Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 117
Текст из файла (страница 117)
Действительно, если бы существовали т+2 таких кратных г,, ..., г „, то можно было бы построить линейную комбинацию г=Ь,г,+...+Ь,г „ (3) с постоянными коэффициентами, удовлетворяющую следующел(у условию: все коэффициенты при отрицательных степенях в разложении функции г равны нулю. Это на самом деле т линейных условий на т+2 коэффициентов Ь„..., Ь,. Каждое линейное условие, связывающее коэффициенты Ь„понижает ранг модуля, состоящего из функций (3), не более чем на 1; следовательно, функции г, которые удовлетворяют линейным условиям с,;=О, составляют модуль, ранг которого равен или превосходит (т+2) — т=2. Но этн функции г не имеют полюсов, и, следовательно, в силу теоремы ! П из 2 149 являются константамн. Константы составляют модуль ранга 1 над 11.
Следовательно, может существовать лишь т+1 линейно независимых кратных дивизора А-', т. е. ранг модуля 2?1 (А) не превосходит т+1. Цель последующего исследования состоит в определении ранга 1(А) модуля 211(А), т. е. числа линейно независимых кратных дивизора А-'. Число 1(А) называют также размерностыа диеизора А. Проведенное выше доказательство дает для целых дивизоров А неравенство 1(А) = и (А) + 1.
(4) Говорят, что дивизор А = Ц р" делится на диеизор В =Ц ГА, если АВ-' — целый дивизор и, следовательно, аг-.эЬ для всех )ь Само собой разумеется, что тогда и (А) == и (В) н 1(А) )1(В). Выведем теперь одно неравенство для разности п(А) — 1(А). Метод будет таким же, как выше. Пусть кратные дивизора А ' имеют вид (5) г = Ь(г( + . . + Ь(г( $ !501 ДИВИЗОРЫ И НХ КРАТНЫЕ где Ь! — константы и 1=1(А). Чтобы функция г принадлежала не только 1)1(А), но и п)1(В), в разложении г=(сантса,+...+с о )го))п-"+.. все коэффициенты при степенях и-', и-'чт, ..., и-'-' должны равняться нулю.
Это дает для каждой точки (а — Ь)1 линейных условий и, следовательно, всего ~ , '(а — Ь) [ = ~ а( — 'У, 'Ь[ =и (А) — и (В) линейных уравнений для коэффициентов Ь„..., Ь, в (5). Каждое линейное уравнение понижает ранг самое большее на 1; следовательно, 1(В) ~ 1(А) — [и (А) — п (В)1, или п (А) — 1(А) =- п (В) — 1(В). Неравенство в (б) имеет место всякий раз, когда А делится на В. Возьмем, в частности, А равным некоторому целому дивизору, а В=(!); тогда правая часть в (6) равна Π— 1= — 1, и мы заново получаем неравенство (4).
Следующая теорема почти очевидна: Если г Ф О, гпо модули ~О1 (А) и % (гА) илсеюгп одинаковые ранги: 1(гА) =1(А). Доказательство. Если у„..., у,— линейно независимые кратные дивизора (гА)-' =г-'А-', то у,г, ..., у,г — линейно независимые кратные дивизора А-' и наоборот, Дивизоры А и гА, отличающиеся лишь множителем (г), называются эквивалентными.
Итак, мы видим, что эквиволенгпные дивизоры имеют одинаковые размерности. 3 а д а ч а 1. Пусть А = Ц зо — некоторый дивизор в поле рациональных функций К=а (х). Показать, что кратные дивизора А з задаются равенством з = 1(х) Ц р (х) о, где р(х) — неразложимые миогочлены, которые, согласно $ 147, соответствуют простым дивизорам г, входящим в А и отличным от В Задача 2.
На основании задачи 1 показать, что 1(А) =и (А)+ 1, если п(А) =но, 1(А)=0, если п(А)<0. ллгавеличаскии ээнкции однои пегамвннои 1гл х!х $ 151. Род а' Пусть г — функция поля Н, отличная от константы. Дивизор (г) может быть представлен как частное двух целых дивизоров без общих простых множителей р: (г) =СР '. (1) Дивпзор С называется числителем, а дивизор Р— знаменагаелел! функции г. Степень поля К над Л(г) обозначим через и.
Степень дивизора С = П р' равна п (С) = ~ ', с)'; соответствующим образом записывается степень дивизора Р. Докажем теперь важное равенство п (С) .= п (Р) = п. (2) Пусть р, р', ...— простые сомножители в дпвизоре С=) [р', а с, с', ...— показатели степеней, в которых они входят в данный дивизор.
Целая относительно плейса р функция и поля К имеет относительно этого плейса разложение в ряд вида оэ и = ~ ', (а„,гс!+... + ал~иц) п~. о Отбросим часть ряда, начинающуюся после членов, содержащих и' ', в результате получится сравнение с †! и = — 'Я ~', а„!щл' (щог(п'), (4) л = о ! == ! аналогичные сравнения можно записать для плейсов р' и т. д. В силу теоремы о независимости (1 из 5 149) существует с1 функций им, начала разложений (4) которых относительно плейса р состоят из одного слагаемого и!!и', а относительно остальных плейсов р', ... начала разложений равны нулю. Аналогично существует с'~' функций ил!, начало разложения каждой из которых относительно плейса р' состоит только из слагаемого и!,'и и т.
д. м Мы утверждаем теперь следующее: с~+сТ+ ..=п(с) функций ил!. ил!, ... линейно независимы над Л(г). Предположим противное: имеет место линейная зависимость ~~ 1л! (г) им+ ~ 1л!(г) ил!+...=О, (б) где ),!, 1л!, ... — многочлены от г. Можно предположить, что постоянные члены сл!, ель ... этих многочленов не все равны % !лн год г нулю. Подставим в (5) вместо им, ил!, ... и в г разложения в ряды (3) относительно плейса в и рассмотрим результат по модулю и', как это сделано в (4); тогда многочлены 1л!(г) перейдут в постоянные члены сль функции им — в функции и!!и', а остальные ил„...— в нуль, Тем самым из (5) получается е — ! У ~ с„!и!!и'=О(п').
Леа'=! В силу единственности разложения в ряд (3) это соотношение возможно лишь тогда, когда все с„, = О. Аналогично все сл, должны равняться нулю и т. д. Мы получили, таким образом, противоречие. Из доказанной линейной независимости следует, что =- (с). Точно так же доказывается, если всюду заменить г на г-', что п=-п(О). Пусть теперь (и„..., и„) — некоторый базис поля К над Л(г). Всегда можно предполагать, что ит остаются конечными относительно тех плейсов, где конечна функция г. Действительно, если и имеет полюс относительно плейса в, относительно которого функция г остается конечной, то этому полюсу соответствует нормирование Ф'г, индуцирующее некоторое нормирование поля Л (г), отличное от нормирования и!, связанного с плейсом г=оз.
Отличные от ш нормирования поля Л(г) являются, согласно й 147, р-адическими, т. е. соответствующими неразложимым многочленам р = р(г), где каждый многочлен р относительно рассматриваемого плейса имеет какой-то положительный порядок. Следовательно, произведение р'!и7 при достаточно большом !( уже не имеет относительно р полюса. Так можно устранить последовательно все полюсы функцнй и!, в которых конечна функция г: достаточно умножить базисные элементы иг на подходящие многочлены от г, Все полюсы функции г находятся в знаменателе О.
Для достаточно болыпого пп функция и, является, следовательно, кратным дивизора 1.! "" . Выберем далее число т, превосходящее все т;. т г-гп!+1 (! =1, ..., а). Так как ~ (и! -т!) элементов поля К г" и, (О ~ р ( т — т!) 556 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ !ГЛ Х1Х линейно независимы над Л и являются кратными дивизора 0 '", то они принадлежат модулю %(0"). Отсюда следует, что ~ (т — т!) 1 (О"') = п (0"') + 1, или и!и к, т -1(0~л) --т.п(1)» 1 1 (6) Если устремить т к бесконечности, то из (6) получится соотношение п~и(0); однако раньше уже было доказано, что и~п(0), поэтому и = и (0) . (7) Разумеется, имеет место и аналогичное равенство п = п (С).
(8) Из (7) и (8) следует, что п ((г)) =и(С0 ') =О. Из (9) следует далее, что (9) п (гА) = п (А), (1О) т. е, эквивалентные дивизоры имеют не только одпнаковые размерности 1(А), но и одинаковые степени и (А). Подставим (7) в (6); тогда получится соотношение п(0) т — ~х~ т!.=-=1(0'"), или п(0'") — 1(0Ф) = ~" т!. (11) п (В) — 1 (В) =- п (О'") — 1 (О'"), а потому в силу (11) и(В) — 1(В) == ~х , 'т!. (12) Пусть теперь А — произвольный дивизор. Покажем, что (12) имеет место и для А.
Для этого достаточно доказать, что существует эквивалентный дивизору А дивизор ИА=В, который является делителем некоторой степени 0'". Пусть р — простой множитель, входящий в А=Пр" с некоторым положительным показателем. Если все эти простые днвизоры 1 являются полюсамн функции г, то уже сам А является делителем дивнзора 0"' и доказывать больше нечего. Если же Если  — делитель дивизора 0'", то, согласно (6) из 9 150, ИЛ!ЕЕА! бз! $ !Бг] вяктопы и ковактогы некоторый р не является полюсом функции г, то так же, как и выше, можно найти многочлен р=-р(г), который имеет относительно плейса р положительный порядок. Умножив А на р-», устраним множитель р» в А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
