Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 124
Текст из файла (страница 124)
Пусть теперь наоборот — задана система множеств У в группе О, которые удовлетворяют требованиям Е, — Е,. Построим сдвиги а(/ и будем считать их базисом окрестностей точки а. Очевидно, эти базисные окрестности обладают свойствами (/, и (/» (9 159). Покажем, что они обладают и свойством (/;. 587 окгвстностн едгпппэ $ 168 Пусть, таким образом, У(а) =аП. Согласно Е, существует множество 1' такое, что к' $' содержится в У. Если теперь х— точка из а1', то хУ содержится в аГГ, а потому и в аУ. Тем самым Ц доказано. Теперь мы должны доказать ТО, и ТО, Я !62).
Пусть дана произвольная окрестность аЬУ. Согласно Е. существует такое множество Р, что К 1' принадлежит У. Согласно Е4 в Ь)Ь-1 существует некоторое (и. Поэтому а(ч'. Ь1' ы а ЮЬ 1 Ь*ч" =аЬ'ч"ч' с: аЬП, чем и доказывается ТСь. Пусть дана произвольная окрестность а-Ч). Существует такое множество Р, что У-' принадлежит У. Кроме того, существует множество йг, принадлежащее а 1'к'а.
Имеет место включение а)ч'~ Га, так что (аЖ')-' ы (1'а)-'=а 'Г-' к а Чl, чем и доказывается ТО,. Следовательно, для того чтобы превратить группу в Т-группу, нужно задать базис окрестностей единицы и доказать Е,— Е,. Свойства Е, и Е, могут быть объединены в одно: Еэ а. Для каждого множества У существует 1', удовлетворяющее соотношению $'-11' с= У, В случае абелевых групп свойство Е, излишне. Если группа записывается аддитнвно, то вводятся окрестности нуля и три следующих требования: 1, Каждое множество У содержит нуль. 2. Для каждого У существует 1', удовлетворяющее условию 1' — 1': — У. 3.
Каждое пересечение У () )г содержит некоторую окрестность Г. Для того чтобы Т-группа, определенная с помощью окрестностей единицы, была Т;группой, должна выполняться следующая аксиома отделимости: Е,. Для каждого элемента а~в существует окрестность П, не содержаи(ая а. Требования Е, и Е, можно объединить в одно: Пересечение всех окрестностей 0 состоит из одной лишь единицы.
Соответствующее требование для аддитивных групп: Пересечение всех окрестностей У содержит только нуль, Если б не является Т;группой, то, кроме е, существуют и другие элементы р, принадлежащие всем окрестностям единицы е, а потому не отделимые от е. Очевидно, эти элементы составляют некоторую нормальную подгруппу У в 6. Согласно $ 162 под- 888 топологическля ллгеппл [гл.
хх группа М является замкнутой оболочкой множества [е[г, поэтому подгруппа Ж замкнута. Факторгруппа 6/М является Т;группой. Задача. Пусть в группе 6 задааа последовзтельность содержащихся друг в друге нормальных подгрупп: Нт~ Нз — > Если базиспыми окрестностями единицы объявить зти нормальные подгруппы, то свойства Ез — Ез будут выполнены н о окажется Т-группой. Свойство Ез будет выполнено толька тогда, когда пересечение всех Н[ состоит из одной единицы. $ !64.
Подгруппы и факторгруппы Каждая подгруппа и Т-группе снова является Т-группой. Особенно важными являются замкнутые подгруппы. Каждая открь[тая подгруппа является замкнутой. Доказательство. Пусть Н вЂ” открытая подгруппа в 6. Смежные классы аН также открыты в 6. Объединение всех смежных классов, не считая Н, вновь является открытым. Это объединение является дополнением для подгруппы Н; следовательно, Н замкнута. П риме р 5. Пусть Я вЂ” кольцо всех матриц из и строк и и столбцов над полем вещественных чисел. Обратимыми элементами в Р являются те матрицы А, которые обладают обратной матрицей А '.
Обратимые матрицы составляют некоторую группу 6. Определим кубическую окрестность произвольной матрицы А как совокупность матриц В, для которых [Ьм — ага, Сг !см. 8 159, пример 4); тогда Н будет аддитивной, а 6 — мультипликативиой топологической группой. В группе 6 можно рассмотреть подгруппу матриц А с положительными определителями О. Эта подгруппа в 6 открыта, а потому и замкнута. Пусть Н вЂ” произвольная нормальная подгруппа в 6. Замкнутость этой подгруппы пока не предполагается. Построим факторгруппу 6(Н = 6. При гомоморфном отображении а й группы 6 на группу 6 базисные окрестности У единицы е переходят в некоторые подмножества с[ группы 6, тривиальным образом удовлетворяющие условиям Е,— Е,.
Тем самым множества Н определяют на 6 некоторую топологию. В смысле этой топологии отображение а й непрерывно, что следует непосредственно из определения непрерывности. Таким образом, Каждая факторгруппа топологической группо[ является топологической и отображение а~ й при етом непрерывно. 589 з )бб) т.кольца н т талл Выясним теперь, прн каких условиях факторгруппа удовлетворяет первой аксиоме отделимости Т,.
Вот ответ: Если норлгальная подгруппа Н в 6 является замкнутой- подгруппой, то О/Н является Т;группой и наоборот. Доказательство. Пусть Н вЂ” замкнутая в б нормальная подгруппа. В этом случае каждый смежный класс аН является замкнутым в О. Если аде, то е не принадлежит классу аН, т. е. е принадлежит открытому дополнению класса аН.
Следовательно, существует некоторая окрестность (/ точки е, не имеющая с аН ни одной общей точки. Образ Г' в группе Ст тогда не содержит элемента и. Следовательно, группа 6 удовлетворяет условию Е,; поэтому гэ является Т;группой. Пусть теперь г/ — Т;группа. Тогда множество элементов а~=е открыто в с/. Так как отображение а а непрерывно, прообраз этого открытого множества открыт. Однако этот прообраз является дополнением до подгрунпы Н в исходной группе О. Следовательно, подгруппа Н замкнута в 6. 3 а д а ч а, Пусть Н вЂ” подгруппа и Дг — пормальпап подгруппа в 0 Если У замкнута в 6, то пересечение 0= Н )) Н замкнуто в Н и естествеггиыа изоморфизм между Н,'О и УНиц непрерывен.
$165. Т-кольца и Т-тела Топологическое кольцо (кратко — Т-кольцо) — это топологическое пространство, которое одновременно является кольцом, причем х+у, — х и ху являются непрерывными функциями своих аргументов. Вместо этого можно предполагать, что х — у н ху — непрерывные функции от х и у. Следовательно: Тгтг, Для каждой окреспгности (/(а — Ь) существуют окрестности )у(а) и (р'(Ь) такие, что все разности элементов из р(а) и из 5'(Ь) принадлежат Б (а — Ь). Тйз. Для каэкдой окрестности 1/(аЬ) существуют окрестности )т(а) и ЯУ(Ь) такие, что все произведения элементов из )'(а) и %'(Ь) принадлежат (/(аЬ). При определении Т-тела требуется, кроме того, чтобы х-' было непрерывной функцией от х, т.
е. следующее условие: ТЯ. Для каждой окрестности (/(а-') существует окресгпность )/(а) такая, что элементы, обратные к содержащимся в ней элелгентам, принадлежат (/ (а-'). Если выполнена аксиома Т5, то говорят, что топология кольца является топологией тела. Разумеется, коммутативные Т-тела называются Т-)галями. Всякое кольцо является абелевой группой относительно сложения.
Чтобы определить топологию на этой группе, согласно 162 достаточно определить базис окрестностей (/, (У, ... нуля, тополопивскля АлГББРл !ГЛ ХХ который удовлетворял бы условиям 1, 2 и 3 ($ 163). Чтобы умножение также было непрерывно, нужно потребовать следующее: 4. Для а, Ь и (У существуют такие У, Ф', что (а+ У) (Ь+ )У) ы аЬ+У. Топологическое тело должно, кроме того, удовлетворять следующему условию, эквивалентному Т$: Для элемента, отличного от нуля и окрестности 0 существует такая окрестность У, что (а+ У)-' с= а-'+ У. Можно положить асГ=0' и Уа-'=У', так что У=а-%' и 1' = У'а. Тогда из (1) будет следовать, что а-' (1+ У')-1 с= а-1(1+(!') или (1+ У')-1: — 1+ (1".
(2) Поэтому достаточно устанавливать справедливость условия (1) только для а=!. Следовательно, аксиома ТБ эквивалентна следующему условию: 5. Для каждой окресп1носпш У нуля суи!ествует другая окрестносгпь У нуля такая, что (1+У)- ~!+и. (3) Примерами Т-полей могут служить нормированные поля и, в частности, поле вещественных чисел, поле комплексных чисел или поле р-адических чисел, а также их всевозможные подполя. Топологическим кольцом является и кольцо всех вещественных (пх11)-матриц.
Базис окрестностей нуля состоит в этом случае из множеств (у, состоящих из матриц, элементы которых по абсолютной величине меньше заданного положительного числа е. Дальнейшие условия получаются при рассмотрении в произвольном кольце с некоторой последовательности двусторонних идеалов, содержащихся друг в друге, 31 — 62— эти идеалы можно принять за базис окрестностей нуля. Условия ! — 4 тогда будут выполнены.
Топологическое Т;кольцо получается при такой конструкции тогда, когда пересечение всех й, равно нулю. Топологию кольца, определенную с помощью последовательности (й,), называют (й,)-одической топологией. Если, в частности, й, †э степени некоторого простого идеала Р в коммутативном кольце в: Р~Р ~Р'~ 591 пополнение груп!! $ !зз) то говорят о М-пдической топологии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
