Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 123
Текст из файла (страница 123)
е. (/(р) — некоторая окрестность точки р. Слова «базисные множества» нам теперь больше не нужны: в дальнейшем мы будем называть базисные множества (/(р) базис- ными окрестностями. Совокупность всех базисных окрестностей всех точек р называется базисом окрестностей или системой окрестностей топологического пространства Т. Понятие системы окрестностей восходвт к Хаусдорфу, который рассматривал только открытые окрестности, Требования г/г, ам П» — ато в точности вервые три аксиомы Хаусдорфа об окрестностях, ггетвсртая аксиома Хаусдорфа— аксиома отделимости — будет сформулирована в $ гб1. П р имер 4. Определим в и-мерном векторном пространстве над полем вещественных чисел куб со стороной 2е вокруг вектора $ гбб! иепРеРыиг!Ость.
пргдглы (Ь„, ..., Ь„) как совокупность векторов (а„, ., а„), для которых ~ а, — Ьг) - в. Кубы удовлетворяют условиям Вы О„Оа. Векторное пространство является, таким образом, топологическим пространством, в котором кубы служат базисом окрестностей. Типологическое пространство называется дискрегпногм, если все его подмножества являются открытыми множествами.
Отдельные точки в таком пространстве составляют некоторую систему окрестностей. 3 а д а ч а !. Лля того чтобы две системы множеств () (р) и У (р) определяли одно и то же топологическое пространство, необходимо и достаточно, чтобы каждое множество () (р) содержало некоторое множество У (р), а каждое мноигество У (р) содержало некоторое множество (/(р). Зада ч а 2. Топология векторного пространства, определенная с помогдыо кубов, не зависит от выбора базиса в этом пространстве. $)бб. Непрерывность. Пределы Функция р'=)(р), отображающая топологическое пространство Т в топологическое пространство Т', называется непрерывной в пгочкв р„если для каждой окрестности (г" точки )(рб) в Т' существует окрестность (г' точки р, в Т, образ которой целиком содержится в ()'.
Аналогично функция ((р, г)) аргументов р и г), пробегающих топологические пространства Т, и Т, соответственно, со значениями в некотором топологическом пространстве Т, называется непрерывной в точке (р„, г)б), если для каждой окрестности %' точки ) (р„г)б) существуют такие окрестности () и У точек р, и г)„что ((р, г)) принадлежит (Р' всякий раз, когда р принадлежит (г', а г) принадлежит р. Если функция непрерывна в каждой точке, то говорят, что она непрерывна или вадавгп непрерывное отображение.
Отображение р'= — )(р) непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого множества ()' в Т' (т. е. множество элементов из Т, образы которых принадлежат (г") является открытым множеством. Взаимно однозначное и непрерывное в обе стороны отображение топологического пространства Т на топологическое пространство Т' называется пгопологическггм. Любое топологическое отображение переводит открытые множества в открытые, а замкнутые— в замкнутые. Последовательность (р,) точек в топологическом пространстве Т называется сходящейся к пределу р, если каждая окрестность (/(р) содержит все члены этой последовательности, начиная вв4 топологгнгсс!(ля ллгеипл 1гл.
Хх с некоторого номера: р, ~ (/(р) при и ~ й, При этом можно ограничиться окрестностями У (р) из некоторого базиса окрестностей точки р, так как каждая окрестность содержит некоторую окрестность из базиса. 3 а д а ч а 1. Непрерывное отображение переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся. Задача 2. Непрерывная функция от непрерывной функции непрерывна, $161.
Аксиомы отделимости и счетности Важнейшие топологические пространства удовлетворяют не только аксиомам 1 и П, но и следующей п е р в о й а к с н о м е отделимости: Т!. Если р чь (1, то существует окрестность точки р, не содержаи!ая точку г!. Пространство, удовлетворяющее аксиоме Т„называется Т„-пространством.
Следуюшая формулировка эквивалентна; Замкнутая оболочка любой точки есть сама зта точка. Более сильной, чем Т„является следующая втор а я а к с нома отделимости или аксиома Хаусдорфа: Та Если р чь д, то существуют окресгяноста У (р) а 1/ (д), не имеющие ни одной общей точка. Если выполнена аксиома Т,, то пространство называется хаусдорфовым или Т;пространством. Первая аксиома счетности звучит так: А,.
Каждая точка р обладает счетным базасом окрестностей, Более сильная вторая аксиома счетности нам не потребуется. Важные для дальнейшего изложения топологнческие пространства удовлетворяют первой аксиоме отделимости и первой аксиоме счетностн. Для топологических групп, а потому и для топологических колец п тел (являюшнхся одновременно н аддитнвными группами) вторая аксиома отделимости будет получена как следствие первой. В представленном здесь введении в топологию затронуты лишь самые необходимые основные понятия. Тем, кто хотел бы узнать о топологии больше, имеет смысл обратиться к великолепному учебнику Александрова и Хопфа (А!ехапдгоВ Р.
Я. цпб Нор! Н.). Торо!оя!е, !. — Врг!пяег-Чег!ан, 1935, а затем к более современной литературе. 3 ад а ч а !. В хаусдорфовом пространстве любая последовательность точек (рт! может обладать лишь одним пределом. Зада ч а 2. Если имеет место аксиома Аг, то замкнутап оболочка любого множества М состоит из всех пределов сходящихся последовательностей (рт) нз М. Множество М замкнуто, если исе зти пределы лежат в М. $166 топологи'геские Группы $ 162.
Топологические группы Топологическая группа (илн коротко — Т-группа) — это топологическое пространство, которое одновременно является группой, причем ху является непрерывной функцией от х и у и х-' является непрерывной функцией от х. Таким образом, к четырем аксиомам группы и двум аксиомам открытых множеств в данном случае добавляются следующие: ТОЫ Д,гя каждой окрестности (/(аЬ) произведения аЬ существунт окресгпности )г(а) и )Тг (Ь), произведение )г(а) )е'(Ь) которых содержится в (/(аЬ). ТОа Для каждой окрестности (/(а-т) существует такая окрестность )/(а), чпго )г (а)-' содержится в (/(а-т). При этом через М-' обозначается множество элементов х ', обратных к элементам х из М.
Очевидно, достаточно потребовать выполнение аксиом ТСгг и ТОа для окрестностей (/ некоторого базиса окрестностей, н выбрать )г(а) и В'(Ь) тоже из этого базиса. Вот примеры топологических групп: а) адднтивная группа поля вещественных или поля комплексных чисел; б) и-мерное вещественное пространство (2 159, пример 4); в) мультиплнкативная группа вещественных чисел или комплексных чисел, отличных от нуля. Каждая группа становтггся дискретной топологи геской группой, если на множестве ее элементов взять дискретную топологию, т.
е. объявить все множества открытыми. Дальнейшие примеры см. в й 163, задача, и 2 164, пример 5. Из ТОг и ТСга легко следуют утверждения; ТО'. Для казкдой окрестности (/(а 'Ь) существуют окрестности К(а) и Ю'(Ь) гпакие, что К (а) ')Тг (Ь) содержится в (/(а тЬ). ТСг". Для каждой окрестности (/(аЬ ') существуют окрестности )г'(а) и Ъуг' (Ь) такие, что )г'(а) )Тг' (Ь)-' содержится в (/(ай-т), 3 ад а ч а. Доказать, что каждое из требований Т6' и Тб' может заменить оба требования Тбг и Тба, Докажем теперь следующее: Каждая Т,-группа является Т;группой, Доказательство. Пусть ачнЬ, так что а-'ЬФе.
В силу Т, существует окрестность (/(а-'Ь), не содержащая е. Согласно ТО' существуюг окрестности 1'(а) и Ту'(Ь) такие, что У(а)-туьт(Ь) принадлежит 1/(а зЬ), а потому это произведение не содержит е. Но тогда существуют окрестности )г(а) и йг(Ь), не имеющие нн одной общей точки. Этим доказано Т,. Тем же методом доказывается следугощее утнерждение: Если в некоторой Т-группе сугиествует окрестность точки р, не содержаигая точку г/, то существуюгп две окрестносггги (/(р) 888 1гл хт топологическАя АлГеБРА и 1' (д) без общих элементов, и, такал> об/>азоль су>цес>пвует окрестность (/(а), не содержащая точку р.
В этом случае элементы р н д называют отделимыми друг от друга. Точки >/, которые неотделимы от точки р, составляют замкнутую оболочку множества (р). Две Т-группы О и Н называются топологически изоморфными, если сушествует изоморфизм этих групп, являюгцийся одновременно топологическим отображением из б на Н.
$ !63. Окрестности единицы Если задан базис окрестностей единицы е, то тем самым задаются все окрестности этого элемента: таковыми будут множества (/ (е), которые содержат по крайней мере одну из базисных окрестностей. Но тогда оказываются известными окрестности и других точек, потому что если (/(е) — окрестность единицы е, то а(/(е) — окрестность точки а и все окрестности точки а могут быть представлены в таком виде. Можно наз>»вать а(/(е) «сдвинутой на а окрестностью точки е». Таким образом, мы видим, что топология Т-группы полностью определяется заданием базиса окрестностей единицы е. Будем обозначать окрестности такого базиса через (/, )А, 1Р', ...
Какими свойствами должны обладать указанные выше множества (/, чтобы группа О с окрестностями (/(а) =а(/(е) была топологической? Следуюшне свойства являются во всяком случае необходимыми: Е,. Каждое множество (/ содержит е (следует из П> 8 159). Е,. Для каждого (/ существует )л такое, что )/ ° 1' содержпп>ся ° (/. Е,. Для каждого (/ существует )> такое, что к' ' содерхсип>ся в (/ (следует из ТО» 8 162).
Е,. Каждое сопряженное л>ножество а(/а-' содержит некоторое множество Ь'. Е». Каждое пересечение (/() )А содержит некоторое ((7 (следует из (/, 8 159). Доказательство Е,. В силу ТП, для (/ существуют некоторое Г и некоторое 1Г такие, что Г1Г содержится в окрестности (/. Согласно 1.1» пересечение Г () (Г содержит ~'. Доказательство Е,. Так как а-'ха — непрерывная функпия элемента х, то для (/ сушествует окрестность 1/ такая, что и %а содержится в (/, так что )А содержится в а(/а-'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
