Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Эти соотношения характеризуют алгебру кватернионов. Следовапгельно, алгебра квапгернионов — единственная некоммугпативная алгебра с делениелг над полем вещеспгвенных чисел. Точно так же доказывается, что любая центральная алгебра с делением индекса 2 над полем Я рациональных чисел является алгеброй обобщенных кватернионов. 4. Описание всех конечных пгел (тел с конечным числом элементов).
Если К вЂ” произвольное конечное тело, Š— его центр, а гп— его индекс над 7, то каждый элемент из К обязательно содержится в каком-либо подполе Х степени пг над Е. Однако все 410 ТЕОРИЯ ПРЕДСТЛИЛЕНИП ГРУПП И ЛЛГЕВР 1гл хш коммутатпвные расширения пг-й степени Х поля Галуа 7, состоящие из р' элементов, попарно эквивалентны (действителыго, они получаются присоединением всех корней уравнения хэ =х, а- — -р""). Следовательно, все эти поля получаются трансформированием с помощью элементов из К из одного произвольно взятого среди них поля Хе: ~ = к~ах Если удалить из тела К пуль, то Н превратится в некоторую группу Ж, Х,— в ее подгруппу 45, Х вЂ” в сопряженную подгруппу х,!Ьх-' и эти сопряженные подгруппы все вместе будут составлять всю группу бзд !Потому что каждый элемент из К содержится в одном из полей Х).
Докажем следующую теоретико-групповую лемму: Лемма. Собственная подгруппа $ конечной группы Ю не может вместе со всеми своими сопряженными подгруппами эатэ ' составлять всю группу 9. Доказательство. Пусть и и У вЂ” порядки $ и Сз! соответственно, и пусть 1 — индекс подгруппы $, так что У=! и. Если э и э' принадлежат одному и тому же смежному классу вф, т. е. э'=в)Т, то э'Ф' г=э69)т тэ-1=э!Тв 1 Следовательно, различных подгрупп эфэ ' существует не больше, чем есть смежных классов, т. е.
не больше !Ь Если бы различные подгруппы эфэ ' (к числу которых относится и сама группа ф) составляли всю группу С), то у них не было бы общих элементов, потому что иначе нельзя было бы получить все У =-).и элементов группы Ф'. Но так как любые две подгруппы эайэ ' обладают общим элементом †единиц, то они должны совпадать. Отсюда ф =Оз, и мы получили противоречие. Для нашего случая из этой леммы следует, что ф не может быть собственной подгруппой в (9 и, таким образом, а=Се) и Н=-Хе. Следовательно, тело К коммутативно. Мы доказали теорему: Любое тело с конечным числом элементов коммуптативно, т.
е. ЯВЛЯЕПГСЯ ПОЛЕМ. Другое доказательство атой теоремы, принадлежащее Веддерберну, см. в работе: В ит т (%1!! Е). — ЛЬЬ. Ыа!Ь. Вещ. Нащьпга, !931, а, 3. 413. ф 113. Поля разложения простых алгебр Любая простая алгебра 'Л может рассматриваться как полное матричное кольцо над некоторой алгеброй с делением К: 31 = К,. Согласно 3 103 поля разложения тела К являются в то же время полями разложения н для )1, и наоборот, Поэтому при 4!! А ИЗ! пОля РАзлОжения пРОстых АлгеБР изучении полей разложения можно ограничиться лишь полями разложения тел К.
Далее, центр тела К можно рассматривать как основное поле Р; тогда К вЂ” центральная алгебра над Р. Согласно ч 1!2 максимальные подпола в К являются полями разложения для К. Следовательно, существует поле разложения Е конечной степени над Р. Мы ограничимся поэтому рассмотрением лишь конечных расширений г' основного поля Р. Согласно й 112 каждое такое поле г. непрнводимым образом погружается в алгебру К„.
Поэтому можно рассматривать г. как неприводимую систему матриц из К,. Если г. — поле разложения алгебры К, то это означает, что Е х К' является полным матричным кольцом над Х: г'.<К'=Еь так что Л вЂ” -Е. Инверсное кольцо Л' в таком случае тоже равно Е. Счедовательно, централизатор поля г. равен г'., т. е. любой элемент из К„перестановочный со всеми элементами из Х, принадлежит самому полю Х.
Отсюда следует, что Š— максимальное подполе (даже максимальное коммутатнвное подкольцо) в К,. Обратно, пусть Š— максимальное подполе матричного кольца К,. Если бы система г, была приводимой, то согласно (4) из й 112 матрицы А системы Е можно было бы получить из частей А,. Эгн части образуют некоторую систему 2:и изоморфную системе 2:, которая тоже максимачьна как подполе в К,, Следовательно, без ограничения общносчи мы можем рассматривать г, как неприводимую систему. Централизатор Л' поля г' является телом, элементы о которого перестановочны со всеми элементами из г,. Если бы один из таких элементов в не содержался в Х, то расширение Е(0) собственным образом содержало бы поле Е, а это противоречит максимальности поля К,. Следовательно, должно иметь место равенство Л'=г„Но тогда Л=Е, т.
е. г. — поле разложения алгебры К. Тем самым мы получили следующее описание полей разложения; Каждое миксимальное подполе полного матричного кольца К, являе>лся полем разложения тела К; обратно, каждое поле разложения можно представить как максимальное подполе в алгебре К, (даже неприводимым образом) . В случае непрнводимого вложения поля г".
в алгебру К„согласно (3) З 1!2, имеет место соотношение между рангами: (Е: Р) =!г, Здесь ! является степенью абсолютно неприводимого представлення тела Н над полем Х, т. е. число ! равно индексу т тела К. 4!2 ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР гГЛ. Хгч Следовательно, (Л1Р) =-тг. Отсюда получается; степень поля разложения Х алгебры К делится на индекс т тела К. Максимальное подполе в К является полем разложения наименьшей возможной стеггени т. В заключение мы докажем следующую теорему: Любая 14ентральная алгебра с делением К над полем Р обладает по крайней мере одни.и сепарабельным полем разложения.
Для доказательства потребуется Лемма. Любая ристрочная матрииа А над полем хараюперистики р, удовлетворяющая уравнению вида АР' = Е~ (Š— единичная матрица), (1) имеет характеристический многочлен (см. з 89) вида у (х) = хе — Р и, следовательно, если рг) 1, то след такой магпргщы равен нулю. Доказательство леммы. 1'1ы можем присоединить к основному полю корни р"-й степени нз элемента ь и считать, что ь=г!Р. Если матрицу А рассматривать как матрицу линейного преобразования некоторого векторного пространства, то для каждого вектора о будут выполнены соотношения О =(АР' — ~) о =(АР" — 11Р") о =(А 41)Р'о Элементарные делители Г,(х) матрицы А согласно их определению 8 88) являются делителями многочлена (х — т!)Р', т.
е. степенями двучлсна (х — г!). В свою очередь характеристический многочлен у (х) является произведением элементарных делителей и поэтому обязательно равен некоторой степени двучлена (х — т!). Но так как у(х) — многочлен степени рг, выполняются равенства !! (х) = (х — т1) Р = хе — тгР = х' Локазательство сушествования сепарабел ьного поля разложения. Пусть Š— максимальное сепарабельное подполе в К и сг' — централизатор поля Л в К.
Согласно с!рук!урной теореме из 9 112 произведение ЕХК' изоморфно полному матричному кольцу сго где сг инверсно изоморфно по отношению к Л'. Центр алгебры Е х К' равен с.х Р = 2, так как Р— центр тела К'. Следовательно, и центр алгебры сг, равен Е. Но центр полного матричного кольца Л равен центру алгебры Л, так что центр алгебры гг' равен 2. Если теперь ч — произвольный элемент из Л, не принадлежащий центру Е, то поле с.(ь) несепарабельно: оно имеет редуцированную степень 1, так как иначе Е(в) содержало бы некоторое 4 114! ГРУППА БРАУЭРА СИСТЕМЫ ФАКТОРОВ сепарабельное подполе, содержащее цензр 2. Элемент 8 удовлет- воряет, следовательно, неразложимому уравнению вида (2) 8" =~, ~ е- =Е.
То же самое верно (при р'=1) и тогда, когда 8 принадлежит сакиому центру е.. Если Х вЂ” максимальное подполе в Л', то его редуцированная степень над е. как иад основным полем равна 1, т. е. его степень как расширения равна р.'. Поле Х является полем разложения для Л', т.
е. Л' х Х вЂ” полное матричное кольцо над Х порядка рл В этом матричном представлении все элементы из Л' имеют согласно лемме нулевой след, если р! ) 1. Объясняется это так: из (2) следует, что если А — матрица, представляющая элемент 8, то имеет место матричное равенство (1); все матрицы из Л'хХ являются линейными комбинациями матриц из Л' с коэффициентами из Х вЂ” основного поля матричного кольца; следовательно, все эти матрицы имеют нулевой след при рг) 1; противоречие теперь состоит в том, что сказанное относится к полному матричному кольцу.
Следовательно, рт =-1, 2 = Х вЂ” единственная оставшаяся возможность. Центр Е является теперь максимальным подполем в К, а потому полем разложения. 5 114. Группа Брауэра. Системы факторов Распределим центральные простые алгебры иад фиксированным основным полем Р на классы так, чтобы к одному классу [К] относились все те алгебры, которые изоморфны полным матричным кольцам над одним и тем же телом К. Если К и Л вЂ” тела над Р, то Кхл — вновь центральная и простая алгебра (8 103) и, следовательно, КхЛ=Л, (1) Из (1) следует, что К,хЛ,=Кх Р.хЛхР,=Л,хР„=ЛхР хР„=ЛхР„,=Л„,; тем самым произведения К,хл, алгебр из классов (Н] и [Л] принадлежат одному и тому же клсссу [Л].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
