Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Далее, по условию модуль И обладает конечным о-базисом (ии ..., и,). Отсюда И = (ои„..., ои,). (2) Подставляя (1) в (2), получим И =(..., 1ри», ...), (3) Из суммы в правой части равенства (3) можно удалить модули 1;и„, равные нулю. Если же (,и» 4= ',0), то сопоставление х хи, определяет операторный изоморфизм из 1, па 1,и». Отличные от нуля модули 1,и» изоморфпы, таким образом, модулю 1ь а потому являются простыми. Если одно из слагаемых 1,и„содержится в сумме остальвых, то его можно удалить.
Продолжать в таком духе можно до тех пор, пока каждый из оставшихся членов 1;и„не будет иметь нулевое пересечение с суммой остальных. В таком случае сумма будет прямой. Разумеется, основная зеорема остается верной и тогда, когда кольцу о и модулю 131 придана область правых мультипликаторов Й со следующими свойствами: (аи) р = а (и(з) = (ар) и (й ее й). В применениях к теории представлений алгебр 11 является полем коэффициентов Р алгебры о и одновременно полем предсзавления. Если И вЂ” векторное пространсзво конечной размерности пад Р, то И автоматически имеет конечный о-базис, что и требуется в основной теореме. зз~ $105~ пондстлвления Алгево Для полупростых алгебр эта теорема утверждает, что каждое представление любой из них вполне приводимо, и чзо составляющие неприводимые представления входят в качестве неприводимых составляющих в регулярное представление. Неприводнмые составляющие регулярного представления в соответствии с (1) связаны с простыми левыми идеалами 1о Любая полупростая алгебра о в соответствии с з 99 является прямой суммой простых алгебр а,: (4) о =а,+ ...
+а,. Алгебры а, можно разлагать в свою очередь на минимальные левые идеалы 1о Входящие в фиксированную алгебру а„идеалы 1, попарно изоморфны, а потому задают одно и то же представление. Идеалы 1ь содержащиеся в алгебре а,, аннулируются каждой из алгебр а„при р.что: М ~ аоа = (0) Поэтому все эти алгебры а„представляются нулем в том представлении, которое соответствует идеалу 1и Лишь алгебра а, будет представляться этим представлением точно. Действительно, ядро представления алгебры а, является двусторонним идеалом в а„ и так как а,— простая алгебра, не вся представляющаяся нулем, ядро может быть только нулевым идеалом.
Мы рассмотрим теперь представление простой алгебры, которое связано с любым простым левым идеалом этой алгебры. Простая алгебра о с единицей согласно З 102 изоморфна полному матричному кольцу над некоторым телом А. Если с,„— введенные в з 93 матричные единицы, которые там обозначались через См, то о = спб+ с~оЛ+ + сллб. Минимальный левый идеал 1 будет задаваться равенством (=спб-(-со,б+... +сюб. Наконец, основное поле Р, над которым определено представление, содержится в центре тела А, и Л имеет конечный ранг над Р.
Рассмотрим сначала случаи б = Р. Базис (ссо см, ..., ст) идеала 1 может служить для явного описания матриц представлел ния. Если а= У', омам — элемен~ кольца о, то со=~ ! асы = ~" смсмим = ~ снам, тем самым в представлении, соответствующем идеалу 1, элементу и солоставллетсл матРт(а (оом'~, Следовательно, изомоРфизм кольца о 382 ТЕОРИЯ ПРЕДСТАЕЛЕИИИ ГРУПП И ЛЛГЕБР !Гл.
хш и полного кольца матриц ) а~ ( — это то самое иеприводимое представление, которое соответствует минимальному левому идеалу Е Примечательно, что в рассматриваемом случае Л = Р представляемые матрицы образуют полное матричное кольцо и-й степени. Это же обстоятельство можно выразить и такими словами: среди представляемых матриц есть ровно и' линейно независимых. Пусть теперь Л вЂ” собственное расширение конечной степени поля Р: Л=)„Р+...
+А,Р. Е этом случае мы прежде всего построим регулярное представление алгебры Л над полем Р, прн котором каждому элементу р из Л сопоставляется матрица В с помощью равенства бЛ, = '5;)ИР„, В =(()о ~~. Затем мы построим идеал (=сиЛ+ ... +сГИЛ= = (сп)ПР+ ... +сп),,Р)+ ... +(с„,Х,Р+ ... +Е„,Х,Р). Если с помощью этого базиса представить элемент с~ф алгебры Р, то получится: ~ о ... о ... о с„() о ... в.„о, ,о... о...о,, где нули представляют г-строчные нуль-матрицы, а матрица В занимает место на пересечении й-го столбца и ьхи строки. Суммируя, получаем отсюда: л Аи ...Аы С~Лаю (5) с А=1 Аи1 ...
Адд ~ где Ам — опять-таки матрицы, соответствующие элементам и~э в регулярном представлении алгебры Л. Из вида неприводимого представления, соо1ветс1вующего модулю (, можно понять, каким образом оио распадается при том или ином расширении основного поля Р до какого-то поля й. При таком расширении тело Л переходит в систему Ли =Лх 2, а левый идеал (=сиЛ+ ...
+с„,Л вЂ” в (а=сиЛЕ+ +с ГЛП Если кольцо Лп приводимо и содержит собственный левый идеал Г, то и (в содержит собсГвенный подидеал 1'=с„Г+ ... +с„,Г. ззз 1 ~ьв1 пРвдстхвления АлгеБР (г =- ~ и'!г,:, (6) далее, степень представления 2, согласно (6) равна (7) Наконец, алгебра в, распадается на и,. эквивалентных левых идеалов 1,, благодаря чему регулярное представление содержит представление х, как п,.-кратную составляющую.
В частности, если все Т, абсолютно неприводнмы, то все гт=1; тем самым (6) и (7) принимают более простой вид: Точно так же: если Лп распадается на левые идеалы Г, то идеал 1а распадается на то же число левых идеалов Г. Следовательно: проводимость или разложение неприводимоео представления кольца ь, соотвегпствуюи(его идеалу 1 при расширении поля Р до поля 1в, полностыю определяется проводимостью или соответственно разложениела алгебры Ла на левые идеалы. Если Лза Р, то согласно ~ 1ОЗ поле 11 всегда можно выбрать так, чтобы алгебра Ла содержала делители нуля и, следовательно, пе являлась телом, а содержала по крайней мере один собственный левый идеал. В таком случае неприводимое представление над полем Р, соответствующее идеалу 1, будет приводимо над нолем 1е.
В случае Л=. Р, наоборот, представление, соответствующее идеалу 1, абсолютно неприводимо, т. е. остается неприводимым при любом расширении основного поля. Тем самым условие Л =Р является необ.тодиглыл~ и достапгочным для абсолютной неприводимотпа представления, задинного нод Р. Если алгсбра е является не простой, а всего лишь полупростой, равной прямой сумме простых алгебр в,+... +а„и 1— какой-нибудь лсвый идеал, скажем, а,, то для описания представления произвольного элемента а из ь, задаваемого идеалом 1, нужно поступить так: сначала записать а в виде суммы а,+ ... ...
+а„затсм из этой суммы извлечь компоненту а, и в соответствии с формулой (6) построить для элемента а,, матрицу. Остальные же компоненты а,, ..., а, „а, „..., а, аннулируют идеал 1 и поэтому представляются нулем. Если в„..., в,— полные матричные кольца порядков и„..., и, соответственно над телами Л„..., Л, и если г,— ранг тела Л„ а ~, — неприводимое представление, соответствующее левому идеалу я„то ранг й алгебры ь равен сумме рангов алгебр в„... ..., а„т. е.
384 теоРня пРедстАвлеиин ГРупп и АлгеБР !ГЛ. Х1У $ 106. Представления центра Центр алгебры г при любом неприводимом представлении должен отображаться на чакке матрицы, которые перестановочны со всеми матрицами представления. Если основное поле алгебраически замкнуто н кольцо представляющих матриц — полное матричное кольцо, то матрицы центра состоят лишь из кратных единичной матрицы Е; следовательно, центр алгебры г в этом случае представляется матрицами вида Есь То же самое верно и для абсолютно непрнводимых представлений, потому что в этом случае можно перейти к алгебранческн замкнутому основному полю, не утрачивая неприводимости. Итак: при любом абсолютно неприводимом представлении илгебры г элементы ее центра предсп|авллются кратныл~и единичной матрицы. Если кольцо г коммутативно, и, следовательно, является своим собственным центром, то все л атрицы абсолютно неприводчмого представления икают вид Е, )..
Из непрнводимости следует, что представления дозж;ы иметь пергую с епень. Итак: абсолютно неприводимые представления комл~утативной алгебры имеют степень !. Любое представление первой степени алгебры г — это гомоморфное отобргжсние нз г в тело представления К. Если К коммутативно, то два эквивалентных представления первой степени просто равны, потому что если А =-)~!сс!! — матрица предсэавлепия и Х вЂ” элемент поля К, то Х '(!П()Х=,~Х-'ПА',) — ---;'(а(!Г Отсюда следует утверждение: число неэквивалентных представлений первой степени коммутативной алгебрьс г в поле К равно числу различных гоэломорсизмов иэ г в К, Вернемся к некоммута~ивным алгебрам и предположим, что алгебра г полупроста.
Тогда она является прямой суммой простых алгебр: г=-а, + ... +а„ и центр Д алгебры г предсэавляется в виде суммы того же числа полей: 3.=3Г+... +;1, (3,— центр в а,). Число неэквивалентных непрнводимых представлений кольца ю н равным образом его центра 3 равно числу э двусторонних компонент в г илн в Д, потому что каждое такое предсэавленис ~~, кольца г определяется некоторым левым идеалом в а„а каждое неприводнмое представление ь,' центра 3 определяется полем Д,. Итак: существует столько же неэквивалентных неприводимых представлений кольца г, сколько неприводимых неэквивалентных представлений центра Д, и каждому неприводимому представлению Ь„ заб ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЦЕНТРА й !аа1 кольца о, при котором все и, ..., п„кроме п„переходят в нуль, лсожно сопоставить представление Щ центра Д, при котором все Д„..., Д„кроме Д„переходят в нуль. В частности, если о — сумма полных матричных колец над Р, то поли Д, илтеют ранг 1 и изоморфны Р; тем самым в дагн!оы случае число з неприводимых представлений кольца с равно рангу центра Д.
Связь между неприводимыми представлениями Ьт кольца о и неприводимыми представлениями (первой степени) центра Д в рассматриваемом случае совершенно проста. Именно, предста. вление хт переводит каждый элемент центра г в матрицу вида Есс, где Š— единичная матрица п,-го порядка. Каждому элементу г таким образом сопоставляется (при фиксированном т) некоторь!й элемент а, и можно записать: а =-6т(г). Функция О, определяет гомоморфизм центра, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
