Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 116
Текст из файла (страница 116)
Следовательно, можно получить все нормирования поля К, отыскав сначала, следуя з 147, все нормирования поля Л(х), а затем продолжив эти нормирования в соответствии с ~ 145 на К; для осуществления последней операции нужно вложить поле Н всевозможными способами в некоторое поле разложения Л того или иного многочлепа Р(Г) над полным полем (1.
Показательное нормирование и поля К можно сначала продолжить до такого же нормирования ш поля Й, а затем, в соответствии с ~ 144, перейти совершенно однозначным образом н нормированию Ж' поля Л; при этом для каждого элемента г из Л имеет место равенство '~ ~'| РАЯ Йп или, если вернуться к показательным нормированиям ш и )Р', )е (г) =-;„го (йГл (г) ) где т — степень поля Л над полем 14 Для заданного нормирования ш существует только конечное число возможностей продолжения до )Р'.
В классической теории этому соответствует тот факт, что над одной точкой числовой сферы расположено лишь конечное число точек римановой поверхности поля функций К. Согласно й 147 все нормирования ш поля Л (х) дискретны, т. е. существует наименьшее положительное значение ш„на которое нацело делятся все остальные значения ш (г). Поэтому и нормирования )ьт поля К дискретны. Подобно тому как это делалось раньше, мы нормируем нормирования Яг (г), потребовав, чтобы наименьшее' положительное значение ()г(г) было равно !.
При этом все Ф'(г) окажутся целыми числамп. Нормированное таким образом нормирование зависит только от плейса В и будет обозначаться через )Р'ь или просто через ь. Для каждого плейса существует некоторая униформизируюи(аяп — элемент, для которого )р" (и) = !. целое число В'„(г) называется порядком функции г относительно р.
Если оно равно положительному числу й, то говорят, что р — корень 1г-ео порядка или И-кратный корень функции г. Если порядок — отрицательное число — й, то плейс В называется полюсом порядка — 6 или и-кратным по.пасом функции г. 548 алггвгхичвскив эвикции однои пагаменнои !гл. хсх Кольцо классов вычетов 3=3!р, согласно 8 141, является полем — полем классов вычетов нормирования. Оио содержит поле Л* тех классов вычетов, которые представляются константами из Л*.
Так как Л* и Л* изоморфны, то можно отождествить Л* и Л* и рассматривать 3 как расширение поля Л*. Поле констант Л* вновь оказывается расширением основного поля Л. Докажем теперь следующее: поле 3 является конечным росишрением поля Л. Доказательство. Так как л не принадлежит полю Ло, то этот элемент траисцендентен над Л, а потому К алгебраично пад Л(л).
Поле К получается из Л(л) присоединением конечного числа элементов, а потому Н имеет некоторую конечную степень т над Л(л). Предположим, что существует т+ 1 линейно независимых над Л классов вычетов яо ..., и о, из 3. Выберем из этих классов вычетов представители ыо ..., в„„м принадлежащие 3. Эти т+1 элементов должны быть линейно зависимыми над Л(л). Следовательно, имеет место соотношение 1, (л) ы,+...+1 .,(л) ы „=О, (2) в котором 1,(л), ..., 1 „(л) — многочлены из Л(л), среди которых не все равны нулю. Можно предположить, что эти много- члены не все делятся на л.
По модулю р саи сравнимы с некоторыми константами с„..., с „.,; поэтому из (2) следует, что с,ы,+...+с ооо „=— О(р), или с,о),+...+с .чя „,— О, а это противоречит предположению о линейной независимости элементов ыо Поэтому поле 3 имеет иад Л степень, не превосходящую т. Тем самым мы доказали, что 3 конечно над Л. Так как Л' является подполем в 3, то Л* конечно над Л. Если поле Л алгебраически замкнуто, то 3 = Л* = Л. Начиная с этого места, мы будем рассматривать не Л, а Л* в качестве основного поля и поэтому всюду опустим звездочку. Таким образом, мы будем считать, что Л алгебраически замкнуто в К.
Степень поля 3 над Л будет в дальнейшем обозначаться через ~„или просто через 1. В классическом случае алгебраически замкнутого поля констант г=1. Рассмотрим разложения элементов г данного поля К в степенные ряды по некоторой униформизирующей л. Пусть (иь ..., в,) — базис поля 3 над Л, и пусть оь — произвольный элемент из класса вычетов яо Если теперь г — элемент порядка Ь, то гл '— элемент порядка О, принадлежащий, следовательно, кольцу 3. 549 4 мз1 РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ При этом гл ь — = сьь44 -1- + с44о~ (р) (з) с однозначно определенными коэффициентами с, из Л.
Разность гл-ь — (с,ьь, +... + с,ьь,) (4) является элементом из г, а потому некоторым кратным униформизируюшей л: 2л =с44ьь+...+Сгьв4+2 л, г = (с,ь44+... + с44в4) ль+ г'л"'. Оставшееся в конце выражения слагаемое г,=г'ль+' имеет порядок, больший или равный числу Ь+1, а потому к этому слагаемому можно применить описанную процедуру. После з шагов мы получим ьею — 1 г = ~", (сь,ь44+... + сь44ь4) л'+ г„ ь —. ь где последнее слагаемое имеет порядок, больший или равный числу Ь+з.
Прн з- оо остаточный член г, стремится к нулю, и мы получаем (5) г = ~' (сь,ь44+...+сьгыг)л" с однозначно определенными коэффициентами см. Первый показатель степени Ь может оказаться отрицательным, но всякий раз слагаемые с отрицательным показателем будут входить в ряд (5) лишь конечное число раз. Описанную процедуру можно модифицировать, взяв вместо ль про44звольпый элемент л, порядка Ь и записав для гль ' сравнение вида (3). Тогда вместо (5) получится некоторое разложение в ряд по элементам л„; г = ~~ (сь44л, +...
+ сьуь4) л ь. (6) 4 =ь В (6) символы л„обозначают произвольно фиксированные фУнкции поРЯдка й. Коэффициенты см из 4З вновь опРеделены однозначно. Доказанная в 9 148 аппроксимационная теорема может быть теперь переформулирована для функциональных полей: 1. Если для конечного иножества плейсов р произвольно заданы конечные куски рядов (5), то в поле К всегда суи(ествует функиия г, у которой разложения в ряд относительно этих плейсов начинаются с заданных частей ряда. Эту теорему называют теоремой о независимости плейсов. вво клггггкическив эвикции одноп пегемепноп ~гл х~х Далее, имеет место следующая теорема: 11. Любая отличная от константы функция г имеет конечное число корней и полюсов. Доказательство.
Каждое нормирование (опаля Н является продолжением некоторого нормирования ю поля Л(г). Есть только два плейса поля б(г), относительно которых г может иметь положительный или отрицательный порядок: плейсы г=0 и г=со. Только для этих плейсов соответствующие нормирования ю отличны от нуля. Каждое из этих нормирований и может быть продолжено лишь конечным числом способов до нормирований (Р поля Н, Следовательно, существует только конечное множество плейсов поля Н, для которых (ч' (г) ~0.
Тем же способом показывается, что каждая отличная от константы функция обладает по крайней мере одним корнем и по крайней мере одним полюсом. Действительно, нормирование поля а (г), соответствующее плейсу г = О, соответственно плейсу г = оо, может быть продолжено по крайней мере одним способом до нормирования поля Н.
Отсюда следует 1П. Функция г не имеющая полюсов, является констанп1ой. Разложения в ряд (5) и (6) имеют место не только для элементов поля Н, ио и для элементов пополнения йн. Действительно, если г — такой элемент и Ь вЂ” его порядок, то гп-~ — элемент нулевого порядка. Но такой элемент может быть как угодно точно, т. е. с точностью до сколь угодно большого порядка, аппронсимирован элементом у из 3. В этом случае достаточна аппроксимация с точностью до порядка 1. Для элемента у вновь имеет место сравнение у = — с,ы, +... +ело~ (р). Разность у — (с,ы,+...+слог) должна, следовательно, делиться на и, и, так как разность гп-' — у тоже делится на и, то дчя суммы этих разностей, т. е. для выражения (4), получается некоторое представление в виде кратного элемента и; процедуру можно продолжить так же, как это делалось выше.
й !50. Дивизоры и их кратные Пусть Н вЂ” снова поле алгебраических функций одной переменной над полем констант а. В дальнейшем функции нз Н будут обозначаться лишь буквами и, о, щ, х, у, г, 8 и и. Конечное множество плейсов р с произвольно приписанными целыми показателями степени а определяют некоторый дивизорел галя Н.
Мы записываем г! с помощью символа произведения конечного числа сомножителей: О=П»" $ !501 пивизоеы и их хяхтиын Сомножители в этом произведении могут переставляться произвольным образом. Если некоторый показатель степени й равен нулю, то множитель р» в произведении Р можно опустить. Если все показатели степени д равны нулю, то мы пишем Р = (1) и называем такой дивизор единичным.
Если все а)0, то Р называется целим дивизором. Два дивизора можно перемножить, складывая показатели степени у одинаковых множителей р. Каждому дивизору Р с показателями степени а можно сопоставить обратный дивизор Р ' с показателями степени — й, так что Р гР = (!). Тем самым дивизоры образуют абелеву группу — группу дивизоров поля К. Отдельные плейсы р называются также простыми дивизорами.
Они порождают всю группу днвизоров. Каждая функция г определяет некоторый дивизор (г) =Бр", где д — порядок функции г относительно р. Таким образом, каждой константе г соответствует единичный дивизор. Произведению уг соответствует произведение дивизоров (у) и (г): (уг) = (у) (г). Степень простого дивизора р, т.
е. степень поля классов вычетов ) = 3!р над Л, будет постоянно обозначаться, как и в й 149, через 1. Сумма степеней входящих в (1) множителей п(Р) = ~ аг называется степенио дивизора Р. Вместо (г)Р пишут просто гР, Функция г называется кратной дивизора Р„если гР-' — целый дивизор, т. е. если для всех плейсов р данного поля имеет место неравенство )Р'„(г) ~ й. (2) Таким образом, кратными дивизора Р являются те функции г, для которых каждый плейс с й = й) 0 является корнем не менее чем и-го порядка, плейс с показателем й = — й — полюсом не более чем й-го порядка, а относительно остальных плейсов этп функции остаются конечными, т.
е, указанные плейсы не являются их полюсами, Кратные дивизора А ' образуют некоторый Л-модуль, который будет обозначаться через И (А). Покажем, что ЭЛ (А) имеет конечный ранг над Л. Пусть А = П р'. Так как в произведение входит лишь конечное число множителей р" с а)0, существует лишь конечное множество плейсов р, которые могут служить полюсами для кратной 552 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ГЛ. Х!Х дивизора А-' фуннции г. Разложение в степенной ряд функции г относительно любого такого плейса может быть представлено в виде г = (с-Ф1а((+ .. +с-ад(с() и ц+..., где (с( обозначают прежние ыь Число коэффициентов с (ьь соответствующих отрицательным степеням и-", ..., я-', равно а! для фиксированного плейса )Ч следовательно, суммируя по всем полюсам р с а)0, получаем Докажем теперь, что существует не более т+1 линейно независимых кратных г дивпзора А-'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
