Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Если )с принадлежит (аа-')-', то идеал ),аа-' является целым, а потому !а ' ~ а-', откуда ).оа-'аХа-со: — а ' и т. д., и вообще Х"а ' ~ а ', так что Х"а-'а — целый идеал. Если !А — произвольный элемент из а-'а, то все степени элемента Х после умножения на р становятся целыми. С помощью условия целозамкнутости кольца о, аналогично тому, как это было при доказательстве теоремы ! из З!37, получается, что сам элемент Х является целым.
Из 11 следует, что при определенном всоше умножении классов класс идеала а ' является обратным по Отношению к классу идеала а: произведение классов идеалов а и а-' есть единичный класс. Отсюда получается Теорема 1. Классы квизиравных идеалов образуют группу. Следующие два утверждения позволяют рассматривать квази- делимость и квазнраяенство как делимость и соответственно равенство с точностью до множителей из единичного класса: 12.
Из а= Ь следует, что ос=ЬЬ, где с о и идеал Ь целыйс. В частности, а ЬЬ. 13. Из а Ь следует, что ос=ЬЬ, где с о и Ь о. Действительно, в обоих случаях а ((Ф-') =Ь(аЬ-'). Наибольший общий делитель (а, Ь) является, конечно, квази- делителем как идеала а, так и идеала Ь. Покажем теперь, что: 503 твотся пделлов 5 340[ 14. Каждый общий квазиделитель идеалов а и ь является квазиделителем и идеала (в, 0).
Действительно, если с — один из таких делителей, то с" — общий делитель идеалов а и 1, а потому и идеала (сь 1). Два целых идеала а, в называются квазивзаимно проетьсми, если (сь й) — с, или, что то же, если каждый целый общий квази- делитель идеалов а и ! квазиравен кольцу в. 1вя Если идеал а является квазивзаимно простым с идеалами В и с, то он являезся таковым и по отношению к произведению вс.
Действительно, в этом случае (г, [) (а, с)=(в', ас, Ьа, [ч) с:(д, Ьс). Левая часть квазиравна кольцу в, а потому и правая часть должна быть такой же. Следуя Артину, докажем теперь такое предложение: Теорема 2 (сеорема о продолжении). Если даны два разложения некотврога целого идеала а: [2[1, ... 1„, с,с, ...
с„, (1) то оба произведения можно далыие разложить так, чтобы они совпадали с точностью до порядка следования сомножителей и квазиравенства; 6х Ц!'х с> И[в ° (2) я До к аз а тел ь ство, Положим (1„с,) =-[го В силу 12 имеем [с — 1„1,' и с, [пс,'. Следовательно, 1„=([„с,) — (1сс!1с, [„сс) = = [си([1;, с,'), так что (с;, с,') в. Положим далее (ь,', с,) =11„. В силу 12 имеем [; — [й2[; и с,=[„с,', откуда вновь следует, что (1,", с~) с. Продолжая таким образом, мы в конце концов получим, что[,=[,А, !2„1 и с„=[и,с,', (р=1, 2, ..., и). Подставим это в (1); тогда окажется, что ! „[„...
6,„1й, ... 1. - армс,'[смс, ... й,„с„'. В силу группового свойства (теорема !) можно сократить на 1!1с °, ° 0щ сссч, ° сд Идеал 1 квазивзаимно прост со всеми с„' и, значит, с произведением с,'с,', ... с„'. Однако 1 входит в качестве множителя в левую часть соотноснения, а потому является делителем произведения с',с,' ... с„'.
Значит, должно иметь место квазиравенство 1 в и можно отбросить множитель 1 тоже: !с 1е с(сс, сл Эти рассуждения теперь можно повторить для [,... 1„, и получить в конце концов требуемые разложения (2). Белые АлгеБРАпческие элементы 1гл, хч11 Начиная с этого места, все готические буквы будут обозначать целые ненулевые идеалы.
Такой идеал р мы будем называть неразложимым, если он не является квазиравным идеалу о и если в каждом представлении в виде произведения р а(! один из сомножителей обязательно принадлежит единичному классу, или, что в силу 12 то же самое, если идеал р, не являясь квази- равным идеалу ь, не имеет множителей, отличных от р и от ь в смысле отношения квазиравенства. Если заменить неразложимый идеал р на максимальный содержащий его идеал р*, то каждый собственный делитель идеала р' не будет квазиравен идеалу р, а потому обязан быть квазиравным идеалу ь. Каждый идеал, квазикратный идеалу р или идеалу р*, является в силу 4 кратным идеала р'.
Отсюда получается 16. Идеал р" является простым. Действительно, если некоторое произведение 61 двух главных идеалов 6 н с делится на р*, но ь не делится на р*, то идеал (ь, р*) является собственным делителем идеала р*, а потому оп квазиравен ь, откуда с = ьс (Ь, р*) с = (ьс, р»с)з:(р», р") = р*, следовательно, идеал с является квазикратным идеала р', а потому он делится на р*.
Если предположить, что в ь выполнена теорема о цепях делителей, то окажется справедливым следующее: 17. Цепь целых идеалов а,) а,) ..., в которой каждый последующий идеал является собственным квазиделителем предыдущего (т. е. квазиделителем, не являющимся квазиравным), обрывается после конечного числа шагов. Действительно, если заменить идеалы в„в„... наибольшими квазиравными идеалами в,*, в«*, ..., то получится цепь из целых идеалов а",: с: и,,* с: ..., которая, в соответствии с теоремой о цепях делителей, должна оборваться.
Можно сформулировать «теорему о цепях квазиделителей» (утверждение 17) как «принцип индукции по делителям» (см. ~ 115, четвертая формулировка теоремы о цепях делителей). Из этого принципа без труда получается, что каждый целый идеал квази- равен некоторому произведению неразложимых идеалов. Однозначность разложения получается как частный случай теоремы о продолжении (теорема 2).
Таким образом, имеет место Т е о р е м а 3. Каждый ненулевой целый идеал квази равен произведению неразложимых идеалов р„р„..., р«(в качестве которьсх, конечно, можно выбрать простые идеальс р,*, р»', ..., р,*), определенному однозначно с точностью до порядка следования сомиожителей и квазиравенства, ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ » ио1 Следствие.
Идеал а Р, ... 1„тогда и только тогда квази- делится на Ь вЂ” Р', ... Р'„когда каждый множитель р), входящий в разложение идеала 1, входит в разложение идеала а в не меньшей степени. В частности, если Ь вЂ” главный идеал, то, согласно 2, из квазнделимости следует обычная делимость. Если в качестве а и Ь взять главные идеалы (а) и (Ь), то получится критерий делимости элемента а на элемент Ь или того, что элемент аЬ ' целый. Прн добавлении классов неглавных идеалов к главным идеалам получится область, в которой, согласно теореме 3, имеет место однозначность разложения на простые множители, а этим и достигается цель «классической теории идеалов».
Теорема 3 имеет место и для дробных идеалов аЬ-', но в этом случае нужно рассматривать и отрицательные степени р-» (р-«)А Действительно, если а Р » ... р » и (Ь) ~ р « р » то аЬ-' р' ~« ... р' (3) и показатели а, — Ь, определены однозначно. Чтобы выяснить отношение построенной сейчас теории к общей теории идеалов и к конкретной теории идеалов, развитой в 5 137, мы должны выяснить, какие же простые идеалы являются нераз- ложимыми и какие идеалы квазиравны единичному идеалу о.
Мы уже видели, что для неразложимого идеала р идеал р' является простым. Докажем теперь следующее утверждение: 18. Любое ненулевое собственное кратное такого идеала р* не является простым. Действительно, если а — такое кратное, то а--р"; в силу 12 в этом случае а« =р*Р, где «о. Так как в разложении идеала Р каждый простой множитель участвует меньшее число раз, чем в а, то о=йО(а); точно так же Р*~О(а), но р»Ь= О(а). Следо- вательно, идеал а не является простым.
Рассмотрим разложение произвольного простого идеала р. Либо р о, либо в разложении р Г,р» ... Р, участвует некото- рый неразложимый множитель р,. Тогда р)р, и, следовательно, р ы р,*; но так как собственное кратное идеала р", не может быть простым идеалом, то должно иметь место равенство р=р,". Сле- довательно, Р =(Р»)" =Р1=Р1 а потому имеет место 19. Каждый простой идеал р либо квазиравен о, либо неразложим и равен соответствующему р".
целые АлгеьРА!!ческие элел!енты !ГЛ. ХЧ!! Во втором случае идеал р не имеет ненулевых собственных кратных, являющихся простыми идеалами, Напротив, в первом случае, как сейчас будет показано, такое кратное всегда существует: 20. Если р р, то существует неразложимый простой идеал г,"ь являющийся собственным кратным идеала р.
Действительно, если Р Ф 0 — пРоизвольный элемент из Р и (Р) 1!Ре ... Р„ ... р,* — его разложение, то из 2 следует, что р*!'р,",' ... р'„'=0 (р) = =0(р), откуда Г," = 0(1) при некотором т. Но вместе с тем р" ,~р, так как иначе выполнялось бы соотношение Г," Р. Если мы назовем простой идеал, не имеющий никакого простого собственного кратного, отличного от нулевого идеала, высоки.н, а простой идеал, обладающий таким кратным, напротив, низким, то свойства 18, 19 и 20 можно объединить в следующей теореме: Т е о р е м а 4.
Каждый высокий простой идеал р неразложим и равен своему р*; каждый низкий простой идеал квази- равен ш Идеал, не принадлежащий единичному классу, согласно теореме 3 о разложении, делится по крайней мере на один высокий простой идеал р=-р*. Но любой идеал из единичного класса не делится ни на какой высокий простой идеал. Тем самым единичный класс получает характеристику исключительно в терминах теории идеалов (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
