Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 89

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 89)

До к а з а те л ь с т в о. Пусть Я вЂ” произвольный идеал в ь [х]. Коэффициенты при старших степенях переменных х в многочленах из идеала 1! вместе с нулем составляют некоторый идеал в с, поточу что если а и й — старшие коэффициенты в многочленах а и Ь: а=ах" +..., Ь=рх + ..., то, скажем, при понт а — Ьх" =-(ах" +...) — (йх" + ...) =(а — [)) х" + ... — вновь некоторый многочлен из Я и а — й — старший коэффициент илп нуль. Точно так же, если а — старший коэффициен~ много- члена а, то 1»х — либо старший коэфцшцнент многочлена Ха, либо нуль. 422 ошц~я твогия ндвллов коммэтлтнвных колец ~гл. хч Согласно условно идеал а старших коэффициентов имеет некоторый базис (а„..,, а„); будем считать, что а; — старший коэффициент многочлена а~ =ачх '+...

степени л, и пусть и — наибольшее нз чисел пь Включим многочлены а, в конструируемый базис идеала Л. Посмотрим, какие еще многочлены необходимо включить в этот базис. Если (=пхм+ — произвольный многочлен из 21 степени Угьл, то элемент а должен принадлежать идеалу а: а= ~ )чань Построим многочлен ), =)' — ~Ч , '(1чх "~) аь Коэффициент при хм в этом многочлене равен а — ,'~~~ Х;а; = О. Таким образом, многочлен 1, имеет степень, меньшую У. Следовательно, 1 можно заменить по модулю (а„..., а,) многочленом меньшей степени.

Мы можем таким путем понижать степень, пока она пе станет меньше л. Поэтому достаточно ограничиться много- членами степеней, меньших и. Коэффициенты при х"' в многочленах степени =:-п — 1 из 6, объединенные с нулем, составляют некозорый идеал а„э; пусть (а„,, ..., а,) — базис этого идеала, и а„, — старший коэффициент многочлена а,; =-а,ох" '+ ... Включим теперь в базис и многочлены а„„..., а,. Тогда любой многочлен степени:=-: п — 1 можно замени~ь по модулю (а„„..., а,) мпогочлепом степени ---.и — 2; для этого, как н раныпе, нужно из данного многочлена вычесть подходящую линейную комбинацию ~ Х,на„н Продолжим намеченную конструкцию.

Коэффициенты при х" ' в многочленах степени --и — 2 вместе с нулем составляют идеал а„м базисные элементы и,,,» ..., и, которого соответствуют многочленам аг и ..., ао Эти многочлены мы также включим в базис. В конце концов придем к идеалу нм состоящему из констант, 423 нятвговы кольцл 5 ни лежащих в Я; базис этого идеала (а а, ..., а ) приводит к много- членам аг„м ..., а . Таким образом, каждый многочлен из 'Л приводится к нулю по модулю (ао ..., а„, а,„„..., а„, ..., а.„, ..., а ).

Следовательно, многочлены а„..., а составляют базис в Я, чем и завершается доказательство теоремы о базисе. Из этой теоремы с помощью и-кратного повторения сразу получается обобщение: Если теорема о базисе имеет л«есто в кольце о с единицей, то она справедлива и в кольце многочленов е[х„..., х„] от конечного множества переменных х„... „х„. Наиболее важные частные случаи: кольцо целочисленных много- членов г. [х„..., х„] и любое кольцо многочленов К[хи ..., х„] с коэффициентами в поле К. Все эти кольца нетеровы. Гильберт высказал свою теорему только для этих случаев, но в более общей, на первый взгляд, формулировке: В любом подмножестве йт) кольца ю (не только в любом идеале) существует такой конечный набор элементов т„..., т„что любой элемент т из Я представляется в виде Х,т, + ...

+ ).,т, (Х, ~ с). Эта теорема является, однако, непосредственным следствием теоремы о базисе для идеалов. В самом деле, если Л вЂ” идеал, порожденный множеством йт), то 6 обладает базисом: М=(ац ..., а,). Каждый элемент а, (как элемент идеала, порожденного множеством э))) выражается через конечный набор элементов из УВ а, = 'У',)ч«тм Следовательно, все элементы из 2) линейно зависят от конечного набора элементов тм, в частности, это относится и к элементам нз Ж Более важным является то обстоятельство, что теорема о базисе эквивалентна следующей «теореме о цепях делителейгс Теорема о цепях делителей. Первая формулировка. Если а„а„а, ...— цепочка идеалов кольца е и ц,— собственный делитель идеала вй а, с: вг и то цепь обрывается после конечного числа членов.

Иначе говоря, имеет место Теорема о цепях делителей, Вторая формули ров к а. Если а„ам а„...— бесконечная цепь делителей: 424 овпгхя твогпя пдвллов коггчутлтггвггых колгп ггл хгг то, на'янаи с некотороео и, все гг догжны бьппь риены: 'гя ггя-1 То„что теорема о цепях делигелей следует из теоремы о базисе, можно установить так: Пусть а„а„а„...— бесконечная цепь и г, с=' а,, Обьедннение г всех идеалов а, является некоторым идеалом, нагому что если а и Ь лежат в э и, скажем, а принадлежит а„, а Ь принадлежит а„, то а и Ь лежат в гк, где М вЂ” наибольшее нз чисел п и т; следовательно, а — Ь лежит в як, а погому и в в. Если же а — произвольный элемент из э, взятый, например, из а„, то )а лежит в а„, а потому и в в.

Согласно условию идеал э имеет конечный базис (а„..., а,). Каждый нз элементов а; лежит в некотором идеале г,, Если и — наибольшее из чисел иь то все гг,, ..., а, лежат в одном идеале а„. Так как элементы из гг линейно выражаюгся через а„..., а„то все элементы пз э лежат в а„, а отсюда следует, что гг я гг и г — 'г л 2 Наоборот, теорема о базисе следует нз теоремы о цепях делителей. Действительно, пусть а — идеал и а, — произвольный элемент из а. Если а, не порождает весь идеал, то в а существуют элементы, не принадлежагцие (а,); пусть а,— один из этих элементов.

Тогда (аг) с: (а„аг). Если а, н а, все еще пе порождают весь идеал гг, то точно так же отыскивается третий элемент а, е= еь не принадлежащий (ао аг), и т. д. Получается цепь делителей (а,) с (а„ае) с (а„а„а,) с ... Но она обрывается после конечного числа (скажем, после «) шагов: (а„а.„..,, а,) = а. Следовательно, идел а имеет конечный базис, Еслп теорема о целях делителей илгеет,ггесто в кольце е, гио она справедлпва и в любом факторкольце с1гг. Доказательство. Любой идеал Ь в г1дг является некоторым множеством классов вычетов, Если составить обьединение этих классов вычетов, то получится некоторый идеал Ь в в, Наоборот, идеал Ь однозначно определяет идеал Ь: ( =!Ьг.

Любая цепь идеалов Ь, с (г с (ггс . в кольце едг задает таким Сггс<абам НЕКОгОРУЮ ЦЕПЬ ИДСаЛОВ Ьг ' 14 С гв С ... В КОЛЬЦЕ С, 425 пгои>В!'дгиия и 'гхстиые идеАлОВ 4 иб! а так как последняя обрывается на одной из своих компонент, то первая цепь также конечна. Тем самым доказано сформулированное в начале этого параграфа утверждение о том, что если теорема о базисе выполняется в кольце ь, то она выполняется и в кольце В1>г. Теорема о цепях делителей имеет еще две формулировки, удобные для приложений: Теорема о цепях делителей.

Третья формуяиров к а; условие макс и мал ь пост и. Если в кольце ь инееп! место теорема о цепях делипгелей, то в л>обол! непустом л!но>нес>пве идеалов сущеспь ует л!аксилшгьный идеал, гп. е. такой идеал, >гоп!о!>ьгй не содер.>>нинся ни в одном другом идеале данного мно- ЖСС>71ВП, Док а за! ел ьство. Фиксируем в каждом непустом множестве идеалов какой-нибудь идеал. Если бы в некотором множестве Эд( не было максимального идеала, то любой из идеалов этого множества содержался бы в одном из других идеалов этого же множества. Возьмем в ЭМ фиксированный в нем с самого начала идеал а„затем в множесгве тех идеалов из а!1, которые содержат а, и пе совпадают с а„возьмем фиксированный для этого множества идеал а, и т.

д. В резульаате получится бесконечная цепь а, с а! саас что, согласно условию, невозможно. Теорема о цспях делителей. Четвертая формул н р о в к а; п р и н и и п и н д у к ц и и п о д е и и т е л я м. Если в кольце а ил!ест чесли! >пеорема о цепях делшпелей и можно доказать нолич!!е иекотороео свойспгвп Е у каждоео идеала а (в частности, у един!>ч>и>ео идеала) в предположении, чпго вт!> верно для всех собс>>!венных дел ипе.гей идеала а, то свойством Е обладает каждьги идеал данноео кольца. До к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что некоторый идеал не обладает свойством Е. Тогда, в соответсгвии с третьей формулировкой теоремы о цепях делителей, существует максимальный идеал а, не обладающий свойством Е. В силу максимальности все собственные делители идеала а должны обладать свойстволг Е, а потому им должен обладать и идеал а.

Получили прот,!воречие. й 116. Произведения и частные идеалов Как и в й 16, под наибольшим общим делителем (НОД) или суммой идеалов а, 1, ... мы подразумеваем идеал (а, 5, ...), порожденный объединением (в теоретико-множественном смысле) идеалов а, 1, ...; точно так же под наименьишм общим крапгным (НОК) 426 Овшля тсОРпя идеалов кОммутлтивиых колец сгл хч этих идеалов мы подразумеваем пересечение (а, Ь, ...) = а П Ь П... Обозначение, используемое для суммы идеалов, сохраняется н для идеала, порожденного несколькими идеалами и несколькими элементами; например, (а, Ь) =(а, (Ь)).

Само собой разумеется, что (а, Ь) =(Ь, а), ((а, Ь), с) =-(а, (Ь, с)) = = (а, Ь, с) и т. д. Далее, Иа„а«,,), (Ь„Ь„...)) =(а„а„..., Ь„Ь„...) или, словами: базис наибольшего общего делителя получается обвединением базисов отдельных идеалов. Если элементы одного идеала а перемножить с элементами другого идеала Ь, то произведения аЬ в об.цем случае не составят идеала.

Идеал, порожденный этими произведениями аЬ, называется произведением идеалов а, Ь и обозначается через а ( или !!Ь. Он состоит пз всевозможных сумм 2,' асЬ1 (а! ен а, Ь! ~ Ь). Очевидно, что а.Ь=Ь а, (а Ь).с= а. (Ь с); следовательно, с произведениями идеалов можно обращаться так же, как с обычными произведениями чисел. В частности, имеет смысл говорить о степени а' идеала а; она определяется так: а! — а. аР" = а аР.

Если а=(а„..., а„) и Ь=(Ь„..., Ь ), то, очевидно, произведение а( порождается произведениях!и а;Ь„. Таким образом, мы получаем некоторый базис произведения, умножая все базисные элементы одного идеала-сомножителя на все базисные элементы другого идеала. сомножителя. В частности, для главных идеалов имеет место равенство (а) (Ь) =(аЬ). Таким образом, для элементов кольца ь произведение, которое только что было определено, совпадает с обычным произведением. Произведение а (Ь) произвольного идеала и главного идеала состоит из всех произведений аЬ, где а пробегает множество элементов из а. В этом случае пишут просто ай или Ьа. Следующее правило — «закон дистрибутивности для идеаловхс а .(Ь, с) = (а .

Ь, а с). Вот его доказательство. Произведение а (Ь, с) порождается произведениями а (Ь +с), которые в силу равенства а(Ь+с) =аЬ+ас, 427 пРОизВедения и чАстные идеАлОВ 41м] а Ь~ц а Ь<=Ь. а Ь : — [а, Ь), и точно так же Отсюда следует, что или: произведение делится на наименьшее общее кратное.

В кольце целых чисел произведение наименьшего общего кратного н наибольшего общего делителя двух идеалов ц и Ь равно произведению а1. Это справедливо не в любом кольце. Однако в общем случае имеет место соотношение: [аП Ь1 (а, Ь): — аЬ. (2) Доказательство. [а П Ь) (а, Ь) = ([а П Ь) а, [а П Ь) Ь) с: — (Ь ц, а . Ь) = а .

Характеристики

Список файлов книги