Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 115
Текст из файла (страница 115)
5 1181 АППРОКСИМАЦИОИ!1АЯ ТЕОРЕМА В у 142 был доказан следующий критерий эквивалентности: Лемма 1. Два нормирования ср и 111 эквивалентны тогда и только тогда, когда иа ср(а)(1 следует, что ср(а)(1. В качестве следующего шага будет доказана Л е м м а 2. Пусть ср„..., ср„(п Р 1) — конечное множество неэквивасеносньсх норлсирований поля К. Тогда существует такой элемент а аэ К, что ср,(а))1 и ср,(а)(1 (э=2, ..., и).
Доказательство проводится индукцией по и. Пусть сначала и =2. Так как нормирования срс и ср, не эквивалентны, то по лемме 1 существует элемент Ь, для которого ср,(Ь)(1 и ср,(Ь)~1, а также элемент с, для которого ср, (с) =. ! н ср, (с) ( ! . Но тогда элемент а=Ь-'с обладает нужными свойствами: ср, (а) Р 1 и ср, (а) ( 1. Если для и — 1 нормирований утверждение предполагается верным, то существует такой элемент Ь, что срс (Ь) ) ! и ср (Ь) ( 1 (т = 2, „ и — 1). Согласно доказанному для а =2 существует такой элемент с, что ср,(с)~1 и ср„(с)(1. Рассмотрим два случая: Случай 1. ср„(Ь) 1.
Построим а,=сЬ'. Тогда срс (а,) > 1, ср„(а,) (1, и для достаточно больших г 1р,(а,)(1 (э=2, ..., п — 1). Поэтому можно положить а=а,. Случай 2. ср„(Ь)) 1. Построим элементы сь' д'=1+ ь Последовательность (д,) сходится к с относительно нормирований срс и ср„ и сходится к О относительно прочих нормирований ср,.
Поэтому 11 ш ср, (д,) = ср, (с) ) 1, 1'ш ср„(й,) = ср„(с) (1, 11ш ср„(д,) = О (т = 2, ..., п — 1). НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ ггл. хюп Следовательно, элемент а =й, при достаточно большом г обладает нужными свойствами: срг(а)) 1, (т =2,, п). с!г, (а) (! Лемма 3. Если ср„..., с!г„— неэквивалентные нормирования, то сугцествует элеменги Ь данного поля, расположенный как угодно близко к 1 опгносительно нормирования срг и как угодно близко к О опгносипгельно нормирований ср,, ..., сь„. Доказательство.
В случае п =1 утверждение тривиально. В случае п ) 1 рассмотрим элемент а со свойствами (1) и построим элемент Ь вЂ” а г г )„вг' Последовательность (Ь,) стремится к 1 относительно нормирования сьг и стремится к О относительно нормирований сь„... ..., сь„. Отсюда следует требуемое. После этих подготовительных предложений будет доказана А и п р о к с и м а ц и о н н а я т е о р е м а. Пусть с!г„..., ср„— 'неэквиваленпгные нормггровонгся. Для заданньсх элементов а,, ..., а„ основного поля существует элемент а, который! расположен как угодно близко к эле,центу а„относительно нор,иирования сь;г ср, (а, — а) - е (т = 1, ..., п). (2) Доказательство. Согласно лемме 3 существуют элементы Ь, (э=1, ..., п), близкие к 1 оносительно нормирования ср„и близкие к нулю относительно прочих нормирований.
Сумма а =агбг+ ... +а„Ь„ в таком случае расположена как угодно близко к а, относительно нормирования ср,. Изложенное здесь доказательство аппроксимационной теоремы заимствовано из курса лекций Э. Артина. Глава девятнадцатая АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Вершиной классической теории алгебраических функций над полем комплексных чисел является теорема Римана — Роха.
Имеются теоретико-функциональные, геометрические и алгебраические доказательства этой теоремы. Красивое теоретико-функциональное доказательство с использованием геометрических идей было найдено Ж о р д а н о м (Зогс(ап С.). Сопгз д'апа1узе, П, гл. УП1. Среди геометрических методов доказательства особенно выделяется гпе1ог(о гарЫо Севери'). Чисто алгебраическое доказательство Дедекинда и Вебера в 3.
ге!пе ипс( аппеьч. Ма!Во 1882, 92 было упрощено Эмми Нетер, обобщившей его на произвольные совершенные поля констант. Для произвольных полей констант теорему Римана — Роха впервые доказал Ш м и дт (8с)ппЫ! Г. К.). — МаНь Е., 1938, 41. Одно простое доказательство теоремы принадлежит Андре Вейл ю (ьч'е!! А.). — 3, ге!пе ппд вийей. Ма1)т., 1938, 179, методу которого мы здесь следуем.
9 149. Разложения в ряды по степеням униформизирующих Пусть К вЂ” поле алгебраических функций одной переменной, т. е. некоторое конечное расширение поля рациональных функций Л(х). Выбор независимой переменной х совершенно произволен: вместо х можно взять любой трансцендентный над А элемент. Нас интересуют лишь инвариантные, т. е. не зависящие от выбора х, свойства поля функций. Элементы из К, являющиеся алгебраическими над А, называются константами. Они составляют поле констант А*. Поле Ьа алгебраически замкнуто в К, т.
е, все элементы из К, алгебраические над А", принадлежат А*. Исходным понятием совремеяной теории алгебраических функций является понятие нормирования. Так же, как и в 9 147, здесь рассматриваются лишь такие нормирования поля функций К, относительно которых все константы с* из Ьа, отличные от нуля, имеют значение <р(с") = 1. Как и в 9 147, сразу же легко проверить, что все этн нормирования являются неархимедовымн.
'1 Новейшее изложение этого метода можно найти у С е в е р н (зечеи' Р.).— Ас!а рон!. ассад. зсп, !952. Указанный метод оказал значительное вчияние на доказательство Вейля, которое здесь излагается. 546 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОИ [ГЛ Х1Х По-прежнему мы будем записывать их в показательной форме: гр(г) =е- !'. (1) Следовательно, и1(св) = О для всех с" ~ О из б*. задач а. Еслч ю(с) =0 для всех сФО из Ь, то ю(с*) =0 для всех с» Ф 0 из а*.
Под плейсои') поля К мы подразумеваем некоторый класс эквивалентных нормирований. Основанием для такого названия служат рассмотрения, проведенные в 9 147 для поля рациональных функций гз(х) с полем комплексных чисел в качестве поля констант. Если считать комплексную плоскость замкнутой до сферы с помощью добавленной точки со, то каждой точке сферы (с или со) соответствует ровно один класс эквивалентных нормирований, причем таким способом в 9 147 были получены все нормирования поля рациональных функций Л(х).
Для поля алгебраических функций над полем комплексных чисел можно осуществить в некотором смысле аналогичные конструкции, рассмотрев риманоау поверхность заданного поля функций'). В 9 141 уже было показано, что каждой точке Р этой поверхности соответствует класс эквивалентных нормирований поля функций К.
В этом случае можно также доказать'), что таким способом получаются все нормирования, относительно которых константы с имеют значение и1(с) =О. В последующем теория плейсов и униформизирующих буде; строиться чисто алгебраически, без использования понятия римановой поверхности. Между тем всякий раз, когда речь будет заходить о плейсе, читатель может мыслить себе точку на римановой поверхности. Согласно 9 14! каждому плейсу, т. е. Каждому классу эквивалентных нормирований для функций К, соответствует кольцо нормирования 3 и идеал нормирования р, состоящий из всех элементов г поля К, для которых и1(г)) О.
Согласно лемме 1 1) В оригинале местол« (нем. 3(е((е, англ. р(асе, франц. р!асе); выбор этого несколько странного названия и обосноиывается автором †оттенком извинения — в ближайших двух абзацах. Иногда плейс определяют как гомоморфное отображение данного поля К в поле с присоединенным символом со (см. Лент С. Алгебра. — Мс Мир, (968, с.
339). В любом случае термин «точка поля», пущенный в оборот при переводе на русский язык в 50-х гадах, нельзя признать удачным, особенно в постоянном и неизбежном контенсте с точками многообразий (в некоторых переводах появился еще и «центр точким). Во избежание недоразумений мы предпочитаем употреблять просто английский термин в русской записи. Таким образом, если, например, речь пойдет о плейсе поля функций, определенном точкой многообразия, то мы сиожем, не боясь путаницы, говорить о любом из этих объектов.
— Прим. рад. «) См. й(еу! Н. (у!е (бее бег ((!ешаппзснеп Е(асне.— 3. Ед. — 3(н11- йаг(, !955. а) См. указанную выше книгу Вейля. % ми ехзложеиия в гяды З 148 два нормирования, соответствующие одному и тому же идеалу р, эквивалентны. Тем самым каждому идеалу нормирования соответствует один-единственный плейс. В дальнейшем мы будем обозначать плейс той же буквой 1, что и соозветствующий ему идеал нормирования. Поле К по условию является конечным расширением поля рациональных функций Л (х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
