Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Пусть в 11 многочлен г" (х) разлагается на неразложимые множители следующим образом: Е(х) =-г"г(х)гэ(х) ... В,(х). Присоединим к 11 какой-нибудь корень О„неразложимого многочлена Е, н построим изоморфизм, который переводит Ч =д(0) в Ч,=у(ОР) (конструкция проводится для каждого ч =1, ..., з), Зтим нзоморфизмам соответствуют нормирования Ф,.(„)=Ф(„,)= у г(уча)) (2) нли, если взять логарифмы, й Р(Ч) = — „' ю,(ЛР(Ъ)). (3) При этом норма Л)Р(11,) является произведением всех элементов, сопряженных с Ч,, которые получаются, если в равенстве ЧР=-д(0ч) ЭЛЕМЕит 0ч ПрсбЕГаЕт ПОСЛЕдОВатЕЛЬНО ВСЕ КОрНН МНО- гочлена г",(х).
Если 0мн 0......— этн корни, то А''(ъ)=у(0.) у(0 ) ". (4) — симметрическая функция корней 0,, 0„„..., которая, следовательно, может быть выражена через коэффициенты многочлена Г,. Таким образом, мы можем с помощью формулы (3) найти все значения КР(Ч), если только известно разложение на множителя (1). Прп мер. Найти все нормирования квадратичного числового поля Л=$(У5). Определяющий многочлен, корнем которого является число 0=)'5, выглядит так: г (х) = х' — 5. э 1461 НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЕИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 535 В поле вещественных чисел г(х) разлагается на два вещественных линейных различных множителя: г" (х) = (х — )Р 5) (х+ ) Р5). Следовательно, сугцествует два вложения, которые получаются, когда В отождествляется с — )Р 5 или )/ 5.
Соответствующие нормирования при условии, что 11=а+Ьз — произвольный элемент поля, имеют вид р,(Ч)=~а+Ь)/5~ (5) Гр1(Ч) = ! а — Ь )р 5 !, (б) Тем самым найдены два архимедовых нормирова~ия. Обратимся теперь к р-адическим нормированиям, Дискриминант многочлена г"(х) равен 20. Простые числа 2 и 5, входящие в дискриминант, мы рассмотрим в последнюю очередь. Для всех остальных простых чисел р многочлен г" (х) по модулю р не имеет кратных множителей. Следовательно, существуют лишь две возможности: либо г (х) остается неразложимым по модулю р, либо г" (х) разлагается по модулю р на два линейных множителя. Если тогда х — с — один из этих множителей, то автоматически х+с — другой из них, потому что сумма обоих корней много- члена х' — 5 равна нулю.
Во втором случае, таким образом, х' — 5 = (х — с) (х+с) (шод р), (7) 5 =с'(пюд р). Итак, существует целое число с, квадрат которого сравним по модулю р с 5. При этом говорят также: 5 является квадратичным вычетом по модулю р. Обратно: если с' 5(р), то имеет место разложение (7). Следовательно: если 5 не являетгя квадратичным вычетом по модулю р, то мноеочлен х' — 5 неразложим по модулю р, а если 5 — квадратичный вычет, то хэ — 5 разлагается по модулю р на два линейных множителя. В первом случае многочлен г'(х) является и р-адически неразложимым, а во втором случае, согласно лемме Гензеля, он разлагается на линейные множители над полем ()р.
В первом случае, согласно сказанному выше, существует только одно соответствующее простому числу р нормирование Ф(Ч) =У'РР(У(Ч)). Положим опять 0=а+Ьч=а+Ь р'5, НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ ХЧН1 Тогда Л1 (Ч) = (а + Ь У5) (а — Ь 3/5) = а' — 5Ь' и тем самым Ф(ц) =) ~Р("-5Ь') (8) для всех простых чисел р, для которых 5 не является квадратичным вычетом. Если 5 — квадратичный вычет по модулю простого числа р, то, согласно лемме Гензеля, имеет место р-адическое разложение х' — 5=(х — у)(х+у). (9) р-адическое число у отыскивается следующим образом: сначала решим сравнение ся = — 5 по модулю р, затем по модулю р' и т. д. Каждый раз будут получаться два решения: с и — с. В итоге получатся две последовательности содержащихся друг в друге классов вычетов по модулю р, р', ...
Одна из последовательностей определяет р-адическое число у, а другая — р-аднческое число — у. Наконец, два продолжения р-адического нормирования 1рр поля ч( получаются тогда, когда порождающий элемент В рассматриваемого поля отождествляется один раз с у, а другой раз с — у. Положим опять 1!=а+Ьа; тогда оба нормирования представятся в виде Ф (ч) =ч,(а+Ьу), (! 0) Ф. (ч) =чг(а-бу). (! !) Так как р-адическое нормирование 1р поля (А известно, то нормирования Ф, и Ф, полностью определены. Следует отметить, что в конкретных случаях никогда не нужны последовательности классов вычетов по модулю р, р', ... целиком: процедура может быть прервана после конечного числа шагов.
Необходимо лишь выяснить, на какую степень числа р делится р-адическое число а+ Ьу, чтобы определить нормирование 1рр (а+ Ьу), Например„если после трех шагов удалось выяснить, что это число делится на р', но не делится на р', то 1гл(о+Ьу) = и Остаются еще два делителя дискриминанта: р=2 и р=5. В поле (11 многочлен г (х) =х' — 5 в соответствии с признаком Эйзенштейна Я )44, задача 2) неразложим, потому что все его коэффициенты, не считая первого, делятся на 5, а последний не делится на 5'.
Поэтому (8) имеет место и для р=5. 337 ггормиРОБАния пОлей АлГеБРАических чисел 4 ггз! В поле Т)г признак Эйзенштейна неприменим. Положим х =-= = 2у+1; тогда х' — 5 = (2у + 1)з — 5 = 4 (у' + у — 1) а многочлеи у'+у — 1 неразложим по модулю 2. Следовательно, х' — 5 неразложим в поле 2-адических чисел и (8) выполняется и для р=2. 3 а д а ч а 1. Многочлен к'+1 неразложим над полем вещественных и полем 2-адических чисел.
По модулю простого числа р, отличного от 2, этот многочлен разложим или нет в зависимости от того, имеет ли р внд 4Ь+1 нли 4Ь вЂ” 1, (Мультипликативная группа поля классов вычетов бр(р) является циклической порядка р — 1. Она содержит корни четвертой степени нз единицы или нс содержит нх в зависимости от того, делится ли р — ! на 4 илн нет.) 3 а д а ч а 2, Найти все нормирования поля гауссовых чисел а+Ь(. Какие в данном случае существуют архимедовы нормирования? Каким простым числам соответствуют два нормирования, а каким — одно? В 4 !41 мы видели, что существует тесная связь между теорией нормирований и классической теорией идеалов в полях алгебраических чксел.
Теперь мы мажем эту связь уточнить. Пусть по-прежнему Š— кольцо целых чисел в поле рациональных чисел $ н о — кольцо целых чисел в поле алгебраических чисел Л. Таким образом, как и в $ !36, имеет место схема включений К: — о П () Ятл Нормирования мы вновь будем записывать в показательной форме. Рассмотрим такие нормирования ЕЕ поля Л, которые являются продолгкениями р-адического нормирования ю из ((). При этом шр определяется так; если целое число т делится в точности йа р', а п — в точности на ре, то шг( — )=е — з Докажем для начала следующую теорему; Для элементов а когы!а о число )Р (а) неотринательно. Предположим противное; число )р (а) отрицательно.
Как целый элемент, влемент а удовлетворяет уравнению вида по=с,а'г г+ ... +с„, (12) где сг — числа из 2. Левая часть в (12) при сделанном предпологкении имеет отрицательное значение Ге' (ао) = пйу (а); однако правая часть в (!2) имеет большее значенве. Зто дает нужное противореч ие. Множество чисел а из о, для которых )Р (а) ) О, является простым идеалом э в о. Пусть п — элемент из о, который делится в точности на первую степень идеала уь Тогда, если а делится в точности на Р', то в силу 1 137 ао = Р'е. (! 3) В идеале с существует элемент с, не делящийся на р. Согласно (13) элемент к'с делится на а: и'с = аЬ.
(14) 538 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ (гл хчи! Левая часть здесь делится а точности на !", как и множктель а справа, так что Ь нс делится на г, и (р(Ь)=0. Равным образом (р'(с)=0 и из (14) следует что Ж' (сг):= )г' (и') = г)ч' (и). (15) Так кан )Р (и) является положительной константой, то нормирование 07 эквивалентно Р-адическому нормированию (р г (а) = г. (15) Тем самым мы получили основной результат: Все нгархчмедовы нормирования поля Л эквивалентны щади«вским нормированиям, которые определяются простыми идеалами р кольца о.
Каждому простол~у идеалу р в кольце о, отличному от нулевого и единичного идеалов, соотвгтствует некоторый класс эквивалентных неархимедовых нормирований )ч' и наоборот, Простое число р относительно нормирования (Р имеет значение 1, так как )Г соннадаст на (Ц с р-адическим нормированием гор. Применим теперь формулу (15) к а=р. Слева получится 1, так что справа не может стоять нуль, Это означает, что простой идеал а должен входить в правую часть разложения на множители ег г (р) = рг = ь,' (17) Пусть, например, В=рч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
