Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Во втором же случае Н=с!„)=-(0) и, так как нет нильпотентйых идеалов, отличных от (0), получается равенство (=(0). Минимальные левые идеалы с1 и е)В пря и " () не являются операторно изоморфными. Действительно, в силу (5) при а ) () выполняются соотношения оав(В = оасодАВ ~ оавАР = (0) следовательно, для любого а' из е!р имеем Ваа' = О.
Если бы было с1„— с(р, то для каждого а нз е1 было бы 5аа= О; однако для а=(а=яаАа это не так, потому что Яагда=)аЯаАа т-О. Каждому левому идеалу с(а соответствует некоторое неприводнмое представление ха, а согласно сдсланйым выше замечаниям, ьти представления при различных а неэквнвалентны. Число тах отыскиваемых представлений та равно числу решений задачи (1). Одновременно это число равно н числу классов сопряженных подстановок, потому что каждый такой класс состоит из всех элементов, распадающихся на циклы длины и,, аг, ..., аь, а все этн длины можно упорядочить в соответствии с условием (!).
Так как число в се х неэквивалентных неприводимых представлений задается числом классов сопряжевных подстановок, то этим показано, что ярвдставлениями та шъерпываются всв неприводпмыв представ. ввиия пгмметричесхих врнггп Е Введеняые выше левые ндсалы о! определены над рациональными чис- ЛамИ. Отсюда следует рациональность неприводимьгх представлений (как и характеров). $ 111. Полугруппы линейных преобразований Пусть дано основное поле Р; мы рассмотрим множество линейных преобразований, матричные элементы которых принадлежат полю Р или его расширению Л.
Такое множество называется полугруппой, если вместе с любыми двумя своими преобразованиями оно содержит и их произведение. Линейная оболочкп произвольной системы преобразований над Р состоит из всех линейных 402 тГОРия пгелстлвлеггип ГРупп и ллгевР гГЛ хгу комбинаций преобразований этой системы с коэффициентами из Р. В последующем мы будем рассматривать лишь такие системы, которые содержат только конечное число линейно независимых преобразований над Р н, следовательно, линейная оболочка которых имеет конечный ранг над Р.
Линейная оболочка полугруппы при этих условиях является некоторой алгеброй гг! конечного ранга пад Р. Любой элемент такой алгебры--некоторое линейное преобразование. Следовательно, мы имеем над Р некоторую алгебру в совершенно определенном точном представлении Ь. Основной вопрос, интересующий нас в данном случае, таков: как распадаегпся неприводимое представление Ь над расширением Л? Всякий раз мы будем предполагать, что представление Тг не содержит в качестве составляющего нулевое представление. Для данной теории основными являются следующие две теоремы: 1.
Если представление лг вполне приводимо, то алгебра 6 полуироста. 2. Если представление лг неприводимо или распадаегпся на эквивалентные неприводимые составляюгцие, то алгебра Ч проста. Доказательство теоремы 1. Если 01 — радикал алгебры 21, то его элементы в любом неприводимом представлении переходят в нуль. Так как лг †точн представление, радикал Я равен нулю.
Доказательство теоремы 2. Алгебра 21 обязательно полупроста, а потому является прямой суммой простых алгебр: 21= а,+...+а,. Согласно З 105 в любом неприводимом представлении все алгебры г„, кроме какой-то одной подалгебры вт, представляются нулем. Это утверждение остается справедливым и тогда, когда представление складывается с самим собой несколько раз. Если же представление точное, то может существовать лишь одна подалгебра ви т.
е. алгебра 1! проста. Из теоремы 1 немедленно следует одна теорема Бернсайда и ее обобщение, принадлежащее Фробениусу и Шуру; Теорема Бернсайда. В любой абсолютно неприводимой иолугруппе матриц п-го порядка имеется розно и' линейно независимьгх матриц. О бабще н ие. Если иолугруггпа матриц над гголем Л распадается на абсолютно неприводимые части, среди которых есть рооно з неэквивалентных порядков и„..., и, соответсгпвенно, то полугруппа содержит ровно и, '-(- и', +... + и,' линейно независимых матриц над Л.
Дока зательство обобщения. Линейная оболочка данной полугруппы, построенная над Л, является суммой з полных 403 ПОЛУГРУППЫ ЛИНЕЙНЪ|Х ПРЕОБРАЗОВАНИЙ зпи матричных колец порядков п„пз, ..., и, над Л и поэтому имеет ранг и', .-' и„'-|-...+и";. Над полями характеристики нуль справедлива, кроме того, Теорема о следе. Если две полугруппы могут быль переведены друг в друга взаимно однозначно и с сохранением произведения (пли, Голее общо, если обе они являются образами представлений одной и той же абс|прантной полугруппы) и если при этом следы соответствующих матриц равны, |по полугруппы (соответственно представления) эквивалентны. Д о к а з а т с л ь с т в о.
Если соответствующие друг другу матрицы А и В объединить в новую матрицу по схеме то получится некоторая новая вполне приводимая полугруппа Гь линейная оболочка которой является некоторой алгеброй й!. Элементы из '?( являются линейными комбинациями матриц (1) и поэтому точно так же распадаются на две составляющие, каждая из которых задает представление алгебры У(. Следы этих двух представлений являются вполне определенными линейными комбинациями следов исходных матриц А и В и поэтому совпадают.
Следовательно (й 107), оба представления алгебры |?! эквивалентны. Отсюда получается требуемое. Если Л=- Р, то теоремы 1 и 2 согласно З!05 непосредственно обратимы, Но если Л вЂ” собственное расширение поля Р, то можно высказать нечто более глубокое: !а.
Если ?( — полупрост я алгебра и Л вЂ” сепарабельное расширение поля Р, то каждое представление Т| алгебры 2! над Л вполне приводимо. 2а. Если алгебра й( проста и центральна над Р, то каждое представление алгебры 0( над Л распадается на эквивалентные неприводимые части. Доказательство. Согласно з 104 каждое представление алгебры З( над Л связано с некоторым представлением алгебры ?(хЛ. Если алгебра 0! полупроста, а Л сепарабельно над Р, то согласно ~ 103 алгебра ?(хЛ тоже полупроста и поэтому любое представление алгебры л?(хЛ над Л вполне приводимо.
Если т( центральна и проста над Р, то алгебра й(хЛ обязательно проста и, снова согласно % 103, каждое предо~веление алгебры?!хЛ над Л распадается на эквивалентные неприводимые составляющие. Тем салшж| доказаны оба утверждения. Мы называем полугруппу центральной над Р, если ее линейная оболочка центральна, т. е. центр ее линейной оболочки совпадает с Р.
Если принять во внимание утверждения 1 и 2, то !а и 2а можно сформулировать и так: 404 ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР !Гл. хсч ! б. Вполне приводимая полугруппа линейных преобразований, над полем Р остается вполне приводимой при любом сепарабельном расширении основного поля Р. 2б. Центральная неприводимая полугруппа линейных преобразований над Р остается неприводимой или распадается ни эквивалентные неприводимые составляющие при произвольном расширенсси основного поля. Точно так же, как 1б, можно доказать и 1в. Вполне приводимая полугруппа остается вполне приводимой при любом расширении основного поля, если с4ентр соответствующей линейной оболочки является прямой суммой сепарабельных расширений поля Р.
ф 112. Двойные модули и произведения алгебр Уже в й 104 мы отмечали, что любое представление алгебры Я над полем К, содержащим основное поле Р, определяет некоторое представление расширенной алгебры Ск. На языке модулей представлений это означает, что любой модуль, для которого Я вЂ” область левых, а К вЂ” область правых мультипликаторов, является также и левым Як-модулем. Доказать это можно так: если (б=асР+...+а„Р и, следовательно, (бк=асН+...+а„К, то умножение слева элементов и рассматриваемого модуля на элемент из Як задается равенством (а,л, +...
+ а„х„) и == а,их, +... + а„их„; проверка соответствующих аксиом Як-модуля не составляет труда; лишь в доказательстве ассоциативности (Ьс) и = 6 (си) нужна коммутативностьс если, скажем, 6=а,х„с=а,х, (достаточно, очевидно, рассмотреть лишь этот частный случай), то ассоциативность следует из равенств (а,х, а,х,) и = (асосхсхс) и = (а,а,) и (х,х,), а,х, (а,х, и) = а,х, (а,их,) =а, (а,их,) х, (а,а,) и (х,х,).
Оба выражения равны, так как х,х,=х,х,. Однако, и в том случае, когда К вЂ” тело или даже произвольное кольцо, выход пз положения дает конструкция инверсного кольца К', т. е. кольца, инверсно изоморфного кольцу К. Если К вЂ” алгебра над Р, то и К' — алгебра пад Р. Если Н вЂ” тело, то и К' является телом. Имеет место следующее утверждение: Любой модуль, допускающий С в качестве области левых, а К --в качестве области правых мультипликаторов, может рассматриваться и как левый (сюхК')-модуль. ДВОЙНЫЕ МОДУЛИ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ АЛГЕБР 405 $ н21 Доказательство такое же, как и выше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
