Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 111
Текст из файла (страница 111)
Напомним, что элементы а, для которых иг (а) ==О, называются цель!ми и составляют некоторое кольцо, а элементы а, для которых го(а) ) О, составляют в этом кольце некоторый простой идеал ). Основой в нашем исследовании будет критерий редукции в совершенных полях, восходящий к Гензелю. Если ач — коэффициент с наименьшим показателем в много- члене а„х" + а„,х"-'+... +аз над некоторым показательно нормированным полем, то а,. а„ ''' а„ вЂ” многочлен с целыми коэффициентами, среди которых не все делятся на р.
Многочлен с таким свойством будет называться примитивным. Л е м м а Г е н з е л я. Пусть К вЂ” поле, полное относительно пок загпельного нормирования ю. Пусть )(х) — примитивный многочлен с целыми коэффициентами из К. Если уе(х) и йе(х)— два многочлена с це.гыми коэффициентами из К, взаимно простые по модулю р, для которых ) (х) = уе (х) Ьо (х) (шод р), то существуют два мнггочлена д(х), й(х) с целыми коэффициентами из К, для которых Г(х) =д(х) п(х), д(х) — = аа(х) (пюд р), й (х) йе (х) (пюд р). При этом многочлены д(х) и гг(х) можно выбрать так, чтобы степень многочлена д(х) была равна степени многочлена до(х), рассматриваемого по модулю р.
% мй слтчхи полного поля Доказательство. Так как в многочленах д,(х) и й„(х) можно спустить коэффициенты, принадлежащие идеалу л, н при этом не изменятся ии условия, ни заключшше леммы, то мы будем предполагать, что старшие коэффициенты у д,(х) и й,(х) ае делятся на т и многочлеи Ь1,(х) имеет степень г. Более того, мы будем считать, что д„(х) умножен на --, а й„(х) заменен на ! и ! аЬ, (х) таким образом, что — д, (х) — приведенный многочлсн степени г, т.
е. его старший коэффициент равен 1; мы будем считать, что пв(х) =х'+... Если в апой ситуации Ь вЂ” старший коэффициент н л — степень мпогочлена й„(х), то старший коэффициент произведения п,(х) й„(х) равен Ь, а степень г+в — и. Мы построим сомножнтели д(х) и й(х) так, чтобы д(х) был приведенным многочленом степени г, а й(х) — мпогочленом степени п — г. Коэффициенты с многочлена Г(х) — д,(х)й,(х) имеют по условию положительные значения ю(е); пусть наименыпее из послед. них — некоторое число б,)0. Если б,=со, то !(х)=~ч(х)й,(х), и больше нечего доказывать. Так как д„(х) и й,(х) взаимно просты по модулю г, то существуют два миогочлена 1(х) и т(х) с целыми коэффициентами из К, для которых 1 (х) пв (х) + т (х) й, (х) = 1 (!пой р).
Наил!еньп!ее из значений нормы на коэффициентах многочлена 1 (х) д, (х) + т (х) й, (х) — 1 — некоторое положительное число бл Пусть в — наименьшее из чисел б„б„н, наконец, и — элемент, для которого ш (и) =- а. Тогда 1 (х) = пв (х) й, (х) (пюй и), (1) ! (х) дв(х) + т (х) й,(х) = 1 (пюй и). (2) Построим теперь д(х) как предельное значение некоторой последовательности миогочленов дв (х) степени г, начинающейся с д,(х), а й(х) — как предельное значение некоторой последова- тельности многочленов й, (х) степени ~ п — г, начинающейся с й„(х).
Предположим, что д,(х) и йт(х) уже определены и при- том так, что )'(х) — = д (х) й, (х) (!пой и'"), Ьг,(х) =в,(х) (той и), й„(х) = й„(х) (гной и) и, кроме того, п,(х)=х'+...— многочлен со старшим коэффициентом 1. Для того чтобы определить д,л,(х) н й,,(х), представим 526 !гл хшп ногмнговлнные поля их в виде д„, (х) = д,, (х) + л" 'и (х), й,ы (х) = й„(х) +л'"'о (х). (6) (7) Тогда д,, (х) йе м (х) — 7 (х) = д, (х) й„(х) — 1 (х) + + л'" (д„ (х) о (х) -1- й, (х) и (х)) + л""и (х) о (х). Положим в соответствии с (3) 1(х) — д,(х) й„. (х) = л""р(х); тогда Ычы(х)йч;-1(х) Р(х) = =л"' (д,(х) о(х)+й,(х) и(х) — р(х)) (|пос1 л"').
При этом левая часть будет делиться на л'", если будет д„(х) и (х) + й, (х) и (х) = р (х) (шоб л). (8) Чтобы добиться этого, умножим сравнение (2) на р(х): р(х)1(х)д,(х)+р(х)т(х)й,(х)=р(х)(шобл); (9) разделим р(х)т(х) на д„(х), так что остаток и(х) будет иметь степень ~ г: (10) р (х)т (х) =- д (х) до(х) + и (х). Подставим (1О) в (9): ( р (х) 1 (х) + д (х) /1„(х)) до (х) + и (х) й„(х) = р (х) (шоб л). Заменим в многочлене, заключенном в фигурные скобки, все коэффициенты, делящиеся на л, нулем; тогда получим о (х) д, (х) + и (х) й, (х) = р (х) (пюп л).
(1 1) В силу (4) и (5) из (!1) следует нужное сравнение (8). Далее и(х) имеет степень <г, так что д,э,(х) в силу (6) имеет ту же степень и тот же старший коэффициент, что и гг,(х). Остается лишь показать, что о(х) имеет степень (п — г.
Если бы это было не так, то в первом слагаемом в (11) старший член имел бы степень ) и, а степени остальных были бы другими. Коэффициент при этом члене должен в соответствии с (11) делиться на л, а потому старший коэффициент в и(х) оказывается кратным элементу л. Но так как мы удалили из о(х) все коэффициентьн делящиеся на л, то степснь о (х) оказывается: и — г. Из сравнения (8) следует, как мы видели выше, что 7 (х) = д„„з (х) йтм (х) (апой л'"). (12) Из (6) следует, что коэффициенты многочлена д,,м (х) — д„(х) делятся на л'+', а поточу при т-э-оз стремятся к нулю. Отсюда 327 СЛУЧАЛ ПОЛНОГО ПОЛЯ з \ !ч] в силу критерия сходнмости Коши следует, что д,(х) при и-~-ОО сходятся к многочлену д(х) =х'+...
Равным образом при и — ьоо и последовательность й,(х) сходится к некоторому многочлену й(х). Наконец, переходя в (3) к пределу, получим 1(х) = д (х) й (х). В силу (4) и (5) выполняются и сравнения д (х) =де (х) (Гпос( 1), й(х) =Ье(х) (шоб]). Лемма доказана. Вот одно простое следствие: Для неразложимого над К многочлена ((х) =а,+а,х+...+а„х" имеет место соотношение ппп(тв(а,), Гв(а!), ..., Го(а„)) =ш(п(Го(ае), тв(а„)).
Для доказательства мы можем предположить, что )(х) — примитивный многочлен. В этом случае минимум слева равен нулю. Предположим, что и](ае) и Гв(а„) больше нуля; тогда сушествовало бы натуральное число г, 0(Г«:,и, для которого и](а„) =О, НО ГО(ая) ) 0 ПРН Ус и+1, ..., П. НО тОГДа 1 (х) = — (а, + а,х+... + а,х') 1 (п]об р), О ( г .-. и, и, следовательно, многочлен 1(х) в силу леммы Гензеля разложим на дна множителя, степень одного из которых Г, а другого П вЂ” Г. Задач а 1 Если многочлен ((х)=х" +а„тх" т+...+па имеет целые козффициенты из К и неразложнм по модулю ]ч то 1(х) иеразложим и в пополнении Ок, Задач а 2. Если в многочлене Г(х)=х"+а„!х" '+...+па все козффицненты аа о ..., аа делятся на Р и ач не является произведением двух злементов нз ], то ! (х) неразложим (обобщение признака неразложимостн Эйзенштейна).
3 ада ч а 3. Исследовать разложение рациональных неразложимых миогочленов хе+ 1, хз+ 2, хз — 3 в поле 3-адических чисел. (Использовать задачу 1, лемму Гензеля и задачу 2.) Важнейшее применение последней теоремы состоит в доказательстве возможности продолжения нормирования с полного поля на алгебраическое расширение. )!усть К вЂ” поле, полное относительно показательного нормирования Гп, Л вЂ” алгебраическое расишрение поля К.
Тогда суи(ествует показательное нормирование ))У на Л, которое совпадает с Го на К, 528 ПОРМИРОВА!ПИ1Я ПОЛЯ !ГЛ ХРП1 Доказательство, 1. Пусть ~ — произвольный элемент из Ли а.+аь-1с" 1+...+а,=Π— неразложимое уравнение для $ с коэффициентами из К. Мы утверждаем, что )р 6) = „и1(по) — нормирование поля Л (которое, очевидно, на К совпадает с 1е). Для того чтоб1я доказать для произвольных двух элементов $, т! из Л соотношения 1Р ф)) == )Р (1) + В' (1)), )Р'Я+11) Ргппп (Ю'(З), %'(1))), рассмотрим подполе Л„= К(~, 1)), имеющее некоторую конечную степень 1 над К, и построим в этом поле норму элемента й. Согласно 2 47 имеем 11' ($) = ( — 1)' ~', и, следовательно, (Л1 (з)) = (~„') = ~щ(~,), )Р' 6) = — „(,) = —, 1е ()т' (ь)).
! 1 Так как Л'(З1)).—.У($) Л'(Ч), то отсюда получаем )р йч) =)р'($)+)р'(ч). При доказательстве соотношения (р ($+т1) =-" П11п (Ю' (з), В' (т!)) в силу того, что к'д+ !) =)р(п)+й7(1+ — ') ш 1п ()Р" (З), )Р' (т))) = )Р" (11) + пип ~ )Р' ( — ~, 0), мы можем ограничиться случаем Ч=1. Неразложимое уравнение для $+1 таково; (5+1)" +...+(а,— а,+а,—...+( — 1)" 'а„.1+( — 1)") = — О. В силу предыдущей теоремы имеем 1 )!7 (с+1) = — и1(ао — а1+...) = =- — пип(и1(о„), и1(а,), ..., ш(а„1), 1а(1))= 1 =.— ппп(а1(а,), и(!)) =пип(Ю'($), 0). ! 529 СЛУЧАЙ ПОЛНОГО ПОЛЯ З 1444 Если от показательных нормирований 4о (а), йг ($) перейти к обычным 1р(а) =е- 1'1, ФД) =е — 4У4Ь1, то нормирование расширения Л будет определяться равенством ФЯ) =РЧ(а.) или равенством '~141 =РЛУ 4411.
если Л имеет конечную степень гп над Н. Заметим, что та же формула верна и в случае архимедова нормирования. Единственный нетривиальный случай имеет место тогда, когда К вЂ” поле вещественных чисел, а Л вЂ” поле коьшлексных чисел. Нормирование Ч(з) =-~$~' поля К можно продолжить без каких бы то ни было дополнительных построеяий до Ф($) =~1~'. Однако для з=а+Ь( имеет место равенство ) Ц / =- 'У/а' + Ь' = ф' 4у (9) = 3/)Л1 (9)), так что Ф(9) =',$!'= гф(ЛГ(9)). По этой причине в дальнейшем мь1 снова рассматриваем архимедовы и неархимедовы нормирования вместе.
Пусть Л вЂ” расширение конечной степени поля К, и„..., и„— базис векторного пространства Л/К. 14усть К полно относительно нормирования 49. Если Ф вЂ” некоторое нормирование полл Л, совпадающее на Н с Гр, то последовательность с = а1"и, +... + а1"и, у = 1, 2, ... У 1 4 ''' л Ю являе1пся фундаментальной последовотельность1о относительно Ф п1огда и пюлько тогда, когда п последовательностей (аол1') фундаментальны относительно 49. Так как последовательности а,"' стремятся соответственно к пределам а; из К, то из сказанного следует, что Л вЂ” полное относительно Ф поле. ГА о к а з а т е л ь с т в о. Сходимость последовательностей (а1У11') мы докажем индукцией. Если с, имеют вид с,,=а1"и,, 1' то, очевидно, последовательность (а4'4( фундаментальна, если только фундаментальна с,. Пусть утверждение верно для всех 530 <гл хюп ногмиговлнные поля последовательностей вида ))) — ! )=! Рассмотрим ))) се= ~'а<я>и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
