Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 127
Текст из файла (страница 127)
Согласно задаче 3 полугруппа У состоит в точности из тех фильтров 5, которые не отделимы от единичного элемента (р группы 6. Согласно 3 163 полугруппа А[ замкнута и, следовательно, 6 = 6[А[ является Т;группой. Каждый элемент х из 6 определяет некоторый фильтр 5„, состоящий из множеств А, содержащих х.
ПОПОЛНВНИВ ГРУППЫ С ПСФ!ОШЬЮ ФИЛЬТРОВ КОШИ бо! % !68! Этот фильтр содержит множество !х~, а потому является фильтром Коши. Таким образом, каждому элементу х группы 6 соответствует некоторый элемент х =Я, полугруппы 6. Отображение х х является непрерывным, причем произведению соответствует произведение, Гомоморфизм 6 — 6 сопоставляет элементу х некоторый образ х. Следовательно, получается пень непрерывных гомоморфизмов х»х Х. Если два элемента х и у неотделимы друг от друга в 6, то они имеют один и тот же образ х в 6, и наоборот. Начиная с этого места, пусть 6 — некоторая Т;группа. Тогда любые два различных элемента х и у отделимы и, следовательно, отображение к х взаимно однозначно.
Таким образом, группа 6 вкладывается в 6, Пусть 6 — некоторый базис фильтра Коши в 6. Так как 6 погружается в 6, можно рассматривать 6 и как базис фильтра в 6. С другой стороны, базис 6 порождает в 6 некоторый фильтр Коши $. При гомоморфнзме 6- 6 ему соответствует некоторый элемент а из 6. Мы утверждаем теперь следующее: П!. Базис фильтра 6 сходится к а.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В соответствии с определением базиса фильтра Коши для каждой окрестности !У точки е существует некоторое множество А из 6 такое, что у-'х ~ !У для всех х и у из А. Это можно записать и так: А-'х: — 6 для всех х ~ А. Множество А ' принадлежит фильтру 5-!, а множество !х~— фильтру х, так что произведение 5-'х содержит множество А ' !х! ~ с= 6. Это означает, согласно определению окрестности У в 6, что !! 'х~ О для всех хе- =А.
Перейдем теперь с помощью непрерывного гомоморфизма из 6 в 6; тогда получится включение а !х е:-О, так что хе=ай. Мы отождествили х с х, а потому хе=а!У для всех хан А, т. е. А с:-а0. Таким образом, в базисе фильтра 6 сущестнуют множества А, которые содержатся в сколь угодно малых окрестностях аУ точки а, т. е. 6 сходится к а.
Тем самым доказано П!. Так как в каждой окрестности точки а лежит некоторое иепустое множество А, то в каждой окрестности точки а находятся некоторые точки из 6. Это означает, что Группа 6 плотна в 6. 1Гл хх топологссчлскАя АлГББРА Отсюда и из !П в силу последней теоремы 9 167 следует, что: )я'. Группа 6 является сильно полной.
3 а да ч а 4. Если в С имеет место первая аксиома счетности, то она спранеллина и в С. Каждый элемент из С является в этом случае пределом неко. торой последовательности !хч! из С, и слабое пополнение группы С в соответствии с $ 1бб дает то же самое, что и сильное пополнение в соответствии с й 1бб. 9 169. Топологические векторные пространства Тоссологическссй лсодуль (или Т-.модуль) М вЂ” это аддитивная абе- лева Т-группа.
Согласно 9 163 топология на М определяется некоторой системой окрестностей нуля, удовлетворяющей усло- виям 1, 2, 3 (9 163, конец), Понятия из Я 166 и 168 переносятся на аддитивные Т-груп- пы с помощью соответствующего изменения символики. Последо- вательность (х,) называется фундаментальной, если разности х„— х, для достаточно больших р и и принадлежат каждой ок- рестности У нуля.
Мссожсство А называется малым порядка У, если разности у — х (х ~ А, у~ А) все принадлежат У. Фильтр, содержащий произвольно малые множества, называется фильтром Коши. Модуль М называется сильно полным или просто полным, если в ием сходится каждый фильтр Коши. Так как для коммутативных групп, в соответствии с 6 !68, не нужна аксиома полноты, каждый Т;модуль М погружается в некоторый полный Т,-модуль М.
Пусть для М задана область операторов ьа, обладающая сле- дующим свойством: у(а+Ь) =уа+уЬ для каждого оператора у. Предположим, что ух — непрерывная функция от х. Лля этого необходимо и доста~очно, чтобы для каждой окрестности (7 существовала окрестность У со свойством уУ~Ц. Если фильтр 5 содержит произвольно малые множества А, то и у5 содержит произвольно малые множества уА, т.
е. ус1 — снова фильтр Коши. Поэтому теория пополнений из З !68 без изменений переносится на Т;модули с операторами; пополнение М имеет в качестве области операторов снова область ьс. Иногда оказывается целесообразным писать ау вместо уа. В этом случае ьа называют областью правых операторов, а М— правьсм ь)-модулем. Вместо (1) в этом случае имеет место равенство (а + Ь) у = ау -1- Ьу. (2) э 1Ви ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРЛНСТВК воз Если (е — кольцо, то, кроме (2), требуется, чтобы выполнялись следующие соотношения; а (р+у) =-а()+ау, (3) а (ру) = (ар) у.
(4) При переходе к пополнению М и эти свойства остаются верными. Если 11 — некоторое Т-кольцо, то предполагается, что произведение ху является непрерывной функцией от х и у. Это свойство тоже переносится на М, так что М вЂ” полный правый Я- модуль.
Если Я вЂ” некоторое тело и если, кроме уже указанных правил, имеет место а !=-а, где 1 — единичный элемент тела Я, то М называется векгпорным проспгранством над й. Если 11 — топологическое тело, то требуется еще и непрерывность ху как функции от х и у.
Простой пример топологического векторного пространства над топологпческим полем й дает каноническое и-мерное векторное просгпранство Й., которое определяется как совокупность всех упорядоченных наборов нз и элементов поля РЕ (рг, ..., р„). Умножение векторов на элементы из й задается равенством Фг, ", 1.) у = Угу, ", ().у). Произвольная базисная окрестность (!' нулевого вектора состоит из всех векторов, все координаты рн ..., р„которых принадлежат некоторой базисной окрестности (! нуля в 11. Аксиомы об окрестностях и непрерывности сложения и умножения оказываются в этом случае выполненными.
Если поле Й полно, то и Р.'--полное проспгранство. Доказательство. гЧнолгество А векторов (рн ..., 1)„) является малым порядка (!' тогда и только тогда, когда множество элементов рг для каждого ! является малым порядка (!, Назовем множество элементов рг 1-компонентой множества А и обозначим ее через Ао Если теперь задан некоторый фильтр Коши й множеств А, то А, для каждого 1 образуют некоторый фильтр Коши в 11 Если ноле (1 полно, то все эти фильтры Коши имеют некоторые пределы у; а (). Но тогда в (т для каждого (! существует множество А'", 1-компонента которого лежит в у,+(!; точно так же существует множество А "~, 2-компонента которого лежит а у,+(!, и т. д.
вплоть до А'"~. Пересечение А —.. Аги () А пи () ... П Анп принадлежит тогда множеству (у„... ..., у„) + (!'. Следова гельно, фильтр Я сходится к пределу (у! 1 1гд 604 ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА $ 170. Пополнение колец ~ГЛ ХХ Т;кольцо )х является аддитивной Т;группой и поэтому может быть расширено до сильно полной группы АУ ='У и ТР'А «= У. Доказательство. Существует такая окрестность Г, что Г+Г ~ У. Существует, далее, такая окрестность 1/, что «')Г «= «= Г. Наконец, существует такое множество А из 5, что х — у~)Г для всех х и у в А. Зафиксируем в А элемент »Г. Существует такая окрестность )Р'ы 1', что у)Р: — Г и )Ру ~ Г.
Но тогда для каждого х из А и каждого г иэ ))г хг = (х — у) г+ уг е- :(х р+ у)р' а Г + Г ы (l, так что АФ' =-(7. Точно так же доказывается, что )Р"А ~ У. Из этой леммы следует, что 1. Если $ и Ск — фильтра Коши, то и ()с) — фильтр Коши. Доказательство. Имеем ху — х'у' = х (и — у') + (х — х') д'. Для заданной окрестности (I определим 1Г так, чтобы было У+ )Г с= (7. Согласно лемме существуют такое множество А в 3, такое множество В в Ок и такая окрестность ТР', что ))ЯВ = У и А)Р' = Р'.
Прн этом )7 является адднтивной полугруппои фильтров Коши, а М вЂ” нормальной подполугруппой, которая состоит из фильтров с нулевым пределом, Мы определим в Ф умножение, которое превратит Й в «полукольцок а У вЂ” в двусторонний идеал этого «полукольца», так что »х = Ф(М окажется полным топологическнм кольцом.
Окрестности нуля по-прежнему будут обозначаться буквами (7, )Г, («', ... Сначала будет доказана Лемма. Если 5 — фильтр Коши, то для каждой окрестное»пи У существует такая окрестность йт и такое множество А в5, что ПОПОЛНЕНИЕ КОЛЕН Можно считать, что А и  — малые множества порядка (й'. Если теперь ху и х'у' — два произвольных элемента из АВ (х и х' — нз А, у и у' — из В), то из (1) следует соотношение ху — ху у+ у и. Таким образом, (!Š— фильтр Коши. 11. Если 5 — фильтр Коши и 9 — фильтр, сходящийся к нулю, то кй и (8д сходятся к нулю, Доказательство непосредственно следует из леммы. Согласно ! фильтры Коши образуют некоторое полукольцо )т. Согласно П фильтры, сходящиеся к нулю, образуют двусторон иий идеал У в этом полукольце.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
