Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 122
Текст из файла (страница 122)
Пополнение й,„соответствующее плейсу р, в этом случае просто равно полю (с степенных рядов от г — а и вычет степенного ряда относительно р равен вычету относительно 1. Почти все плейсы 1, т. е, все, кроме конечного чнслз, не разветвлены в 1.. Действительно, если К =- В (0) и г (г, с) — неразложимый по с многочлен с корнем 8, то можно рассматривать г" как многочлен от г и (. Дискриминант многочлена Р является многочленом от г, который имеет лишь конечное множество корней. Для всех остальных значений г = а многочлен г"(а, с) разлагается в произведение различных неразложимых множителей: и" (а, () =с(с — с>с)...
(( — Ь,). Отсюда в силу леммы Гензеля (й 144) следует, что В(г, С) в полном поле степенных рядов по г — а полностью разлагается на линейные множители. В разложении (!1 нз й 145 все множителч Р,,(() являются, таким образом, линейными и все поля 11„= 11 (вч) равны Ю. Но тогда г — а является униформизирующей относительно всех плейсов, отвечающих этим полям. Следовательно, все этн плейсы не разветвлены. Если плейс р не разветвлен, то он дает одинаковые слагаемые для ковекторов )с», и Х»,. Действительно, если )с — вектор, который только относительно этого плейса в отличен от нуля, то можно считать 1> степенным рядом по г — а или г-'.
Локальный след вектора 1> тогда равен самому вектору Р и )с р„, = )с . Я":1.„= В )с ), = )l Х„= гезг )с йг =- 1' Х»,. згз хлггвглпческпе ьчпкцпп одпоп пегсмшшои !гл, х~х Отсюда следует, что р„, почти равен Х»,. Остается показать единственность ковектора р»,. Докажем нечто более общее: если два дафн»ренииала Вейля Х и р почти равны, то они равны в обычном смысле.
Пусть р=-Х вЂ” р. Докажем, что У р равно нулю для произвольного вектора У. Скалярное произведение У р, согласно (4) из з 152, является суммой слагаемых, соответствующих плейсам р. При этом мы можем ограничиться рассмотрением лишь слагаемых, соответствующих плейсам р из некоторого конечного множества М, потому что слагаемые, соответствующие остальным плейсам р, заведомо равны нулю.
Для плейсов р из множества М мы можем аппроксимировать У с помощью некоторой функции и из К, причем настолько точно, что слагаемые, соответствующие этим плейсам р, в выражении (и — У) р обратятся в нуль 9 149, теорема 1). Но тогда (и — У) р=О, и, следовательно, У р=и р=О, так как р — дифференциал Вейля.
Тем самым теорема полностью доказана. Пусть у — другой элемент, для которого К сепарабельно над Л (у). Докажем равенство (14) Так как обе части этого равенства являются дифференциалами Вейля, достаточно показать, что обе части почти равны. Но р», почти равен Х»„, а р», почти равен Х»,. Следовательно, достаточно доказать, что (15) Но это получается непоспедственно из определения (!3): У )», = ~! гезу У аг = ~ ~гезр У вЂ” ду = 1' -„- . Х»„= У вЂ” Х „ э в Наконец, покажем, что А»» = !с»;. (16) Пусть р — произвольный плейс и у — некоторая униформизирующая. В 9 156 было доказано, что элемент г является сепарабельиым над Л(у).
Так как К сепарабельио иад Л(г) и Л(г) сепарабельно над Л (у), то поле К сепарабельно над Л (у). Далее, плейс 1 неразветвлен над Л (у), так что р-компоненты ковекторов ~,„„и р»„равны: (*»»)х (!»»)Р' т 16п докАзлтвльство твогвмы о вычвтАх Отсюда следует, что /йг ~ ( бб)Р ~ду бб)т ~ бу Ибу)р (рбг)ь Так как это имеет место для каждого плейса р, то мы получили утверждение (16), Поскольку р„, является дифференциалом Бейля, то таков и ковектор Хб„а отсюда следует теорема о вычетах.
Глава двадцатая ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА Топологическая алгебра — это учение о группах, кольцах и телах, которые одновременно являются топологическими пространствами и в которых алгебраические операции непрерывны в смысле этой топологии. Такие группы, кольца и тела называют топологическими, или кратко — Т-группамн, Т-кольцами и Т-телами. $ 158, Понятие топологического пространства Топологическое пространство — это множество Т, в котором выделены некоторь|е подмножества, названные открышыл~и л~ножествами.
Онн должны обладать следующими свойствами: 1. Пересечение конечного числа открытых множеств вновь являечпся открытыл~ множеством. П. Объгдинение любого множества опжрып1ых л~ножеств вновь является открытым множеством. Приме ры. 1. Пусть Т вЂ” произвольное упорядоченное множество, которое содержит более одного элемента. Открьипый интервал в Т определяется условием а(х(Ь, или условием а(х, или условием х ~ Ь. Открытое многкество — это такое множество, которое вместе с каждь|м своим элементом р содержит и некоторый открытый интервал, в который входит д. 2. Пусть Т вЂ” поле комплексных чисел.
Круг с центром в точке а определим зсловием ~ г — а,' ( г. Открытым множеством назовем любое такое множество, которое вместе с каждым своим элементом а содержит и некоторый круг с центром в а. 3. То же определение проходит для,любого нормированного поля, только нужно использовать ср(г — а) вместо ~ г — а ~. Каждое нормированное поле является, следовательно, топологнческим пространством. Из 1, в частности, следует, что все пространство Т открыто, потому что оно является пересечением пустого множества открытых множеств, Равным образом, из П следуег, что пустое множество открыто, потому что оно является объединением пустого множества открытых множеств.
Подмножество М называется замкнутым множеством в топо- логическом просгпранстве Т, если его дополнение открыто Для замкнутых множеств имеют место правила, эквивалентные 1 и П: БАзисы Окяпстиостеп й 159! Г. Объединение конечного множества замкнутых А1ножесгпв является замкнутьгм множесгг)вам. 1Г. Пересечение любого множества замкнутых множеств является замкнутым множеством.
Элементы множества Т называются точками пространства Т. Открытое множество, содержащее точку р, называется открытой окрестностью точки р. Произвольное множество, содержащее открытую окрестность точки р, называется окрестностью точки р и обозначается через (/(р). Подмножество Т' топологического пространства Т само является топологическим пространством, если считать открытыми множествами в Т' пересечения с Т' открытых множеств из Т.
Свойства 1 и П, конечно, выполняются в Т'. Замкнутая оболочка М подмножества М топологического пространства Т вЂ” это пересечение всех замкнутых множеств, содержащих множество М. 3 а да ч а 1. Точка р тогда и только тогда принадлежит оболочке М, когда каждая окрестность точки р имеет с М общую точку. 3 а д а ч а 2. Куратовский определяет топологическое пространство как такое мнозкество Т, в котором каждому подмножеству М сопоставлена оболочка М со слсдующами свойствами: а) оболочка объединения М !) Лг есть объединение оболочек М Ц Л', б) множество М содержит множество М; в) оболочкой множества М является само М; г) оболочка пустого множества есть пустое множество.
Далее он определяет; если М =М, то множество М называется замкнутым, а если дополнение до некоторого мне>кассиа М в Т замкнуто, то М называется ощхрынтм. Доказать, что определение Куратовского равносильно изложенному здесь определению топологического пространства. Ук а за н не. Пз а) прежде всего следует, что если М щ Ф, то М щ эу. После этого из а), б), в) получаем, что М является пересечением всех замкнутых множеств АЗ= Л', содержащих М, Отсюда получаются свойства 1' и П'. Обратно, а), б), а) следуют из !' и !Г. Множество М называется плотным подмножеством в Т, если замкнутая оболочка множества М равна Т или, что то же самое, если в каждой окрестности любой точки из Т лежат точки из М.
$ !59. Еазисы онрестностей Система окрестностей 11(р) точки р образует базис окрестноспщй точки р, если в каждой окрестности этой точки содержится некоторая окрестность 11 (р) из рассматриваемой системы. Для того чтобы быть базисом, системе достаточно быть такой, чтобы в каждой открытой окрестности точки р содержалась некоторая окрестность (1 (р) из этой системы. Например, открытые окрестности точки р составляют базис окрестностей этой точки. В нашем примере 1 открытые интервалы, содержащие точку р, составляют бай ТОПОЛОГИЧГСКАЯ АЛГЕБРА 1ГЛ ХХ базис окрестностей этой точки. В примере 2 круги с цеггтроьг в а составляют базис окрестностей точки а. Часто топологические пространства определяются тем, что сначала задается базис окрестностей каждой точки, а затем вводятся открытые множества с помощью этого базиса так, как это было сделано в рассмотренных выше примерах.
Таким образом, каждой точке р сопоставляют некоторые базисные лгножества 1/(р), обладающие следующими свойствами: Уы Каждой пгочкв р сопоставляготся базпсньге лгножества (/ (р), каждое из которых содерясит пгочку р. 0а. Для каждых двух базисногх множеств (/ (р) и У (р) суигествует базисное множество )гг (р), которое содержится в каждом из них.
С помощью этих базисных множеств теперь можно определить открытыв лгножества М как такие, которые вместе с каждой точкой р содержат некоторое базисное множество (/(р). Определенные таким способом открытые множества обладают, очевидно, свойствами ! и 11; следовательно, оказывается определенным некоторое топологическое пространство. Чтобы базисные множества 1/(р) оказались окрестностями в смысле введенной топологии, они должны удовлетворять некоторолгу дополнительному условию. Одно достаточное условие получается, если потребовать, чтобы сами (/(р) были открытыми множествами: Оа.
Еслг г/ принадлежит (/(р), то 1/(р) содержит некопгорое базисное лгнажество У (д). Следующее, более слабое, условие является необходимым и достаточным: (/з. Любое базисное множество (/(р) содержипг таков базисное лгножесгггво У(р), гпго для каждой гпочки г/ из У(р) некоторое базисное множеспгво У»т (г/) содержится в 1/(р). Если выполнено 13», то внутри (/(р) можно определить множество (/', состоящее из таких точек г/, что одно из базисных множеств (У(г/) каждой точки принадлежит множеству (/(р). Очевидно, это множество открыто и содержит р. Следовательно, (/(р) содержит открытую окрестность точки р, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
