Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Имеем т" = — 0 (7). Из соотношения (1) следует, что если ) свободен от делителей, то идеал и однократен. Действительно, в этом случае для лк;бого простого делителя р' идеала ц из (1) следует, что откуда и, следовательно, либо )Е =- Г, либо гв †.-ь. Таким образом, идеал г1 не имеет простых делителей, отличных от р и ь. Итак, равносильны следующие понятия: 1) однократный идеал; 2) примарный идеал, ассоциированный с простым идеалом, не имеющим делителей; 3) делитель некоторой степени рь простого идеала Г, не имеющего делителей. Далее имеет место предложение: Пуспгь идеал ш обладает изолированной однокрапгной прилгарной колигонентой в, г — ассоциированный проспгой идеал этой компоненты, а р — ее ггоказатель; тогда для лгобого целого числа о == р имеем (2) Дока за тел ьство.
Из ш= — 0(1) рЯ ш 0 (г)) 449 4 1м) ОДНОКРАТНЫГ ИДЕАЛЫ следует, что (ви р') 0 (4). Пусть, с другой стороны, (3) ш=(Я, аш ..., 4Д вЂ” некоторое представление идеала ш примарными компонентами. Идеал (ш, р') однократный, а потому примарный. Ассоциированным НРостым идеалом слУжнт идеал Р.
ПРоизведение 1!э делится на (ш, !"). Однако произведение и, ... а, не делится на р, так как, по условию, ч — изолированная компонента. Следовательно, идеал 1 должен делиться на (ш, р'): 9 0 ( 1 и р Р ) Из (3) и (4) следует (2). Следствие. Для о»р рч — 0 (я) — (ш рьш). р"= — 0(ш, р""'). таким образом, (5) Для о(р соотношение (5) не выполняется. Лействительно, если бы было р" =0(ш р ") что противоречит определению показателя р. Показатель р идеала ~! является, таким образом, наименьшим числом о, для которого выполнено соотношение (5). Существуют целостные кольца о с единицей, в которых (имеет место теорема о цепях делителей и) каждый отличный от нуля простой идеал не имеет делителей. Например, к числу таких колец о~носятся кольца главных идеалов (ср.
~ !8), а также определяемые ниже «порядки» в числовых и функциональных полях; типичный пример — кольцо У, !)' — 31. Теория идеалов этих колец особенно проста. Прежде всего, здесь все примарные идеалы, кроме нулевого, однократны. Далее, любые два отличных от нуля и друг от друга простых идеала в этом случае взаимно просты. Отсюда следует, что ассоциированные примарные идеалы для различных ненулевых простых идеалов также взаимно просты.
Наконец, примарные компоненты любого идеала изолированы и, таким образом, однозначно определены. Итак: каждый ненулевой идеал однозначно представляется в виде пересечения попарно взаимно простых однократных примарных идеалов, Согласно 3 !21 это для некоторого о -'р, то умножением на р" ' ' можно было бы получить ти-'= — 0(1ири '-', р') =0(ш, а) =0(!), 450 опщкя тгория идвилов коммгтитпвных колсц 1гл, хе пересечение равно произведению в =14> ° » ~ Ъ~ ='1> Яе В кольцах главных идеалов примарные идеалы е, равны степеням простых идеалов.
В общем случае это верно при некотором условии, с которым мы познакомимся позже, — условии «.целозамкнутоспип 9 123. Кольца частных В 9 13 мы построили поле частных произвольного коммутатпвпого кольца без делителей нуля. Эта конструкция без изменений переносится и на кольца с делителями нуля, если только в кольце есть элементы, не являющиеся делителями нуля. Для этого строится кольцо дробей а!Ь, в которых знаменателямн служат всевозможные элеме>пы, не являющиеся делителями нуля, а числителем а может быть любой элемент кольца.
Множество знаменателей можно еще более ограничить. Пусть в коммутативпом кольце >с задано непустое множество 5 элементов, не являющихся делителями нуля, которое вместе с двумя любыми своими элементами з и 1 содержат нх произведение зй Тогда дроби а!з (а принадлежит )е, а з принадлежит 5) образуют >1 кольцо, содержащее кольцо й>: кольцо частных )е' = —. Это понятие восходит к Г р ел лю (ОгеП Н. — Ма((>. Апп., 97, 5.
499). Если й>' — коммутатпвное кольцо, содер>кащее >с, то каждый идеал а пз Й порождает некоторый идеал а' в кольце >е' — распаление идеалп а а кольце Р'. Наоборот, пересечение кольца >с с любым идеалом с' пз ее' всегда является идеалом в Р— суягенпем пдеали с' в кольце )е.
Сужения идеалов сПЙ' называются лакже отмеченными идеалами ') кольца >е (относительно >с'). Общее исследование о расширениях и сужениях идеалов имеется в уже упоминавшейся работе Грелля, Здесь же мы рассмотрим лишь случай колец частных, где связи достаточно просты. Если а — идеал в Р, то расширение а в колы1е частных >е' состоит из всевозможных дробей а)з (а принадлежит е, з принадлежит 5). Если из идеала а' построить сужение а' () и>, то получится в точности 5-компонента аз, определенная в 4 !20, а именно— множество всех х, для которых зх при некотором з из 5 лежит в а.
Обратно, если исходить из произвольного идеала а' кольца частных Я' и построить сужение и= >'П>е то расширением идеала а вновь будет е'. Пересечение этого рас. 9 Н оригинале — ееиаеее1епие1е 1аеи1е, — Прим. и рее, 451 кольцл частных 4 мз1 ширения с )с равно а и в этом случае аз=а. Наоборот, если та=а, то и — сужение некоторого идеала, а именно — идеала а', являющегося его расширением.
Отмеченные идеалы а кольца )с характеризуютсл, следовательно, свойстттволн1 аз=а. Из сказанного немедленно следует, что между идеалами а' кольца Я' и отмеченными идеалами а кольца Й есть взаимно однозначное соответствие по правилу: а является сужением идеала а', а а' является расширением идеала а. При этом, очевидно, пересечению а' П с' соответствует пересечение а П с. Если в )с имеет место теорема о цепях делителей, то она имеет место, в частности, и для отмеченных идеалов, а потому и для идеалов кольца )с'.
Упорядочим в пересечении примарные идеалы й, так, чтобы элементы из 5 содержались лишь в аь м ..., й, (или в ассоциированных простых идеалах рь„и ..., р,); тогда эти идеалы при расширении перейдут в единичный идеал кольца тс' и, как в З 120, получится, что аз=[йт, ..., аа). (2) Стоящие в правой части соотношения (2) идеалы 1; обладают тем свойством, что аз = а. Таким образом, идеал ав — отмеченный.
В силу взаимно однозначной связи между отмеченными идеалами и их расширениями нз (1) получается следующее представление для расширения идеала: Сравнение равенств (1) и (3) показывает, что при переходе от Я к й' строение идеалов становится более бедным. Все те идеалы, которые содержат элементы из 5, — в частности, идеалы а„— дают в качестве расширения единичный идеал.
Лишь отмеченные идеалы а (обладающие свойством ав = а) остаются при расширении неизменными в том смысле, что из а' можно вновь получить исходный идеал а = ав как результат сужения. 3 а да ч а 1. Если ат — примарный идеал, а в — ассоциированный с ним простой идеал, то расширение Ч' в кольце частных Й' прнмарно и ассоциирован. ным простым идеалом служит В'. Задач а 2. Если ч' — примарный идеал с ассоциированным простит| идеалом В' в кольце Р', то и в произвольном подкольце Й сужение а=а'Дк прил1арио с ассоциированным простым идеалом в=в' Дк.
Обобщенные кольца частных. Если 5 — мультипликативно замкнутое множество кольца )с, содержащее делители нуля, но не содержащее самого нуля, то, следуя Шевалле, можно определить обоби(енное кольцо частных. Пусть и =(0)в — 5-компонента нулевого идеала в )с, Построим сначала факторкольцо )т'е =й/и. 452 овщля тгошгя идя»лов ко»гмтт»тг!вных колец ггл хч Классы вычетов элементов из 5 по модулю и составляют мульти. пликативно замкнутое множество 5» кольца Р*, не содержащее делителей нуля. Тогда можно построить обычное кольцо частных Я~ гг' = — „. Оно и называется обоби!внным кольцом часа ньгх кольца )г относительно мновгсества 5.
Свойства этого объекта аналогичны свойствам обычных колец частных. Так, например, можно построить расширение идеала в кольца )г; для этого сначала строится образ в* идеала а при гомоморфизме )г — ~)г*, а затем берется идеал кольца Г, порождаемый идеалом и". Аналогично строится сужение идеала г' кольца Р'! сначала берется пересечение с кольцом йг*, а потом строится множество элементов, классы вычетов по модулю н которых принадлежат этому пересечению.
Дальнейшие сведения можно найти в книге: Н о р т к о т т (Ыогйсо(1 О. О.). 1г(еа! йеогу. — СашЬг!г(ие Тгас(з !п Май., 42, зес1!оп 2.7. $ 124. Пересечение всех степеней идеала Пусть в дальнейшем ь обозначает нетерово кольцо с единицей. Кольцо называется нуль-примарным, если примарен нулевой идеал, т. е.
если из аб = 0 следует, что а = 0 или 6» =- О. В фундаментальной работе В. К р у л л ь ') показал, что в произвольном нуль-примарпом кольце ь, — в частности, в любом целостном кольце — пересечение всех степеней каждого отличного от ь идеала е равно нулю. Для простых идеалов в ~ ь равно нулю даже пересечение всех символических степеней рыг. Из этих теорем оказывается возможным получить ряд утверждений и о произвольных кольцах. Мы изложим здесь основные идеи соответствующей теории. Теорема 1. Если в и Ь вЂ” идеалы в нуль-примарном кольце ь и Ьааь, (1) то в =ь или ь=(О). Доказательство. Пусгь Ь=(г(„..., г(„).
Тогда из (1) следует, что д;=Ха»д». (2) Как обычно, положим, бг» = 0 для г = й и би = 1; тогда вместо (2) можно записать ~х ', (6,„— аг,) с(» = О. Определитель этой системы уравнений равен 0=1 — а, г) Кген !!г. Рггтщеенгейеп гп а!!вегпе!пеп к!пвЬеге!сиен,— 5!!хипяеьег!сЫе Не!г!е!Ьегяег А!гаг!., !928, 7.
АЬЬ, пегесечение Всех степенен идеала 4 ПЯ где а принадлежит идеалу а. Умножим уравнения (3) на миноры элементов я-го столбца определителя Р и сложим полученные равенства; получится ') Рй =О, а отсюда для каждого элемента й идеала в получаем (1 — а) д = Рй = О. Это означает, что либо (1 — а)'=О, либо, если ни одна из степеней элемента (1 — а) не равна нулю, й=-0 для всех й из 1. В первом случае 1 =0(а) и, следовательно, а =-о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
