Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 120
Текст из файла (страница 120)
Таким образом, имеет место равенство г (А) =1(А-»О»). (9) Если это подставить в (15) из З 151, то получится основной результат: Теорема Римана — Роха. Если А — ггроизвсльный дивизар полл Н и Л вЂ” произвольный ненулевой дифференггиаг, гпа 1(А) = и (А) — а+ 1+1(А-»1)„). (10) Б67 ТГОРвмл Рпмлпл — Рохл 1 1541 Вот несколько дополнений к сказанному. 1.
Положим Л =(1); тогда из (9) илп, если угодно, из (!0) следует, что ((О») =-и. (11) 2. Положим А =-О,; тогда из (10) следует, что и (О» ) .= 2а — 2. (! 2) 3. Если л — некоторое кратное дпвизора О, то ил — кратное дивизора иО и наоборот. Следовательно, если О» — дивизор дифференциала гп то и0» — днвизор дифференциала и>ь.
Дивизоры О,„=--иО», дифференциалов о» =ил тем самым оказываются эквивалентнь>ми. Класс дивизора 0„ называется классом дифферен>(палов или каноническим классом. 4. Более общее утверждение: любой клисс дивизоров состоит пз дчвизоров вида иА, эквивалентных произвольно взятому в классе дивизору А. Все дивпзоры иА данного класса имеют одну и ту же (азмерность 1(Л) и одну и ту же степень п(Л); поэтому 1(А) называется рпзл>ерностью класса, а и (А) — степенью класса.
Размерность класса (Л) ьиожно определить следующим образом. Если и делится на А-', то иА — целый дивнзор. Следовательно, элементам и модуля .'111(А) соответствуют целые дивизоры иА класса (Л). Если функции и„..., и, линейно независимы, то дивизоры и>А,..., и,А назывп'от линейно нсзав>»самыми.
Ранг ((А) модуля 211 (А) является, слс:овательпо, л'.аксимальпым числом линейно независимых целых дпвизоров класса (Л). 5. Если п(Л) (О, то не может сугцествовать целый дивизор, эквивалентный дивизору А; и >этому ((А) =-О. 6. Если и (А) ) 2д — 2, то и (А >Оь) ( 0; следовательно, ((А»0»)==0 в силу 5. Отсюда в силу (9) следует, что >(А)=0. Итак: Дивизор А, для которояо п (А) 2а — 2, не является специальны,н. Задача 1. Существует только один класс (А(, для которого 1(А) -- я и и (А) =2я — 2; это канонический класс.
3 а д а ч а 2. Л>огхн( пелыа диаиэор В, для которого 1(В) ~ я, не является спепиальныл>. Тем самым построение общей теории для произволшп го основного поля Л окончено. В заключение мы опишем связь этой теории с классическим вариантом, когда г» считается полем комплексных чисел. Для этой цели нам придется сначала рассмотреть несколько вопросов, связанных с сепарабельностью.
Оби>ая теорема Римана — Рока переносится таки>е на тс.щ, явл>пощиеся конечными расширениями того или иного поля рапиональиык >(>уники(1 Д(г), См. В и т т (1(1111 Е.). (((е>папи - -((оси»с(>ег за1а щ>п и"-1>пп(>1>ог> (п Нурег. Копн 1ехсп.— Л(а(1>. Аш>„1234, 110, 3. !2. аав АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОИ ПЕРЕМЕННОИ ~ГЛ Х!Х й 1бб. Сепарабельная порождаемость функциональных полей Полем алгебраических функций от г переложенных называется любое конечное расширение К поля Л(х„..., х,) рациональных функций от г алгебраически независимых переменных хн ..., х,. Если поле К порождается над полем Л(х,, ..., х,) элементами х„„..., х„то К=-Л(хн,.,, х„х„н ..,, х„), где все х, — алгебраические функции независимых переменных х„, ..., х„.
Для такого сорта расширений имеет место Т е о р е м а о с е п а р а б е л ь н о й п о р о ж д а е м о с т и. Если поле констант Л совершенно, то элементы х„..., х„можно перенумеровать так, что все х~ станут сепарабельными алгебраическими функциями от независимых переменных х„...,х,. Доказательство. Проведем индукцию по и при фиксированном г. Случай п = г тривиален. Пусть поэтому и) г и утверждение считается верным для поля К(х„..., х„,). В этом случае мы можем предположизь, что х„..., х„,— сепарабельные функции от х„, ..., х,.
Элемент х„во всяком случае является алгебраической функцией от х„..., х, и поэтому удовлетворяет некоторому уравнению 1(хн ..., х„х„) =О, (1) которое может предполагаться целым рациональным по всем переменным х,. Если элементы поля хн ..., х, и х„заменить на переменные Х,, ...,Х„и Х„, то 1(Х„..., Х„) как многочлен от Х„можно считать неразложимым. Если 1 разложим как многочлен от Х„..., Х„, то один из множителей должен содержать только Х„..., Х,. Разумеется такой множитель можно всегда удалить из уравнения (!) Следовательно, можно предполагать, что 1 неразложим и как многочлен от Хн Если элемент х„ сепарабелен над Л (х„ ..., х,), то доказывать нечего.
Если же х„ несепарабелен, то характеристика рассматриваемого поля — некоторое простое число р и многочлен 1 содержит лишь такие степени переменной Х., которые могут быть записаны как степени элемента ХР. Если бы то же самое было верным и относительно входяших в многочлен г" элементов Х„ ... ..., Х„ то выполнялось бы равенство — Х Х'Х" (2) Но в совершенном поле Л каждый элемент а, является некоторой р-степенью: Р а, =-о, ° 559 КЛАСС!ГЧВСКИИ СЛУЧАЛ Следовательно, оказывалось бы выполненным равенство ~ = (~ ь,х"... х"х'")л. Зто, однако, невозможно, потому что ) — неразложимый многочлен. Таким образом, некоторая из переменных Х„, ..., Х„ скажем Х„должна входить в данньгй многочлен ( в такой степени, которая не делится на р. Из (!) теперь следует, что х,— некоторая сепарабельная алгебраическая функция от хе, ..., х, и х„.
Все хг зависят от х, ... ..., х„а также от х„х„..., х„. Так как степень трансцендентности поля Л(х„..., та) равна г, элементы х„„х„..., х, независимы. Поле Л(х„..., х„) сепарабельно над полем Л(х,, ..., х,), а последнее сепарабельно над Л(х„, х.„.,., х,), так что все х; сепарабельны над Л(хл, к„..., х„). Если теперь изменить нумерацию элементов кь переставив номера 1 н гг, то получится требуемое, Дли несовергпеннмх полей А. Бейла установил необходимое и достаточное условие сепарабсльной порождаемости. См.
по атому поводу мою работу Оьег утге~Га МенЬеягапенпя бег а!кеЬгапюЬеп бсогпс!гге.— АЬЬ. Мань зегп. нпгу. Нагпьпгя, !958, 22, 5. !58. $156. Дифференциалы и интегралы в классическом случае В классической теории функций рассматриваются абелевы интегралы ~ птс(2, где г — независимая переменная, т. е, функция, не являющаяся константой, а пг — произвольная функция поля К. Переход к любой другой переменной ( осуществляется с помощью формулы гп де = ~ нг -- с(г. 82 г)г В алгебраической теории можно отбросить символ интеграла и рассматривать только абелевьт дггфференг!палы щг(г.
Замена на новую переменную ! вновь осуществляется с помощью формулы ггт с(г = пг — с(г. Г!2 М гга Здесь выражение -- обретает смысл, если считать, что элемент г сепарабелеи над Л(!) (см. 9 76). По этой причине оказывается целесообразным ограничиться лишь такими переменными т, для которых поле К сепарабельио над Л((). Такие г' существуют, если поле К сепарабельно порождено и, в частности, если поле Л совершенное, это ллГО1гличгские Фуик1пп1 огпюГ1 ИГГемеииоп (Гл т1х Ради простоты мы будем предполагать, что поле Л алгебраически замкнуто. Читателю предоставляется возможность перенести описываемую здесь теорию на произвольные совершенные поля констант. Пусть переменная г раз и навсегда выбрана так, что поле К является сепарабельным расширением поля Л(г).
Чтобы исследовать поведение дифференциала ц1 02 относительно некоторого плейса р, выберем униформнзирующую л относительно этого плейса и разложим г в степенной ряд: г = Р (л) = ~, с„л'. (() Неразложимое соотношение Р(г, л) =О, связываюшее элементы г и л, должно выполняться, если вместо г подставить степенной ряд Р(л): Р(Р(л), л) =О. (2) Р' (л) — -- ~ч" АсулУ-1. Таким образом, пз (2) после дифференцирования, а затем подстановки вместо Р(п) снова элемента г, получается равенство Гг (2, л) ° Р (л)+ Гл (2, л) =-О, (3) в котором Р; и Г„' обозначают частные производные от Р по г и л.
Так как элемент л сепарабелен над Ь (г), то обязано выполняться соотношение Р,',(г, л) ~0. Согласно (3) элемент Р,'(г, л) не может быть равным пулю, так что элемент г сепарабелен яад дг Л (л). Таким образом, дифференциальное частное — определено лл и удовлетворяет уравнению Р,'(г, л),— "' +Р„;(г, л) =-О. (4) Сравнение (3) с (4) дает — =Р (л) = ~~~~йсул дл (5) Следовательно, сспарабельная переменная г дифференцируема по каждой униформизирующей относительно любого плейса и степенной ряд для соответствую1цего дифференциального частного получается почлениым дифференцированием степенного ряда для самой переменной г.
Теперь слева стоит некоторый степенной ряд от л, все коэффициенты которого равны нулю. О" и остаются нулевыми и после формального дифференцирования этого ряда, если определить формальную производную степенного ряда Р(л) равенством КЛАССНЧВСКИЙ СЛУ'ИП 5 !5Щ Теперь дифференциал ше1г может быть выражен через униформпзирующую и: го е)е = "ю — ггп. ег (6) ол дг Конечно, степенной ряд для ш — есть произведение степенеп ного ряда для ш на степенной ряд (5). Пусть в результате по- лучается ог г~ ш — = ~а пь. ,ь .2 17) а,п 'дп, представленный через новую униформизирующую т, имеет тот же самый вычет а,, Следовательно, достаточно рассмотреть лишь слагаемые и 'дл (и) !) 18) Если в ряд 17) не входят степени с отрицательным показателем, то говорят, что дифференциал ше)г остаетол конечным относительно плейса р.
Если в указанный ряд входят только положительные степени и наименьший показатель среди них равен а, то говорят, что плейс р является корнем а-го порядка для данного дифференциала. Если же входят степени с отрицательными показателями, то плейс р — гголюо для данного дифференциала. 77орядок дифференциала в плейсе 1 — это наименьший показатель степени й среди степеней униформизирующей, участвующих в рассматриваемом ряду с ненулевыми коэффициентами ка„. Очевидно, все эти понятия не зависят от выбора униформизирующей. Полюсы дифференциала шг!г следует искать среди полюсов элементов ш и г; действительно, там, где ш и г конечны, дифференциал гое)г пе может иметь полюса.
Следовательно, каждый дифференциил гог)е имеет лишь конечное число полюсов. Вычегпом дифференциала ше1г относительно плейса ) называется коэффициент при и-' в разложении 16). В классической теории вычет можно получить, проинтегрировав дифференциал шггг по маленькой окружности на римановой поверхности с центром в р и разделив результат на 2п1, Докажем общий факт: вычет не зависят от выбора униформнзирующей. Степенной ряд (6) может быть представлен как сумма трех видов слагаемых: слагаемые с й ( — 1, одно слагаемое с А =- — ! и некоторый степенной ряд без отрицательных показателей степеней. Разумеется, этот последний степенной ряд имеет вычет, равный нулю, и поэтому в рассмотрениях может быть отброшен.
Слагаемое а,п-' дает вычет а „и легко увидеть, что диффе- ренциал 672 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОН ПЕРЕМЕННОП ~ГЛ ЮХ и доказать, что при преобразовании ,т+а т2 1„ 2(л = (1+ 2азт+...) Г(т (9) Если эту функцию разложить по степеням т, то получится степенной ряд р „. ""+ +р- '+р +р + Дифференциал этого степенного ряда является умноженным на Г(т степенным рядом, в которьш не входит слагаемое с т-'. Следовательно, вычет после преобразования остался нулевым, что и требовалось доказать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
