Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 126
Текст из файла (страница 126)
596 тополОГическАя АлГеБРА ~ГЛ ХХ Ем Пересечение любого конечного числа множеств из 5 снова принадлежит 5, Е . Пустое множество не принадлежит системе 5. Нз Е, следует, что само множество М, как пересечение пустого множесчва подмножеств из М, принадлежит 5. Вместо Е, можно было бы потребовать следующее: Е.',.
Пересечение любых двух множеств из 5 принадлежит 6. Е,". Множество М принадлежит систел~е б. П р и м е р 1. Окрестности произвольной точки р в топологическом пространстве М составляют некоторый фильтр — фильтр окрестностей точки р. Непустая система 6 называется базисом филыпра, если она обладает следующими свойствами: В,. Пересечение любых двух множеств из 6 содержит некоторое множество из 6.
В,. Пустое множество нг принадлежит системе 6. Если оба эти свойства налицо, то можно построить некоторый фильтр 5, состоящий из подмножеств множества М, которые содержат по крайней мере по одному подмножеству из 6. Говорят, что этот фильтр порождается базисом 6 и что 6 — базис фильтра 5.
Пример 2. Базис окрестностей некоторой точки р н топо- логическом пространстве М является базисом фильтра окрестностей точки р. Пример 3, Пусть задана некоторая последовательность элел~ентов множества М: а„а„а„.. Если удалить конечное число членов этой последовательности, то остальные будут составлять некоторое множество А. Множества А такой природы составляют некоторый базис фильтра 6.
Фильтр, порожденный базисом 6, состоит из тех подмножеств множества М, которые содержат почти все члены данной последовательности. Начиная с этого места, пусть М вЂ” некоторая топологическая группа П. Пусть У вЂ” некоторая окрестность единицы е. Говорят, что множество А является малым порядка У, если все частные х-'у элементов из А лежат в $'. х 'уев 1Г, так что уев хУ для любых х и у из А.
Говорят, что система множеств 6 содержит произвольно ллалые множества, если для каждой окрестности единицы Г' существует множество А из 6, являющееся малым порядка У. Фальта Коши — это фильтр, который содержит произвольно малые множества.
Базис фильтра Коши 6 в группе б — это такой базис филыра. 597 Э 1в71 ФИЛЬТРЫ который содержит произвольно малые множества. Фильтр, порожденный базисом фильтра Коши, является фильтром Коши. Базис фильтра 6 сходится к а, если в каждой окрестности точки а лежит некоторое множество А из 6. В этом случае пишут 1!ш ю=а В любой Тггруппе предел а определен однозначно. В э 166 Т;группа была названа слабо полной, если в ней каждая последовательность Коши имеет предел. На самом деле это понятие полезно только тогда, когда группа удовлетворяет первой аксиоме счетности. В общем же случае необходимо более сильное понятие.
Введем его: Т-группа 6 называется сильно полной, если в ней сходится каждый фильтр Коши. Каждая сильно полная Т-группа является и слабо полной. Доказательство. Пусть группа 6 сильно полна и пусть (х,) — произвольная фундаментальнан последовательность в 6. Множества А, которые получаются при отбрасывании конечного числа членов из данной последовательности, являются произвольно малыми по определению последовательности Коши. Эти множества А составляют некоторый базис фильтра Коши 6, который порождает некоторый фильтр Коши 5.
Последний имеет в 6 некоторый предел а. В каждой окрестности точки а лежат почти все члены последовательности х,, а потому эта последовательность имеет в 6 предел — точку а. Докажем теперь, следуя Бурбаки, следующее: Если некоторое множество Р в Т-группе 6 плотно и каждый базис фильтра Коши в Р сходится к некоторому пределу из 6, то группа 6 сильно полна. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть Я вЂ” произвольный фильтр Коши в 6. Мы должны доказать, что 5 сходится. Для каждой окрестности )7 единицы е и каждого множества А фильтра 5 построим произведение множеств А)7. Такие множества составляют некоторый базис фильтра 6, потому что если А)7 и А')7' — два таких произведения множеств, го множество (А П А') ()7 П )7') содержится в пересечении А)7 и А')7'. Покажем теперь, что Е является базисом фильтра Коши. Пусть У вЂ” некоторая окрестность единицы е и )7 — настолько малая окрестность, что )7-%)7 содержится в У.
Выберем множество А малым порядка )7. Для любых двух элементов ао и а'о' множества Аг' имеют место соотношения (ао)-' а'о' = о-' (а-'а') о' ен У-'17 У ы У, так что А)7 является малым порядка У. Тем самым '3 является базисом фильтра Коши. 598 !ГЛ. ХХ ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА Пересечения произведений АЬ' с Т> никогда не являются пустыми, потому что А содержит по крайней мере один элемента и в каждой окрестности а)г элемента а имеется по крайней мере одна точка из А>. Следовательно, пересечения А)г П(> составляют некоторый базис фильтра Коши на О. По условшо этот базис имеет некоторый предел Ь в 6.
В каждой окрестности точки Ь лежит некоторое множество АР', а потому и его подмножество Ае= А. Тем самым 5 сходится к Ь, чем и заканчивается доказательство. Задача Н Если фильтр й сходится к а, то 6 является фильтром Коши. Задач а 2. Если безас фильтра 6 сходится к а, то порожденный базисом й> фильтр й тоже сходится к о, и наоборот. Зада ч а 3.
Топологическая группа, являюшаяся слабо полной и удовлетворяюшая первой аксиоме счетности, сильно полна. (У к а з а н и е. Пусть Р и 'г'„... — произвольный счетный базис окрестностей единицы е и 3 — фильтр Коши. )сля каждого и сушествует множество А„ в этом фильтРе, Явлаюшееса малым поРЯдка Р ю ПостРоим пеРесечениа Рл=А>П Аай ° П Аа н выберем х„ в Р„. Тогда (х„) — некоторая фундаментальная последовательность предел которой является и пределом фильтра 8.) $168.
Пополнение группы с помощью фильтров Коши В порядке подготовки к изучению сильного пополнения докажем одну лемму, которая совершенно аналогична лемме из З 166 и доказывается точно так же. Пусть 3 — фильтр Коши. Тогда для каждой окрестности (>' точки е суи(ествует окрестность )г этой же точки и множество А из 5 такие, что х г)гх ы (> для всех х из А.
Доказательство. Выберем 1Р' так, чтобы было (Р'1)т(1' = с:-(>'. Множество А выберем так, чтобы было х 'уе= ((т для всех х и у из А. Выберем какой-нибудь фнксноовапный элемент у в А. Тогда х >у и у'х принадлежа1 ((У, если х принадлежит А. В силу Е, 8 163) окрестнг;сть К можно выбрать в у((гу '. Тогда х-т()х с= ~ (х 'у) йт (у 'х) с= Ж'((т((т с= ~/ для всех х из А. Под произведением двух фильтров (1 и (Я подразумевается фильтр, порожденный произведениями АВ, А из бл В из (8>. Произведение фильтров ассоциативно: 6 Жй> =565. ".>. (1) Действительно, обе части в (1) равны фильтру, порожденному произведениями АВС, А из 5, В из (з>, С из ф. Покажем теперь, что: ПОПОЛИЕССИЕ ГРУППЫ С ПОМОШЬЮ ФИЛЬТРОВ КОШИ 599 э 1вьс 1.
Если !! и Сь) — фильтры Копти, то йЯ вЂ” фильтр Коши. Доказательство, Имеем (ху)-' х'у' = у-' (х- 'х') у (у-'у'). (2) Если х и х' принадлежат подходящим образом выбранному множеству А из (т и точно так же у и у' принадлежат подходящим образом выбранному множеству В из Я, то х 'х' и у 'у' лежат в произвольно малых окрестностях единицы е, а потому в силу леммы у '(х 'х') у принадлежит сколь угодно малой окрестности (с'; следовательно, произведение (2) лежит в как угодно малой окрестности точки е, что и требовалось доказать. П.
Если 11 — фильтр Коши, а фильтр 9 сходится и е, то фильтр й-ссь35 сходится к е. При этом под ст-с подразумевается фильтр, который состоит из множеств А ', А из с!. Доказательство. Пусть х и х' принадлежат некоторому множеству А фильтра ст и у принадлежит некоторому множеству В фильтра Ж, так что при подходяще Выбранном В элемент у оказывается элементом произвольно малой окрестности )с точки е. Имеем (3) х-'ух' = х-'ух х-'х'. В силу леммы множество х т)сх при подходяще выбранных окрестности у' и множестве А принадлежит сколь угодно малой окрестности Ес точки е. Следовательно, произведение (3) принадлежит (с' (/, а потому содержится в сколь угодно малой окрестности точки е. 3 а д а ч а 1. Множества А, содержащие единицу е, составляют некоторый ~ьильтр Коши Ой Он является единичным элементом относительно умножения фильтров: 65 =36 =3 для всех ст, Как и 9 166, мы должны сейчас ввести аксиому сильной п о и о л н я е м о с т н О К, являющуюся аналогом ТОа: СГК.
Ессси $ — фильтр Коши, то и й ' — фильтр Коши. Это означает следующее: если произведения х-'у (х и у из А е— = ст) лежат В сколь угодно малой окрестности точки е, то и произведения ух ' лежат в сколь угодно малой окрестности точки е. В случае абелевьсх групп это утверждение тривиально.
Фильтры Коши относительно умножения образуют некоторую полугруппу в том смысле, что здесь оказываются выполненными первые три аксиомы группы из 9 6. В общем случае аксиома 4 не выполняется. Несмотря на то, что для каждого фильтра Коши й существует фильтр Коши п-с, произведение в-тб в большинстве случаев не равно ьт. Обозначим полугруппу фильтров Коши в б через б. Превратим б в топологическое пространство, определив базис окрестностей 0 единичного элемента 6, сопоставляя каждой окрестности бОО [ГЛ. ХХ топологическАя АлГеБРА с[ единицы е из 6 базисную окрестность 0 следующим образом: с[ состоит из всех тех фильтров [ч которые содержат по крайней мере одно множество А с: — У.
Определенные таким образом базисные окрестности ([ удовлетворяют требованиям Е,— Е, 3 163. Для Е,— Е, н Е, это утверждение тривиально, а для доказательства Е, нужно воспользоваться леммой. 3 а д а ч а 2. Доказать свойство Еь 3 а д а ч а 3. Фильтрами, сходни[нинся к е, являются в точности те фильтры, которые лежат во всех окрестностях У. С помощью окрестностей У, так же как и в й 163, построим сдвинутые окрестности 50. Тем самым 6 станет топологическим пространством.
Взятие произведения [1[э' и элемента 5 ' непрерывны в смысле этой топологии; следовательно, можно рассматривать 6 как топологичеекую полугруппу. Аксиома отделимости Т, в общем случае для построенного объекта пе выполнена (см. задачу 3). Фильтры, сходящиеся к е, образуют в 6 некоторую подполугруппу У. В силу 1! подполугруппа У является нормальной в том смысле, что 5 тА[5 с:-' А[ для всех [ь Свойства полугрупп 6 и М вместе с очевидным свойством 5 т5ЕЕУ позволяют построить факторгруппу 6/У =6.
Для этого нужно лишь еще раз просмотреть конструкцию факторгруппы из 3 1О и заметить, что свойство а 'а =- е (т. е. в нашем случае [1-Я =чу) как таковое вовсе не нужно: нужно лишь, чтобы В-х5 е= А[. Факторгруппа является, таким образом, настоящей группой: в ней каждый элемент обладает настоящим обратным. Так же, как в 3 164, усматривается, что факторгруппа 6[[У является топологической. Полугруппа 6 отображается с помощью непрерывного гомоморфизма на 6[А[ = 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
