Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 107
Текст из файла (страница 107)
без обращения к нецелым идеалам). В силу аксиомы П в кольцах, описанных в р 13?, каждый ненулевой простой идеал делится только иа себя и на Р; следовательно, там нет низких простых идеалов, отличных от р. Так как каждый идеал а4=Р делится на некоторый простой идеал, не равный Р (доказательство: найдем среди делителей идеала !, ие равных Р, наибольший; он будет свободен от делителей и, следовательно, простой), то а не может быть квазиравным о. Тем самым единичный класс состоит пз одного лишь единичного идеала в. Из свойства 12 далее следует, что квазнделимость и делимость равносильны, а отсюда или из свойства 13 — что равносильны квазиравенство и равенство.
Таким образом, теория идеалов из 9 !3? содержится как частный случай в изложенной здесь теории. Теперь легко установить связи и с общей теорией идеалов, изложенной в пятнадцатой главе. Прежде всего, легко видеть, что каждый примариый идеал, у которого соответствующий простой идеал является низким, должен быть квазиравен идеалу с. Назовем эти примарные идеалы низки.ии, а остальные— высокими примарными идеалами.
Идеал а тогда и только тогда квазиравен идеалу Р, когда все его примарные компоненты являются низкими. Если у идеалов я и Р высокие примарные компоненты одинаковые (а низкие могут быть и различными), 507 6 !40! ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ то этн идеалы квазиравны. Среди идеалов, квазиравных данному идеалу з, существует наибольший в смысле включения идеал и"; он получается отбрасыванием всех низких примарных компонент из разложения и =[9„..., 6„]. Теоремы о разложении и единственности из этого параграфа можно интерпретировать так, что при этом все низкие примарные компоненты последовательно опускаются, а принимаются во внимание лишь высокие.
Каждый из высоких примарных идеалов делится только на один высокий простой идеал и, следовательно, при разложении, в соответствии с теоремой 2, он оказывается равным некоторой степени простого идеала; иными словами, каждый высокий примарный идеал квази- равен степени простого идеала. Обратно, каждая степень высокого простого идеала квази- равна некоторому высокому примарному идеалу. Действительно, если а=в' — степень высокого простого идеала, то и не может делиться больше ни на какой другой высокий простой идеал (а только на 1); следовательно, в разложении а = рг = [г)„ ..., 9,1 участвует только один высокий примарный идеал, Если им является, скажем, о„то и* = 9,; следовательно, идеал и = р' квазиравен примарпому идеалу 1,, Впрочем, идеал Яг — это в точности определенная в 9 120 г-я символическая степень простого идеала )ь Тем ссьиьси высокие примарные идеалы — это в точности символические степени высоких простых идеалов.
Идеалы и, для которых пе =а, называются, в соответствии с ° терминологией Прюфера, и-идеалами. Целые п-идеалы — это идеалы, в примарном разложении которых участвуют только высокие примарные идеалы. Все главные идеалы являются и-пдеалами. В каждом классе квазиравных идеалов существует одинединственный и-идеал а„= а*. Если, следуя Прюферу и Круллю, ограничиться лишь п-идеалами, то понятие квазиравенства окажется ненужным. Основная теорема (теорема 3) переформулируется так: Каждый о-идеал предспшвляется единственным образом в виде пересечения символических степеней р'! вьссоких примарных идеалов.
3 а д а ч а 1. Все результаты этого параграфа справедливы и в кольцах с делителями нуля, если только ограничиться идеалами, ие делящими нулевоя идеал, а вместо по.чя частных взять кольцо частных. 3 а д а ч а 2. Из теоремы ! следует целозамннутость кольца (см. 9 136). Задача 3. Доказать, что а:Ь г( '. Дальнейшие обобщения результатов этого параграфа см. в работах: П р юф е р (Ргшег Н.).
— 3. геше апяегч. Ма!Ь., 1932, 166, 5. 1 — 36; Л о р е ние н (1 огепхеп Р.). — Мань 2., 1939, 45, Б. 533-553. 508 (ГЛ. ХЧИ ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ Сводка резрлыпатоа лыории идеолоз Следующее сопоставление показывает значение для теории идеалов в целостных кольцах сформулированных в й !28 аксиомы 1 (теорема о цепях делителей), аксиомы 11 (каждый простой идеал не имеет делителей) и аксиомы 111 (целозамкнутости): из 1 следует: каждый идеал является наименьшим общим кратным некоторых примарных идеалов; соответствующие простые идеалы определены однозначно; из 1 и 11: каждый идеал является произведением однократных примарных идеалов; представление единственно; из 1 и 111: каждый идеал ивазиравен некоторому произведению степеней простых идеалов; имеет место единственность с точностью до квазиравенства; из 1, 1! и 111: каждый идеал есть произведение степеней простых идеалов; имеет место единственность.
Глава вссежнад»(атал НОРМНРОВАННЪ|Е НОЛЯ Указанная в ~ 78 конструкция расширения й для наперед заданного упорядоченного поля К использует не упорядоченность па К, а лишь существование абсолютной величины (модуля) ~а) произвольного элемента поля а. Поэтому естественно попытаться распространить эту конструкцию на поля, не наделенные упорядочением, для которых, однако, существует функция ~р (а) со свойствами абсолютной величины.
$ 141. Нормирования Поле К называется нормированным, если для каждого элемента а из К определено значение функции ~р(а) (норма элемента а) со следующими свойствами: 1) «р(а) — элемент некоторого упорядоченного поля Р; 2) «р (а) ) 0 для а Ф 0; ~р (О) = 0; 3) <р(аЬ) =«р(а) «р (Ь); 4) ~р (а+ Ь) ( <р (а) + «р (Ь). Из 2) и 3) немедленно следует, что <р (1) = 1, ~р ( — 1) = 1, «р (а) = «р ( — а). Из 4) следует, что если с=а+Ь, то ~р (с) — «р (а) ~ <р (с — а). Но вместе с тем и Поэтому Ч (а) — «р (с) ~ ~р (с — а). , '«р (с) — <р (а) ! ( <р (с — а). Неравенство 4) имеет место и тогда, когда Ь заменяется на — Ь: ~р (а — Ь) ( ср (а) + <р (Ь).
С помощью индукции по и неравенство 4) легко переносится на суммы и слагаемых. Каждое поле обладает «тривиальным» нормированием: «р(а) =1 для а~0 и «р(0)=0. В дальнейшем мы никогда не будем его рассматривать. Если поле К упорядочено, то можно положить ~р(а) = ~а~. Однако существуют и другие типы нормирований. Пусть, например, 510 1гл. хчш НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ Я в поле рациональных чисел. Если р †фиксированн простое число, то каждое рациональное число а Ф 0 можно записать в виде где числа з и 1 не делятся на р; положим фр (а) = Р-", фр (0) = О; тогда на $ будет определено некоторое нормирование. Установить условия 1) — 3) легко. Вместо 4) можно доказать даже более сильное неравенство фр(а+Ь) ( шах(фр(а), фр(Ь)), Действительно, имеем а= — ' р", Ь= р'", в, 1, и, о не делятся на Р, — Ф и если, скажем, фр(Ь) рьфр(а), т.
е. и'=-т, то + Ь рьр" +1и гь и, следовательно, фр(а+Ь) =Р— '"', т'= т, так что ф (а+Ь)~фр(Ь). Это — р-адическое нормирование поля чч'. Конструкцию Р-адического нормирования легко обобщить, Пусть о — произвольное целостное кольцо, К вЂ” его поле частных и р — простой идеал кольца ь со следующими свойствами: Й. Все степени Г, 1Я, ... попарно Различны и их пересечение равно нулю. Б. Если элел1ент а в кольце о делится в точности на р", т. е. делится на р", но не делится на р"~', а элемент Ь делится в точности на ра, то аЬ делится в точности на р"'а.
При этом р" обозначает соиокупность всевозможных сумм Х Р'1Р Я Р. где Р,„ — элементы из р. В частности, р' = р, 11Я=О. Положим теперь ф(0) =0 и ф(а) =е, если элемент а из о делится в точности на р", где е — произвольное вещественное число, большее 1. Тогда ф определено для элементов кольца ь и обладает свойствами 1) — 4). Но если нормирование определено для элементов целостного кольца, то с помощью равенства 1ЮРМИРОВАНИЯ 4!40 оно легко распространяется на элементы поля частных. Определение оказывается единственно возможным, потому что из а с — — или ас( = Ьс Ь д следует, что гр (а) гр (с() = 4р (Ь) 4р (с) или ~+~ =- Ч'(д) . Далее, норма 1р(а)Ь) также обладает свойствами 1) — 4). Первые три свойства просто очевидны.
Свойство 4) устанавливается так: ( а с 1 гр(ад+ьс) ср(ад)+гр(ьс) ( а 44 / с '1 гр('Ь + д) гр(Ьд) р(Ьд) =гр(,ЬГ+4р(д!' Зтим способом из нормирования, определенного в целостном кольце о с помощью простого идеала ), получается нормирование поля частных К. Это нормирование называется )-ад14ческим нормированием поля К. Свойства А и Б выполнены, в частности, тогда, когда р является произвольным простым идеалом в целостном кольце о, отличным от о и от нуля и удовлетворяющим трем аксиомам из 137, Следовательно, каждому такому простому идеалу р соответствует р-адическое нормирование поля частных К.
В частности, это имеет место для простых идеалов р в кольце целых элементов любого поля алгебраических чисел. Отсюда видно, насколько тесна связь между классической теорией идеалов и теорией нормирований, Пс добво тому, как зто было сделано в 4 !40, можно проводить рассуждения а более общем виде, исходя из целостных колец в, удовлетворяющих лишь аксиомам 1 и 111. В этом случае ограничиваются высокими простыми идеалами р в смысле Э 140 и строят их символические степени р~г в смысле й 120. Тогда оказываются выполненными свойства, аналогичные свой- ствам А и Б: А'.
Все степени рсо попарно Различны и их пересечение является нулевым идеалом. Б', Если элемент а делится в точности на р"', а элемент Ь вЂ” в точности на р"', то аЬ делится в точности на р'г" э'. Далее, можно, как и раньше, положить гр (О) =0 и для каждого элемента а, который делится в точности на р'м, 1р(а)=е '. Таким способом вновь получится р-адическое нормирование, соответствующее заданному высокому простому идеалу 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
