Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 118
Текст из файла (страница 118)
Так можно устранить все р» с с()0, не являющиеся полюсами функции г. В конце концов получится эквивалентный дивнзору А дивизор В =иА, являющийся делителем дивизора О, причем для В имеет место (12). Следовательно, (!2) имеет место и для А: п (А) — ! (А) =,У', ть ()з) Словами; разносгпь п(А) — 1(А) ограничена для всех А. Верхняя грань д множества чисел п(А) — 1(А)+1 по всем дпвизорам А называется родом поля К.
Для А =(1) имеем: п(А) — !(А)=0 — 1= — 1; следовательно, а=-О. Таким образом, род д — это неотрицательное целое число, числовой инвариант поля функций К. По определению рода для всех А имеет место соотношение и (А) — 1(А)+ ! ~ д, или 1(А) ) и (А) — а+ 1, (14) где по крайней мере для одного дивизора А имеет место знак равенства. Неравенство (! 4) называется римановвй частью теареми Ри.иана — Роха. Положим 1 (А) = и (А) — а+ ! -~- ( (А) (!5) и назовем число 1(А) индексом спеииальноспщ дивизора А. Дпвизор А называется спе](иальньии, если ! (А) ) О.
Если не является специальным, то разность и (А) — 1 (А) имеет наибольшее возможное значение — число а — 1. Существуют дивизоры А, не являющиеся специальными. Наша задача состоит в том, чтобы вычислить индекс специальности ! (А) и тем самым полностью доказать теорему Римана — Роха. Зада и а !. Поле рациональных функций Нй д(г) имеет род нуль и обладает простыми диаиаорами степени !.
3 а д а ч а 2. Если поле Н имеет род нуль и обладает простым диаиаором а степени 1, то К является полем рациональных функций Ь(г), (Применить к А=у форь1улу (14).) ф !52. Векторы и ковекторы В разложении в ряд функций поля К относительно плейса р в качестве коэффициентов при степенях униформизирующей и встречаются выражения вида и =в,юг+...+е]сит 558 ллгвввхичвскив эвикции одиои пгввмвинои ~гл. х~х Эти выражения (для каждого плейса р) образуют некоторое Е- мерное векторное пространство Ег над полем Л.
Степенные ряды относительно плейса р можно теперь записать в более простом виде: 'г'„= У о»л", » (2) или, если нужно выразить зависимость коэффициентов о, от плейса 1, р'„=- '5', о,„л». <3) а Если каждому плейсу 1 сопоставить степенной ряд (3) с произвольно заданными коэффициентами ор„из Еб причем так, чтобы во всех этих степенных рядах участвовало лишь конечное число членов с отрицательными степенями, то получится система степенных рядов, называемая вектором 1'. Степенные ряды 1'„называются компонентами вектора р. Независимо от специального выбора униформизируюц~ей л и базисных векторов ия в (1), упомянутые степенные ряды можно рассматривать как элементы соответствующего плейсу р пополнения 1»к(р). Из этих элементов 1'р только конечное число могут иметь отрицательный порядок Ю' (1'р); в остальном они выбираются произвольно.
Говорят, что вектор Р делится на дивизор Е1=Цр», если ряд (3) относительно каждого плейса р начинается с л": )Р',, (1'„) г ь д для всех р. В частности, к числу векторов Р относятся функции и поля К, потому что каждая функция и относительно каждого плейса может быть разложена в степенной ряд (3) и во все эти степенные ряды входит в совокупности лишь конечное число членов с отрицательными показателями. Согласно 3 2! по векторному пространству Е~ можно построить двойственное векторное пространство 0и Элементами пространства О, являются линейные формы на Е, Для каждого элемента о= ~,с;ю; иэ Ег н каждого элемента и нз 0г можно построить скалярное произведение о а =-си, +...+с ип Аналогичным образом для бескоиечномерного векторного пространства 6 векторов г' мы построим двойственное пространство ковекторов Л. Если каждому плейсу р сопоставить последовательность ~а1ч) з |52] Векторъ| и ковекторы (и =- Ь, Ь + 1, ...) элементов из лл], причем так, чтобы во всех этих последовательностях вместе было только конечное число отрицательных индексов й, то полученная система последовательностей будет называться ковектором Х.
Скалярное произведение вектора »' и ковектора Х определяется так: )л Х=~', У оу ° арл. р ]-ьл= — ь Так как существует лишь конечное число элементов о„| с отрицательными ] и лишь конечное число элементов ар, с отрицательными к, то в сумму (4) входят лишь конечное число слагаемых. Отдельные слагаемые — это скалярные произведения о. а, т е. элемеыты нз Л. Операция к является отображением пространства ьВ векторов )л в поле констант, обладающим следующими свойствами: А) (»'+%').Х- — — (л ) +В' Х, Б) (с$').А=с()л Х), В) (л 1=О, если только )л делится на некоторый зависящий только от )ь днвнзор ):].
Свойства А) и Б) очевидны. Чтобы доказать В), заметим, что существует лишь конечное число плейсов Г, для которых последовательность (а»,~ начинается с отрицательного индекса у ==- = в — д. Если из этих плейсов составить дивизор с показателями д: р Прл то получится утверждение В).
Совокупность всех векторов $', делящихся на дивизор с), на-- зывается окрестностью нуля в векторном пространстве 6. Таким образом, свойство В) утверждает, что линейный функционал л отображает некоторую окрестность нуля на нуль. Следовательно, свойство В) — это некоторое свойство непрерывности. Докажем теперь следующее: Каждое отображение )ь пространства 6 на поле Л со свой- ствами А), Б) и В) может быть задано с пол|ощыо последова- тельностей (ар Д.
Доказательство. Каждый вектор )л может быть пред- ставлен в виде суммы некоторого вектора, делящегося на О, и конечного множества векторов )л»., содержащих в своих разло»ь' жениях относительно плейса р лишь слагаемое оп] (все прочие- их компоненты — нулевые): ()'р;)»=оп], (ьлр,')р'=О для р' ~р или ]' ~)'. 560 АЛГЕВРАИ~1ЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕН!ЮЙ !ГЛ. Х1Х При этом, как всегда, о= У, с!1и! — некоторый элемент векторного пространства Ер Если отображение ) применить к определенному выше вектору Г,, то получится некоторый элемент 11~ 'у'1,.
А из Л, зависящий линейно от о и, следовательно, представляемый в виде о а, где а — некоторый элемент из Рр Элемент а мы обозначим через а! где я определяется равенством 1+й = — 1. Так как вектор у'Р не делится на Р, то имеет место неравенство 1(д, так что й) — д; поэтому в последовательностях ~и„,~ участвует в общей сложности лишь конечное число отрицательных индексов.
Далее из А) и В) следует, что 1' )'=~Х,'~,Р'„! 1=~~ ~ о„, а, Р У /+!= 1 что и доказывает требуемое. На основании доказанного предложения ковекторы А можно определить н как отображения векторного пространства б в поле Л со свойствами А), Б) и В). Такое определение инвариантно, т. е. не зависит от выбора элементов 1и! и и. й 153. Дифференциалы. Теорема об индексе специальности С помо!пью ковекторов мы вычислим теперь индекс специальности 1(В). Прежде всего докажем две леммы: Если дивизор Р не является специальным, а дивизор А — кратное дивизора Р, то и А не является специальным.
Доказательство. Согласно (6) из З 150 имеет место неравенство и (А) — 1 (А) ) п (Р) — 1 (Р). Следовательно, если и (Р) — 1(Р) равно максимальному возможному значению д — 1, то и подавно п(А) — 1(А) имеет максимальное возможное значение д — 1. Следствие. Каждый дивизор В обладает кратным дивизором Л, не являющимся специальным. Дока за тел ь от в о. Пусть Р— не специальный дивизор. Выберем А как общее кратное дивизоров В и Р. Из предыдущей леммы сразу же получается нужное утверждение.
Положим А = П р' и В = П р'. Пусть А — кратное дивизора В, так что Ь(а, и Я(В) ы с01(А). Предположим, что диаизор В специальный, а дивизор А — нет. Тогда, конечно, 1(А) = и (А) — д+ 1, 1(В) =п(В) — у+1-(-1(В). э /зз1 диффвгш/цихлы, тво/вмл оь индекса спвцилльности за1 Так же, как в З 150, запишем ~(а — Ь)/ линейных уравнений, которым должен удовлетворять некоторый элемент из Ы (А) вида и=Ь,и,+ ... +Ь/и/ (з) для того, чтобы принадлежать М (В), Пусть разложение элемента и относительно плейса р начинается так: (4) и = (с , ,и/, + ... + с-,,/и//)и тогда (а — Ь)/' условий-равенств для плейса р таковы: с/,=0 ( — а~/(Ь, 1:=т«=)). (5) Но согласно (1) и (2) разность 1(А) — 1(В) на 1(В) меньше, чем п(А) — п(В); следовательно, существует /(В) линейных зависимостей между левыми частями уравнений (5), т.
е. существует / (В) независимых соотношений -Ь-1 ~(с,.)=Х Х Хс/.у/.= (6) /=- — а ч=3 которые должны иметь место для каждого элемента и из И(А). Уравнения (6) могут быть записаны в несколько более простой форме, если сумму по / представить как скалярное про- изведение Х с/уу/ =о/ р/. / При этом„как всегда, о/ —— ~Ч',с/,/о, и р =р (р) — это набор (у/„,.., у//). Чтобы сохранилась связь с предыдущими обозначениями, положим о/=о,„и В/(р) =с„э (!+й= — 1) Тогда (6) запишется в виде Р(с/,) =~,), 'о„/ а„,=О, о /+ь- — / (7) где Ь(/г(а — 1.
Коэффициенты с/, зависят, разумеется, от плейса О, так что следовало бы писать с/,(р), но мы этого не делаем. Если бы ~',(а — Ь)Г=п (А) — п(В) уравнений (5) были независимы, то выполнялось бы равенство 1(А) — 1(В) = и (А) — и (В). 562 ллгвьеличвскив агнкцпи одиоп пвгвлшииои Шл, кгх Заменим теперь А на некоторое его кратное А' = Д р' (а' = а). Тогда 99? (В) я й(А):-Й(А'). Так как дивизор А', будучи кратным дивнзора А, не является спепиальиым, то существует 1(В) линейно независимых соотношений Г (сл,Д = )~~ ~ оьл а'эл =О, (8) ь гэл= — ~ где Ь ~й «а' — 1, выполняющихся для всех и из % (А'). Соотношения )х', а точнее, системы их коэффициентов (аэ„), образуют некоторый гл-модуль ранга 1(В). Точно так же соотношения гх' образуют Л-модуль ранга 1(В).
Если в соотношении Й' отбросить слагаемые с я)а — 1, то получится некоторое соотношение В, выполняющееся для всех и из И(А). С помощью этой «проекциил каждое соотношение й' дает некоторое соотношение В и отображение 11' й линейно. Если бы ненулевое соотношение гх" ~0 при указанной проекции переходило в И=О, то это означало бы, что в )1' существуют слагаемые лишь с!г) а — 1, т. е. — а' ~1< — а. Любое такое соотношение 11' выполнялось бы для всех и из 901(А'). Если мы опять выпишем уравнения, которым должен удовлетворять элемент из 01(А'), чтобы являться элементом из :01(А), то соотношение 11' будет говорить о том, что между этими п (А') — п (А) уравнениями имеется некоторая зависимость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
