Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 125
Текст из файла (страница 125)
Позднее мы увидим, что во ьшогих важных случаях пересечение степеней идеала 1 равно нулевому идеалу. Во всех таких случаях, следовательно, имеет место аксиома отделимости Т,. В 9 141 последовательность степеней р' простого идеала р была при более сильных условиях использована для определения некоторого нормирования кольца с. Однако если не предполагается рассматривать нормирование, а имеется в виду лишь топология на кольце, то эти Гюлее сильные условия излшпни. 3 ада ч а 1.
Условие 4 можно разбить на несколько более частных условий; а) для о и ГГ существует окрестность )г такая, что о)г ~ ЬГ! б) для Ь и У существует окрестность ч' такая, что )гь к ГГ; в) для ГГ существует окрестность )г такая, что )г)г щ ГГ. Задач а 2. В теле нватернионов над полем вещественных чисел 6 93, пример 2) можно следующим образом ввести окрестности нуля: Гга состоит иэ кватерниоиов а+Ь/+сй+Щ с нормой 1а — Ь!' — ГЬ вЂ” гГГ) (а + ЬГ+ ой+ от) = а'+ У+ с'+ Вз, меньшей в. доказать, что тело нватернионов с этой топологией является 3;телом. $166, Пополнение групп с помощью фундаментальных последовательностей В 9 142 для каждого нормированного поля было построено его расширение, в котором выполнялась теорема Коши о сходи- мости.
Вспомогательным средством при этом служили фундаментальные последовательности )а,), которые характеризовались тем, что а,— ав при достаточно больших ч и и принадлежат произвольной окрестности нуля. Проведем теперь аналогичную конструкцию для Т-групп, следуя методу ва н Да н ц ига '). Последовательность )х,) в некоторой Т-группе называется последовательностью Копти или фундаментальной последовательностью, если произвольная окрестность единичного элемента группы содержит элементы х,,'х, при )г)т и ч)т. Топологическая группа называется слабо полной, если каждая фундаментальная последовательность в ней имеет в ней же предел. Зададимся теперь следующей целью: расширить произвольную Т-группу, удовлетворяющую аксиомам Т, и А,, до некоторой слабо полной Т-группы.
Доказательством следующей леммы я обязан Г. Р. Фишеру. Окрестности единицы, как и раньше, будут обозначаться через У, Лемма. Пусть 1х„~ — произвольная фундаментальная последовательность. Тогда для каждого У существуют такое натуральное ') чап Рап)т)я Р. спг 1оро)ой)зс)!еп 1)деьга, 1; Когпр1е111гппй)ьеог!е,— Ма18. Ггпг!., 1933, 107, 8. 587. топологггческля ллгеБРА ггл.
хх т и такое 1', что х„')/х„=. (/ для р. т. так, чтобы Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем окрестность )Р')Р'В' с=- (/. Выберем далее т так, чтобы было х„'х, ен )е' для р =- т, т =- пг. Тогда, в частности, х„'хм и х,,'х„принадлежат )г" при р=т. Согласно В, окрестность )/ можно выбрать внутри х„,))тх„,'.
Тогда х,,г)гх„: — х„'х Жх 'х„с: — )Угу)Уг с==(/ для р -.гп. Из этой леммы следует: 1. Если 1х„) и (у„) — фундаментальные ггоследовапгельности, то и (х„у„) — фундиментальн я последовательность. Доказательство. Имеем (хг Уь) хзуя = Уь (хь х ) Уь ' Угг Угс В произведении справа оба сомножителя принадлежат сколь угодно малым окрестностям единицы е: первый сомгк>житель в силу леммы, а второй в силу определения фундаментальной последовательности.
Следовательно, произведение тоже принадлежит сколь угодно малой окрестности единицы (/. Последовательность (х„у„) называется произведением фундаментальных последовательностей (х„) и (у„). Вот другое следствие доказаннс,й леммы: П. Если 1х„) — фундаментальная последовательность и (у„) стремится к единице, пго и (х„''у„х„) спгремится к единггце. Доказательство. Согласно лемме х„'1~х„~(/ при подходящем )/ и достаточно больших р и у„принадлежит Р при достаточно больших р, так что х„'у„х„принадлежит (/ для достаточно больших р.. Для того чтобы группа 6 могла быть расширена до некоторой слабо полной топологической группы, необходимо, чтобы имела место следующая а ко нома слабо н попели яемост и: ТСг,. Если (х„) — произвольная фундаментальная последовательность, пго и (х„д') — ф//ндалгенгпальная последовательность.
В абелевой группе аксиома ТОь выполнена автоматически, потому что если х„'хв принадлежит (/, то и хзхи = хи хн принадлежит (/. В общем же случае аксиома ТСг, не является следствием остальных аксиом. Из 1 и ТСгв немедленно следует, что фупдаменталшгые восле- 593 Ф ми ПОПОЛНЕНИЕ ГРУПП довательности образуют некоторую группу Р.
Единичным элементом этой группы Р является последовательность (е(. Превратим теперь группу Р в топологическую, определив базисные окрестности ГГ единичного элемента (е', следующим образом: Ю состоит из фундаментальных последовательностей (х,(, элементы которых при достаточно больших у принадлежат (l. Эти окрестности !Г удовлетворяют требованиям Е, — Е, 8 !63). Для Е, — Е, и Е, это само собой очевидно, а Е, — это в точности доказанная выше лемма; если( х„'! †фундаментальн последовательность, то существует окрестность (Г такая, что х„'рх ~ (! ил (г их„!ух„' для достаточно больших р. Итак, Р— топологическая группа. В этой группе последовательности, сходящиеся к е, составляют подгруппу, которая в силу П является даже некоторой нормальной подгруппой !у' Докажем теперь, что подгруппа У замкнута в Р.
Если фундаментальная последовательность (х„( не принадлежит М, т. е. не сходится к е, то существует некоторая окрестность (!, которая не содержит почти всех элементов данной последовательности. Согласно Е, и Е, существует такая окрестность р', что (Г'у'-' ~ сГ. Эта окрестность (г определяет некоторую окрестность (Г в Р, состоящую нз всех фундаментальных последовательностей (дР(, почти все элементы д„которых принадлежат У.
Мы утверждаем теперь, что окрестность (х„(7! последовательности (хР! в Р пол- ностью содержигся в дополнении к М в группе Р. Действительно, иначе (х„( Ё содержала бы фундаментальную последовательпосзь (х„((д ( = (х„д ( = (г„(, принадлежащую м, где д„почти все лежат в (Г и (г„( сходится к е. Но тогда почти все г„лежат в у', и почти все элементы — 1 хи = гядь принадлежат у'(Г-', а потому и окрестности !У, что противоречит определению окрестности К Следовательно, (х„) (Г и й! не имеют общих элементов.
Таким образом, дополнение к л! в Р является открытым множеством, т. е. М вЂ” замкнутое множество в Р. Отсюда в силу ~ !64 следует, что Р7М является Т;группой. Внутри группы Р фундаментальные последовательности (а(, состоящие из Одного и того же элемента а, составляют некоторую подгруппу 6', топологнческн изоморфную данной группе б. топологичаскля ллгавгл ~ГЛ ХХ В силу аксиомы отделимости Т, эта подгруппа имеет только один общий с Ф элемент )е). Мы можем отождествить постоянные последовательности )а) с элементами а и тем самым группу 6 с группой 6'.
Если теперь построигь смежные классы по Ж, то 6' перейдет в некоторую факторгруппу 6", которая является подгруппой в г(И и, следовательно, некоторой Т-группой. Эта Т-группа топологически изоморфна 6', а потому и 6, и поэтому вновь может быть отождесгвлена с 6. Положим Р7М:= 6. Гругша 6 вложена в Т;группу 6. Докажем прежде всего следующее: П1. Еело фундпментальноя последовательность )хь) определяет элемент х из 6, то 1ппх =х.
(2) До к а за тел ь с т в о. Фундаментальная последовательность )хь), как элемент группы Р, будет обозначаться через х. При гомоморфизме, который отображает Р на Р!У =6, элемент х переходит в элемент х. Это отображение непрерывно, поэтому 12) будет доказано, как только будет доказано соответствующее соотношение в Р: 1!шх„=х в Е. (3) Соотношение (3) означает, что х 'х„принадлежит 6 для достаточно больших р или, согласно определению окрестности 6, х,'х„принадлежит У для достаточно болыппх и и э.
Йо это очевидно, потому что )х„) — фундаментальная последовательность. Теперь мы можем докааать основную теорему: 1'т'. Группа 6 слабо полна. Доказательство совершенно аналогично проведенному в й 78 доказательству для случая вещественных чисел. Пусть )хо х„...) — некоторая последовательность элементов нз 6, удовлетворяющая условию Коши: хна ~)7 для р-.т и т)т. Выберем счетный базис 117н У„...) окрестностей точки е в группе 6. Для каждой окрестности Дь выберем окрестность и'х такую, что )1) хр, их. Мы можем, кроме того, считать, что 1 — ~2 — 13— Окрестности Кх определяют окрестности 7х в г", а эти в свою очередь — окрестности )7ь в 6. Каждый элемент х„является, согласно 1И, пределом некоторой последовательности элементов й |6|1 ФИЛЬТРЪ| из 6; следовательно, для х„мы можем выбрать такой у„из 6, что %'Ун е=- " н Покажем, что элементы ун составляют фундаментальную последовательность.
Имеем УнУн = (Унхн) (анке) (к~У») ~ ) нл (Хнхч) Р ч (4) Для каждого гь существует такое т»Х, что ц'Хт~ )гк для р»т, м~аг. Из (4) для р»т») и в»т= Х теперь следует, что ун'у. ее ~'н'~'гУ. ': — )7«')7«)7г, ': — (ум т. е. Ун'уе е= (гм Следовательно, у„составляют некоторую фундаментальную последовательность в группе 6. Эта последовательность определяет некоторый элемент у из 6 и, согласно П1, имеет своим пределом у. Элементы х„имеют тот же самый предел, потому что У хи=(У Ун)(Ун хн) и для достаточно больших и оба множителя принадлежат сколь угодно малым окрестностям точки е, Таким образом, последовательность (хнгг имеет в 6 некоторый предел и группа оказывается слабо полной.
Т;группы, не удовлетворяющие первой аксиоме счетности Ам при некоторых подходящих предположениях также могуг быть пополнены. Для этого, следуя Бурбаки '), нужно как при определении понятия «полноты», так и при конструкции пополнения вместо фундаментальных последовательностей рассматривать так называемые фильтры Коши. Ниже об этом говорится более подробно.
3 а д а ч а. Если группа удовлетворяет аксиомам Тг к Л„то кагкдая слабо полная подгруппа О замкиуга в й. (Воспользоваться задачей 2 из 4 16!.) $ !67, Фильтры Пусть М вЂ” произвольно фиксированное множество. Подмножества из М будем обозначать буквами А, 8, Системы этих подмножеств будут обозначаться готическими большими буквами г»1, Система 5 называется 4 ал егпром, если она обладает следующими свойствами: Гм Каждое множество А, содержа!»!ее идно аз множеств аз 5, само ггринадлежит 5. ') В у р ба к и и. Общая гопологггя,-гт1,: Физматгиз, 1268, гл, 1!1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
