Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 119
Текст из файла (страница 119)
Но тогда должно выполняться неравенство 1(А') — 1(А) (и (А') — и (А), а это невозможно, так как для А' и для А имеет место (1). Следовательно, отображение Г 11 взаимно однозначное. Оно изоморфио переводит модуль соотношений 11' иа некоторый модуль того же ранга 1(В) в модуле всех соотношений )х, т. е. на весь модуль соотношений В. Это означает следующее: Каждое соотношение гх может бьипь единственным образом продолжено до некоторого соотношения )х'.
Если теперь устремить показатель степени а' к бесконечности, начиная с а, и при этом каждый раз осуществлять продолжение соотношения Е, то получится однозначно определенная бесконечная последовательность (а,„~ (н=Ь, Ь+1, ...). (9) » ИВ! ЛИФФЕРЕИПИАЛЫ. ТЕОРЕЛ!Л ОБ ИНДЕКСЕ СПЕЦИХЛЫ!ОСТИ 563 То же самое можно сделать для каждого плейса Г, В результате получится система последовательностей (9) для всех плейсов Г, т. е.
некоторый ковектор Х, Но тогда соотношения (8) можно переписать в следующем виде: и Х=О. (10) Соотношение (10) имеет месго для всех элементов и из %(А'). Для каждой функции и из данного поля можно найти такой дивнзор А', который делится на дивизор В и на дивизор (и-'). Но тогда иА' — целый днвнзор, т. е.
функция и принадлежит модулю Яд!(А'), а потому удовлетворяет соотношению (10). Следовательно, соотношение (!О) имеет л!есто для всех функций и поля К. Так как имеется »(В) линейно независимых соотношений Й, то существует ! (В) линейно независимых ковекторов Х, определенных с помощью (9) и обладающих свойством (10). Следуя А. Вейлю, введем теперь понятие дирференциала! Определение 1.
Ковектор й со свойством (!О) для всех и из К называется дифференциалом поля К. Связь дифференциалов Вейля с ди рференциа!!амн классической теории функций будет описана в 8 155. Определение 2. Ковектор ) называется кратным дивизора В=Цр», если в определении этого ковектора участвуют а,» лишь с й =.Ь. Из определения ковектора немедленно следует утверждение: для каждого ковектора ) существует такой дивизор В, что ). явтяется кратным етого дивизора. На основании определений 1 и 2 можно следующим образом резюмировать доказанное в этом разделе: Т е о р е м а о б и н д е к с е с п е ц и а л ь н о с т и. Индекс специал»ности ! (В) равен числу линейно независимых дифференциалов Х, кратных дивизору В.
О п р е де л е н и е 3. Дифференциал назь!вается вс!оду конечным или дифференциалом первого рода, если он является кратным единичного дивизора (1), т. е. если все а„, с отрицательными индексами й равны нулю. Чтобы подсчитать число линейно независимых дифференциалов первого рода, нужно лишь применить теорему об индексе специальности к дивизору В=(1). Формула (15) из З 151 дает 1 (1) = 1 (1) — и (1) + а — 1 = 1 — 0 + и — 1 = а.
Отсюда следует: число линейно независимых дифференциалов первого рода равно роду д данного поля. Другое применение теоремы об индексе специальности мы получаем тогда, когда выбираем дивизор В равным дивизору С-', где С вЂ” некоторый целый дивизор, отличный от единичного, ллгнврдичнскин аннкции одноп пнрнсняпссоп 1гл хсх В этом случае 1(В) =О, потому что единственной функцией, кратной целому дивизору В-'=С, является нуль. Далее п(В) =— = — п(С), а потому с (С-з)=п (С)+д — 1.
(11) В частности, возьмем С = р", так что В = р-"; тогда и (С) = = пг, и мы получаем соотношение с (р-и) (12) Итак, имеет место утверждение: Если 1' — степень простого дивизора р, спо существует и)+д — 1 линейно независимых дифференциалов, являющихся кратными дивир-и 3 а д а ч а 1, Пусть основное поле б алгебраически замхнуто. Тогда, кроме дифференциалов первого рода, не существует дифференциалов, кратных дивозору Г-Ч т. е.
не существует дифференциалов тишь с одним простым полюсом ьь 3 ада ч а 2. Прн тех же предположениях для каждого н ) 1 существует элементарный дифференциал второго рода ы(г"), который имеет относнтелыю плейса г полюс и-го порядка. Каждый дифс)мрессциал, являющийся кратным дивизора н-в, может быть получен как линейная комбинация дифференциалов ы О'), ы(гг), .... ы(в») и а линейно независимыхдифферепциаловпервого рода. 3 а д а ч а 3.
При тех же условиях для любых двух плейсов пг и ге существует элементарный дыффгренцаал третьего рада ы(гс, Нг), который имеет относительно г, и вг простые полюсы. Каждый дифференциал может быть представлен как линейная комбинация элементарных дифференциалов второго и третьего рода и дифференциалов первого рода. 3 !54. Теорема Римана — Роха Теперь мы у цели. Прежде всего определим произведение сс)ь, составленное из некоторой функции и и некоторого ковектора Х. Произведение определяется как линейное отображение из З в йс )г и)ь=)ги Х. (1) Очевидно, операция иХ обладает свойствами А), Б) и В) из Я 152, а потому с помощью (!) оказывается определенным некоторый ковектор и)..
Если ) — дифференциал, то и и) — дпфференциал: о иХ=ои 1=О для всех о. Следующие вспомогательные утверждения почти очевидны: Лемма 1. Если Х-кратное дивизора 0=пра, то )г к=О для всех векторов )г, делящихся на 0-', и наоборот. Доказательство. Пусть ковектор )ь задается последовательностями (ага). Если ) — кратное дивизора Р, то в эти последовательности входят лишь индексы се~с(. Если, далее, вектор )г в 154! ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА задается степенными рядами УР У огртт (2) и У делится на О-', то в степенные ряды (2) входят лишь слагаемые с /» — д.
Скалярное произведение Х "Р оР~ (3) )+А=-1 равно нулю, так как сумма !'+Й никогда не обращается в — 1. Обратно, если У А=О для всех делящихся на Р-' векторов У, то в последовательность (аР„( могут входить лишь члены с Й»д, а потому А — кратное дивизора О. Лемма 2. Если А является кратныл дивизора О, то и7,— критное дивизори иР. ААоказательство. Согласно лемме 1 равенство У ) =О имеет место всякий раз, когда У делится на 0-', поэтому Уп ) =О всякий раз, когда Уи делится на Р-', т.
е. У и),=О, если У делится на (иР)-'. Пусть теперь ), — некоторь|й дифференциал. Согласно З 153 существует дивпзор О, на который делится А. Пусть В=в-", где р — некоторый простой дивизор степени 1. ААивизор В-'О=э"Р имеет степень а (В-Ч)) =и!'+а (О). Число линейно независимых кратных и дивизора ВР-', в соответствии с римановой частью теоремы Римана — Роха, удовлетворяет неравенству 1(В-10)»а1+а(0)-о+1. (4) Если и — кратное дивизора ВО ', то и0 — кратное дивизора В.
Согласно лемме 2 иА — кратное дивизора иР, а потому и). — кратное и дивизора В. Общее число линейно независимых дифференциалов, являющихся кратными дивизора В, равно 1(В). Следовательно, из (4) получается аг'+ а (О) — и+! ~1(В). (5) А(ля а.»О, согласно (12) из З 153, имеет место равенство 1(В)= п~+ и — 1. (6) Подставим это в (5); тогда получится а (О) ~2д — 2. (7) Таким Образом, степень дивизора 0 ограничена сверху. Следовательно, для заданного дифференциала ), существует некоторый максимальный дивизор ОА такой, что 1 является кратным дивизора ОА, но не является кратным никакого другого дивизора лл~ ввгличьсггив ог нкции одноя пггвменноя ггл, хгх типа В»)»', где ви — произвольный простой дивизор. Однозначно определенный максимальный дивизор О», являющийся кратным дифференциала Х, называется дивизсролг дифференциала Х.
Докажем теперь следующее: Все дифференггиалы ы илгеюгп вид иХ, где ).— произвольно фиксированный дифференциал. До к а з а тел ь с т во. Предположим противное: существует дифференциал го, который не представляется в виде и).. Тогда и»г~шо для всех функций и и о, отличных от О. (8) Как было показано после соотношения (4), существует по меньшей мере ггг+ п (О») — а+1 линейно независимых дифференциалов иХ, кратных дивизору В=р-". Равным образом существует по меныпей мере и)+п(В,) — и+1 линейно независимых дифференциалов оо», кратных дивизору В.
Все зти дифференциалы независимы, потому что никакая линейная комбинация дифференциалов иХ не равна линейной комбинации дифференциалов иго. Следовательно, при сделанном предположении существует всего 2п1+ соп51 линейно независимых дифференциалов, кратных дивизору В. Но согласно (6) существует всего лишь п1+г) — 1 таких дифференциалов. Для больших значений и в полученном результате заключено противоречие.
Следовательно, все дифференциалы имеют вид и»г, что и утверждалось. Заменим теперь В на произвольный дивизор А и вновь зададимся вопросом: сколько существует линейно независимых дифференциалов ы=и)г, являющихся кратными дивизора Ау Если ггХ вЂ” кратное дивизора А, то ).— кратное дивизора и 'А, и, следовательно, максимальный дивизор О, делится на и'А, а потому иЕ»» делится па А; следовательно, и — кратное дивизора АЕг»'. Обратно, если и — кратное днвизора А1)»', то, обращая рассуждения, получим, что иХ вЂ” кратное дивизора А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
