя элементы из Й на месте и при этом переводя нормирование поля ь)(0) в однозначно определенное нормирование поля 11 (0'). Ограничение случаем простых расширений несущественно для доказательства.
Если вместо элемента 6 рассматривать конечное множество алгебраических эле1ввентов с„..., ~„, присоединяемых к основному полю и являющихся корнями многочленов у1, ..., д, пз К И, то в качестве Х нужно взять поле разложения произведения д1 (1) ... д, (1) и проводить рассуждения так же, как это было сделано выше. Если Л вЂ” бесконечное алгебраическое расширение поля К, то в качестве Х берется алгебраически замкнутое расширение поля Й. Доказательство остаетси прежним. Вернемся теперь к случаю простого расширения и разложим определяющий многочлен г" (1) из Я [(1 на неразложимые множители: Р(О=Р ЯЕ Я "Г:И). (1) Каждый изоморфизм о поля К (6) переводит 0 в некоторый КОРЕНЬ КаКОГО-та ИЗ МНОжвтЕЛЕй Гв (1).
КажДОМУ Г"„(~) СООтВЕтствует некоторое расширение (1 (6в), где 0„— произвольный корень многочлена г",,(1)1 какой именно, не важно, потому что все корни неразложимого многочлена сопряжены. Если изоморфизм о. переводит элемент 6 в элемент 6,, а элементы из К оставляет на месте, то каждый многочлен д(0) переводится им в многочлен д(8„), чем упомянутый изоморфизм и определяется. Следовательно, всевозможные вложения поля Л= = К(0) в Х определяются заданием соответствия =1,,, в). Но этим же задаются и нормирования: если задано значение Ф произвольного элемента 11=у(0), то нужно взять т-й сопряженный элемент т1, =д(6,.) и вычислить его значение в соответствии сэ 144: Ф(1) ="т"10(Л (ч,)), (2) где п,— степень многочлена Гв, а Ж вЂ” норма в поле (1 (8,).
$ !4б! НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЕЙ АЛГЕВРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ ВВЗ Таким образом, существует столько же продолжений нормирования ~, сколько неразложимых множителей у мноеочлена р(1) изаИ. ' $ !46. Нормирования полей алгебраических чисел Общая теория предыдущего параграфа очень хорошо иллюстрируется на примере поля алгебраических чисел. Пусть Л=В.)(0) — поле алгебраических чисел, т. е. некоторое конечное расширение поля рациональных чисел Чл, порожденное примитивным элементом 0.
Пусть г (х) — приведенный неразложимый миогочлен с корнем 0. Основное поле (ь) обладает единственным с точностью до эквивалентности архимедовым нормированием гр(а) =,а ~ и для каждого р единственным с точностью до эквивалентности неархимедовым нормированием, а именно, р-адическим нормированием: ~р (а)=р-, где т — показатель степени числа р в разложении рационального числа а на простые множители. Архимедову нормированию в качестве пополнения основного поля соответствует поле вещественных чисел 2.
Если еще присоединить число й то поле окажется алгебраически замкнутым, и г" (х) разложится на линейные множители: Р(х)=(х-В,)(х-о,) ... (х-В„). Чтобы получить разложение с вещественными коэффициентами, мы должны объединить каждые два комплексно сопряженных сомножителя в один вещественный квадратичный многочлен: (х — а — Ы) (х — а+ Ы) = (х — а)'+ В'. Если г — число вещественных корней, а г,— число пар сопряженных комплексных корней, то г" (х) распадается на г,+г, вещественных неразложимых множителей. Каждому такому множителю соответствует некоторое нормирование поля Л, получающееся, когда Л вкладывается в поле вещественных или комплексных чисел с помощью изоморфизма, переводящего В в вещественный или комплексный корень В„ причем из двух комплексно сопряженных корней всякий раз выбирается лишь один.
Этот изоморфизм переводит каждую функцию от 0 т1=д(5) =с,+с,5+ ... +с„,В"-' в такую же функцию от В,с т1,=а(ВР).=с,+с,ВР+ ... +с„,В„'-'. зз4 нормиРОВАнныа поля (гл. хчн! Соответствующее архимедово нормирование на Л выглядит так: бр(ч) =~ъ(. Все г,+ г, архимедовых нормирований элемента Ч получа)отса, ковда в последнем равенстве последовательно беру(пся вещественнь(е и комплексные злементь( Ч„сопряженные с Ч, причем в случае двух комплексно сопряженных чисел выбирается произвольно только одно.
г, + г, архимедовых нормирований поля алгебраических чисел тесно связаны с природой обратимых элементов этого поля. См. ван дер Варден (чап ()ег )г)аег((еп В. Е.). — АЬЬ. (па(Ь. Веш. Т)п(ч. НашЬигц, 1928, 6, Б. 259. Совершенно аналогично проводится исследование р-адического слУчаЯ. Пополнение, соответствУюЩее ноРмиРованию ч) = )Рр поля (ь) рациональных чисел, является полем р-адических чисел ()р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
