Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 121
Текст из файла (страница 121)
Все эти рассмотрения сохраняют силу и тогда, когда рв является не функцией нз поля, а некоторым степенным рядом отл, который содержит лишь конечное число слагаемых с отрицательными показателями. Пусть теперь у' — некоторый вектор в смысле 9 152, т. е. некоторая система степенных рядов 1'„для отдельных плейсов р. Мы можем разложить произведение 'у'2а дг относительно каждого плейса р в степенной ряд, умноженный на дл, и определить вычет. Если )Рр = ~Ч~ о,„л7 (10) — р-компонента вектора )р и 2а ~„- 2(л= (~~ ар л" ~Г)л (11) — разложение дифференциала, то вычет равен Ъ\ Гр =,г, Ор7ара. 2+2= — 1 (12) здесь снова получается нулевой выче7. Преобразование (9) можно совершенно формально перенести на область степенных рядов от т с коэффициентами из области целочисленных многочленов от переменных а„ а„ ...
Кольцо целочисленных многочленов может быть погружено в кольцо многочленов с рациональными коэффициентами. При этом рациональные числа составляют иоле характеристики нуль, тогда как исходное поле коэффициентов 71 может иметь характеристику р. Теперь провести доказательство уже легко. Дифференциал (8) является дифференциалом функции ( — п+ 1)-' л-"" ', 4 !56! КЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ Так как векзор У и дифференциал го дг имеют лишь конечное число полюсов, то существует лишь конечное множество отличных от нуля вычетов г„. Поэтому мы можем составить сумму этих вычетов: Х =Х Х от ар' а ь !+а=-! Эта сумма представляет собой скалярное произведение вектора У и ковектора Х= (а!Ч) (13) (14) Выясним теперь, как изменится это скалярное произведение, если вектор У заменить на некоторую функцию о поля К. Скалярное произведение У А будет тогда равно сумме вычетов диф- ференциала ого аг = и йг, где и — некоторая функция данного поля.
Имеет место следующая Теорема о вь!четах. Сумлга вычетов дифференциала ийг всегда равна нулю. В классической теории функций эта теорема немедленно следует из теоремы Коши об интеграле. Общее же доказательство, справедливое для совершенных полей констант, предложил Хассе' ). Упрощенный вариант доказательства Хассе мы изложим в 9 157, следуя П. Рокетту. Из теоремы о вычетах следует, что ковектор Х, определенный через дифференциал ш йг, является дифференциалом в смысле А. Вейля. В частности, дг также определяет некоторый дифференциал в смысле Вейля; мы сохраним в этом случае обозначение дг. Этот дифференциал отличен от нуля, потому что легко найти вектор У, для которого У йг имеет отличную от нуля сумму вычеаов.
Достаточно выбрать такой вектор У, чтобы при условии, что дг имеет относительно плейса р порядок т, компонента У„ была равна и- -', а остальные компоненты были равны нулю. ') Нате Н. ТЬеоме Вег Р!!!егеп!!а!е 1п а1ееьга1аеЬеп Гипй!1опеп!гогрегп,— 3, ге!пе ипо апаечн Ма1Ь., 1934, !Уг, о. 55.
в смысле Ь' !52. Итак, мы получили следующий результат: Каждый дифференциал игаг однозначно определяет некоторый ковектор А, для которого скалярное произведение У ), равно в точности сумме вьметов произведения Ув йг 1' А=Ч~',Г„=~ ~ О,гг р р !+А= — ! В74 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ Х!Х $167.
Доказательство теоремы о вычетах Следующим ни!не доказательством я обязан любезному сообщению П. Рокетта, Оно проходит для любого совершенного основного поля, но здесь излагается только для случая, когда поле алгебраически замкнуто. Пусть опять элемент г выбран так, что К сепарабельно над [х(з).
Положим 1=Ь(г); тогда К вЂ” конечное сепарабельное расширение поля 7, и мы можем положить К= 7 (В). Если в (1) из В 145 сравнить слева и справа коэффициенты прн 1"-' и !", то получится й[(В) =ПЛ'(В ) 5 (В) = Х 5 (В,) . (1) (2) Такие же формулы имеют место не только для порождающего элемента В, но и для произвольного элемента и из К. Чтобы в этом убедиться, вычислим сначала норму и след элемента и в поле ( (и). Обозначим их соответственно через и (и) и з(и); тогда для и имеют место соотношения, которые выше были доказаны для В: п(а)=П ( ) в (а) = ~~~ в (ах). (3) (4) Применим теперь формулы (16) и (!7) из В 47; получится: М (и) = п(и)е, (5) 5 (и) = и в (и), (6) где д — степень поля К над ) (и). Таким образом, имеют место общие формулы: у( ) =Пл'(,), (7) 5 (и) =~5 (и,).
(8) Посмотрим, как определяются элементы В, и и,. Согласно В 146 нормирования Ф, поля К, продолжающие заданное нормирование ч! поли !'., определяются вложениями В В,. Каждое Из того факта, что дифференциал, определенный с помощью г(г, отличен от нуля, следует в соответствии с В 164, что все дифференциалы [в получаются из этого дифференциала умножением на некоторую функцию и.
Другими словами: Все дифферен[(иалы в ел!мгле Вейля являются классическими дафферен[[палалщ и аг. доклтлтгльслво ~воины о вычгллт % мь! У (и) = И Мг (а), Р з 5 (и) = ~' 5,(и). (9) (10) а~ч Вектор Р над полем К был определен как система компонент )/г, каждая нз которых сопоставлена своему плейсу р. Мы можем опредечить след 5Г произвольного вектора Р как некоторый вектор над полем Ь, удовлетворяющий равенству (1! ) ь,'ь Следы в правой части при этом берутся в пополнениях Я„= ь) над ь). В частности, возьмем в качестве Р вектор, соответствующий какой-нибудь функции и; тогда в силу (1О) след 5)/ будет равен 5 (и). Взятие следа )' 5'г" является линейным отображением модуля 3(К) всех векторов над К в модуль 11)(~) векторов над Поэтому существует двойственное отображение 5* модуля 1)*(Л) ковекторов над ? в модуль 11)*(К) ковекторов над К, которое определяется следующим образом: (? 5*р=5~' р для всех К.
(12) В частности, если р — дифференциал в смысле Вейля, т. е. о р=О для всех а из 1., то 5*р — тоже дифференциал в смысле такое вложение изоморфно отображает поле К ==В(Э) в некоторое полное нормированное поле 11,. = 11 (О„) — пополнение поля К относительно нормирования Ф„. Будем говорить не о нормированиях, а о плейсах.
Плейсы поля К будут обозначаться через Г, а плейсы поля Š— через 1, Если нормирование поля К, соответствующее плеису т, является продолжением некоторого нормирования поля!, соответствующего плейсу 1, то мы называем р делителем плейса ! и пишем Г)я. Каждый плейс в имеет лишь конечное число делителей г,, соответствующих множителям Г,(!) в (1) из й 145. Каждому плеису р, соответствует пополнение О,,, состоящее из степенных рядов по униформизирующей П этого плейса. Если каждой функции и сопоставить ее степенной ряд и,, то получится описанный выше нзоморфизм Э Э,, и и,.
Норма М (и,), построенная в 11, над полем 11, называется также локальной нормой функции и относительно плейса р=Г, и обозначается через И„(и). То же самое можно сказать и о следе. Формулы (?) и (8) могут быть теперь записаны так: 576 хлгевгличаскив Ркнкцнн одцоп пе вмшшоп (гл. х~х Вейля: и З*р *Ли р ° 0 для всех и. Мы докажем теорему о вычетах сначала для поля рацианальных функций Е=Л(г). Пусть пег — классический дифференциал в 1..
Рациональная функция и 1(г) а (г) распадается прежде всего в сумму некоторого многочлена и дроби, у которой степень числителя меньше степени знаменателя: 1(г) г (г) К (г) д (г) ' — = у(г)+ —. Дифференциал а(г) дг не имеет вычетов. Униформизирующая относительно плейса г = со равна у = г-~ и () (г) Йг = (" , 'сРгь)) г(г = ~Х ', ( — с„) у-' ' Йу, а в это выражение не входит ни одно слагаемое с у-'. Оставшаяся дробь, согласно З 36, может быть разложена на простейшие дроби: — = У(с,(г — а) '+...+с,(г — а)-'), у (г) сы а Следовательно, достаточно доказать теорему о вычетах для одной простейшей дроби с(г — а)-".
При й)1 вычетов нет совсем, так что достаточно рассмотреть лишь дифференциал с (г — а)-' дг. Относительно плейса г = а этот дифференциал имеет вычет с, а относительно плейса г=со — вычет — с. Сумма вычетов, таким образом, равна нулю, и теорема в этом случае доказана. Общий случай теоремы о вычетах сводится к рассмотренному выше случаю Л=Ь(г) с помощью отображения, двойственного к взятию следа.
Вычет дифференциала идг относительно плейса Р обозначим через гез,(идг). Если У вЂ” вектор, то вычет произведения У йг обозначим через гез (Ус(г). На основании формулы (14) З 156 дифференциал дг определяет некоторый ковектор Х, который мы обозначим через )д,. Следовательно. для каждого вектора У имеет место равенство У ).г, = )~~гезРУ йг. Р (1З) локлтлтсльстпо твоггмьс о вьшвтлх Назовем два ковектора ). и и иочпш равными, если в определенных с помощью (4) из й 152 произведениях 1с ) и 1> р слагаемые, соответствующие отдельным плейсам г, соответственно равны (для всех 1>), за исключением, быть может, конечного множества плейсов 1'. Имеет место Т е о р е м а.
Суи(ествует дифференс(ссал Вейля р»„который почти ровен Х»,. Этим свойством р„, определяется однознично. До к а з а те л ь с т в о. Дифференциал йг определяет в поле рациональных функций й = б(г) некоторый ковектор Хы Так как в 1. имеет место теорема о вычетах, то Х, является дифференциалом Вейля. Тогда и Я" (~ ) — дифференциал Вейля. Обозначим его через рсмс Р»» = В ()'о) Каждому плейсу р поля К соответствует некоторый плейс я поля В. Если униформизирующая г — а или г-' относительно плейса я одновременно является униформизирующей относительно р, то говорят, что плейс р не розветвлен над В, Тогда можно положить П =- г — а (пли П = г-').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
