Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 114
Текст из файла (страница 114)
Тогда справа в !!5) мы должны положить г=еч, и получится ! =еч)р' (и). Если мы теперь в (!5) обе части умножим на еч, то в силу (16) получится соотношение еч)р' (а) = )рв (а). (18) Таким образом: чтобы из нормирования )Р (а) получить нормированное Р-одическое нормирование ув (а), нужно все значения (р (а) умножить на показатель степени еч, в которой простой одел в=а» входит в (!7).
Число з различных простых идеалов, которые участвуют в (17) справа, равно числу различных продолжений йу р-адического нормирования сор поля ((), а потому равно числу простых множителей, участвующих справа в (1), которое и там обозначалось через з. К р и те р и й целости. Элемент а поля Л принадлежит кольцу ь тогда и только тогда, когда в каждом в-адическом нормировании поля Л элемент а имеет неотрицательную норму. То, что это имеет место «только тогда», мы уже доказали, Пусть теперь а=Ь)с — произвольный элемент из Л, где Ь и с — элементы из о. Разложим главные идеалы (Ь) и (с): (Ь) =- р,т ° ...
° р '", г (с)=в,г ... р '", (19) (20) Используя при необходимости множители вида ьч, мы можем достигнуть того, чтобы в разложениях (19) и (20) участвовали одни и те же простые идеалы р». Значение )р'ч (а) относительно р-аднческого вормирования, соответствующего простому идеалу р», в этом случас равно г«ч (а)=гч — зч.
Если все эти значения положительны и.чи равны нулю, то идеал (Ь) делится на идеал (с) Следа. ательно, Ь=сй, и элемент а=Ь)с=у лежит в о, что и требовалось доказать, З ИУ! НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЯ РАЦНОНАЛЪНЫХ ФУНКЦНП Агх! 539 )(оказанную выше теорему можно сформулировать и следующим образом: Кольцо г равно пересечению колец всех (-адических нормирований полн частных Л, где ! пробегает мнозсество всех проспгых идеалов кольца, за исклю«е. нием (0) и (!).
Аналогичная теорема имеет место в произвольном целоством кольце, цело- замкнутом в своем поле частных. См. по этому поводу К р у л л ь (КгцИ Ъ'.). !деа)(ьеог(е.— Егаеьп)ззе дег Ма(Ь., 4, НеИ 3. й !47. Нормирования поля рациональных функций Л(х) Пусть к произвольному полю Л вЂ” «полю констант» — присоедине. на произвольная переменная х.
Опишем те нормирования поля Л(х), в которых константы из Л имеют норму 1. В частности, суммы 1+1+ ... +1 имеют при таких нормированиях норму 1; поэтому нормирование неархимедово. Мы будем записывать его в показательной форме: гр =ь так что по условию гн(а) =0 для всех констант а. Возможны два случая: 1. гн(() =-0 для всех многочленов )(х), 2. Существует многочлен 1, для которого гн(() О. Может оказаться, что все гн(() =О.
Тогда и все дроби )/д имеют норму 0 н нормирование оказывается тривиальным. Если это положение исключить, то в случае 1 обязательно существует многочлен (, для которого со(())О. Разложим 1 на простые множители; тогда по крайней мере один нз множителей будет иметь норму, ббльшую 1. Если р(х) — этот множитель и О=го(р) — его норма, то каж- дый многочлен, некратный многочлену р(х), имеет норму О.
Лей- ствнтельно, предположим, что д(х) не делится на р(х) и имеет норму )0; тогда ввиду взаимной простоты р и г) имеем 1 = Ар+ Вд, где А и  — некоторые многочлены. В случае справедливости сделанного предположения получим го (А р) = иг (А) + гн (р) ) О, пг(В!7) = гн (В)+ ге! (г)) ) О, и, в силу основного свойства неархимедовых нормирований, иг(1) =гн(Ар+В!)) ) О, что невозможно. Если теперь )(х) — произвольный многочлен и ) (х) = р (х)м д (х), з40 ногмивовлнные поля [гл.
хчш где д(х) не делится на р(х), то иэ (1) = тш (р) + и» (о) = то. Для отношения многочленов, как обычно, ~ —,,) = ш(0 — (а). Стедовательно, в случае 1 нормирование эквивалентно некол»орому р-адическому нормированию, определенному неразложимым многочленом р = р (х). Такие нормирования совершенно аналогичны р-адическим нормированиям поля рапиональных чисел ((). Особенно простым является случай алгебраически замкнутого поля констант Л.
Действительно, тогда не существует неразложимых множителей, отличных от линейных: р(х) =х — а. Каждому элементу а из Л соответствует ровно один неразложимый многочлен р = х — а и, следовательно, одно р-адическое нормирование. Его называют нормированием, соответствующим точке а, потому что в случае комплексных чисел можно рассматривать а как точку на комплексной плоскости.
В этом нормировании многочлен имеет значение т, если он делится в точности на (х — а) или, другими словами, при условии, что а является корнем пьго порядка заданного многочлена. То же самое имеет место и для произвольной рациональной функции <у=а, числитель которой делится в точности на (х — а), а знаменатель не делится на (х — а), Если же числитель не делится на (х — а), а знаменатель делится в точности на (х — а), то ~р <имеет полюс т-го порядка в а» и значение ш(<р) равно — т. Итак, случай 1 рассмотрен полностью.
Покажем теперь, что в случае 2 существует только одно (с точностью до эквивалентности) нормирование, а именно ю ( — 1= — тл-и (у~ где т — степень числителя 1"', а и — степень знаменателя д. До к а за тельство. Пусть р(х) — многочлен наименьшей степени, для которого ю (р) ( О. Степень многочлена р (х) не может быть равна нулю, потому что все константы по условию имеют нулевую норму.
Но вместе с тем эта степень не может быть и больше 1, потому что в противном случае р(х) =а»х" +а,х"-'-1-...+а„, п)1, а<ФО, и многочлен х, как многочлен меньшей степени, должен был бы иметь норму и»(х) «О, а потому и а,х" имеет норму «О; вместе с тем остаток а,х"-'+„,+а»ь опять-таки как многочлеи меньшей э ггг! ногмиговлния поля глционлльных эгггкции лм) ь!! степени, имел бы норму =О.
Поэтому и сумма р(х) =а,х" +(а,х '+...+а„) имела бы норму '=-О, что противоречит условию. Итак, многочлен р(х) линейный: р(х) =х — с, Если теперь г) (х) = х — Ь = (х — с) + (с — Ь) — любой другой линейный миогочлен, то, согласно сделанному выше замечанию и ввиду того, что пг(х — с)(пг(с — Ь), имеем иг (г)) =ппп(ш(х — с), пг(с — Ь)) =пг(р). Таким образом, все линейные многочлены имеют относительно данного нормирования одну и ту же отрицательную норму: (р)= (с)= — .
Всегда можно перейти к эквивалентному нормированию и выбрать и = 1. Тогда все линейные многочлены будут иметь норму — 1. Степени х' имеют норму — й. При этом постоянный множитель не измеяяет ее значения: иг (ах") = — /г. Наконец, каждый многочлен ) (х) является суммой слагаемых вида ах". Согласно сделанному выше замечанию значение аг(1) равно минимуму значений составляющих слагаемых, т.
е. иг(1) = — и, если 1 имеет степень гг. Тем самым все доказано. В случае числового поля существует принципиальная разница между одним-единственным архимедовым нормированием и бесконечным множеством неархимедовых. В случае же поля рациональных функций нормирование с помощью степени совершенно равноправно с р-адическими нормированиями. Более того, с помощью очень простого изоморфизма полей можно перевести нормирование по степеням в произвольное наперед заданное р-адическое нормирование. действительно, положим х= —; ! (\) тогда отношение многочленов степеней гп н л ! (х) ахи -1- Ч(х) = — = к(х) ьх"-1-...
при подстановке (1) и умножении числителя и знаменателя на (!т — с) '" переходит в некоторое отношение многочленов от )г, 542 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ !ГЛ Хами числитель которого делится в точности на (у — с)", а знамснатель— на (у — с)". Значение отношения «р(у) при нормировании, соогветствующем точке с, равно, следовательно, разности степеней п — т. Таким образом, нзоморфизм (1) переводит нормирование поля б(х) по степеням элементов в нормирование, соотвегствующее точке с и определенное на изоморфном поле Л(у). <Точке» у=с в силу (1) соответствует «точка» х=-со.
Поэтому нормирование на функциональном поле Л(х) по степеням называют нормированием, соответствующим точке со. При добавлении к комплексной плоскости точки ОО плоскость замыкается в сферу, на которой все точки равноправны, и дробнолинейные подстановки ах+ Ь ск+а (2) переводят каждую точку в любую наперед заданную. Очевидно, изоморфизм (1) — всего лишь частный случай подстановки (2). Выясним теперь, каковы пополнения, соответствующие различным «точкам» заданного поля. Ранее (5 142) мы видели, что пополнением, соответствующим точке с, является поле формальных степенных рядов а=а (х — с)-"'+ ... +а,+а, (х — с)+а»(х — с)'+ ...
~=-Ь х + ... +ба+У»х '+6»х '+... $148. Аппроксимационная теорема Каждому нормированию ср поля К, как было замечено выше, соответствует понятие предела; символ !нп а, = — а означает, что 1нпср(а,— а) =О. Непосредственно проверяется, что а» ~ О„если гр(а) (1, ! !гп !+а~ ( 1, если <р (а)) 1.
Напомним, что два нормирования ср и «р называются эквивалентными, если из !!шгр(а») =О следует, что 1!шф(а,) =-О, и наоборот. Коэффициентами в таких рядах являются произвольные константы: ряд всегда сходится в смысле р-адического нормирования, независимо от того, как выбраны его коэффициенты. В смысле теории функций такой ряд не обязан сходиться даже тогда, когда а„— комплексные числа: радиус сходимости может быть равным нулю. Значение го(а) для указанного выше ряда равно — т, если а „вЂ” первый отличный от нуля коэффициент. Точно так же точке ОО соответствует пополнение, являющееся полем всех степенных рядов от х '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
