Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Левый или правый идеал, элементы которого звездно регулярны, назглвается звездно регулярным. Согласно доказанному выше, левь|й идеал является звездно регулярным, если все его элементы звездно регулярны слева. Точно так же правый идеал звездно регулярен, если все его элементы звездно регулярны справа. Т е о р е м а 5.
Радикал Я является звездно регулярным левым идеалом, содержащим все звездно регулярные левые идеалы. Доказательство. Пусть г — элемент идеала Я. Мы хотим показать, что г обладает левым звездно обратным. Построим множество всех элементов в котором х пробегает кольцо о. Это множество является модулярным левым идеалом, для которого г играет ту роль, которую раньше играл элемент с.
Если это1 левый идеал содержит г, то существует элемент х со свойством г=хг — х. Отсюда следует, что х. г=О, т. е. х — левый звездно обратный для г, Если модулярный левый идеал не содержит элемента г, то он не равен о и в силу теоремы 3 принадлежит некоторому модулярному максимальному левому идеалу 2 ~ о. Элемент г лежит в Я, а Я является пересечением всех модулярных максимальных левых идеалов; поэтому г лежит в е.
Но тогда все элементы х = хг — (хг — х) лежат в 2, т. е. 2 совпадает с в, в то время как должно выполняться противоположное соотношение: с ~ с. Следовательно, каждый элемент г идеала Я обладает левым звездно обратным, т. е. Я вЂ” звездно регулярный левый идеал. Пусть теперь 1 — произвольный звездно регулярный левый идеал.
Мы хотим показать, что 1 содержится в каждом модулярном максимальном левом идеале т, т. е. принадлежит Я. Если бы < не лежал в идеале т, то сумма идеалов (~, !) совпадала бы со всем кольцом э; (~1 !) э кОльцА с УСлОВием мииимАльнОсти » 88] Так как идеал 8 модулярен, су]цествует элемент с со следующим свойством: ас = а (8) для всех а ~ о. (2) В силу (1) этот элемент с должен представляться суммой у+г, в которой у принадлежит ~.', а г принадлежит 1.
Отсюда: с=гф). (3) Так как элемент г лежит в идеале 1, то он обладает звездно обратным г'. г+г' — г'г=О. (4) Из (3) и (4) следует, что с+ г' — г'с = О (".), а потому в силу (2) с=О(8), что невозможно. Из теоремы 5 очень легко следует равенство «правого» и «левого» радикалов. Действительно, определим правый радикал Я' как пересечение всех модулярных максимальных правых идеалов; тогда Я' — звездно регулярный двусторонний идеал, а потому в силу теоремы 5 Он содержится в Я.
Точно так же Я содержится в Я' и, следовательно, Я =Я'. Тем самым, радикал Я можно определить любым из следующих способов: как пересечение всех модулярных максимальных левых нли правых идеалов, а также как объединение всех звездно регулярных левых или правых идеалов. Левый нли правый идеал называется нильидеалом, если все его элементы нильпотентны. Из теоремы 4 непосредственно следует, что каждый нильндеал звездно регулярен. Поэтому нз теоремы 5 получается Т е о р е м а 6. Все нильидеплы содержатся в радикале. В частности, все нильпотентные идеалы содержатся в Я.
Их объединение является малым радикалом Я. Следовательно, имеет место Теорема 7. ]Чала]й радикал Я содержится в болыиом радикале Я. Зада ч а ]. Ни левый, ни правый единичные элементы кольца» не могут быть звездно регулярными и потому ни один из ник не содержится в радикале рь $98. Кольца с условием минимальности Начиная с этого места, будем предполагать, что в кольце о выполнено условие минимальности для левых идеалов. При этом предположении мы прежде всего докажем следующую теорему: Теорема 8, Радикал Я нильпотентен. ллгввгы ~гл х~и Доказательство.
В последовательности степеней И существует минимальный идеал Я'. Так как Я'" содержится в Я", имеет место равенство яы ял Я" =С, — равенство Вг=Я. Покажем, что рассмотрим множество всех левых идеа- или, если положить (о = (0). Если (д Ф (0), то лов 3 со свойствами: 3': — (о; (о3 ~= (0). (1) (2) Это множество непусто, потому что в него входит левый идеал Ю.
Следовательно, существует минимальный идеал 3 со свойствами (1) и (2); в силу (2) существует такой элемент Ь из 3, что (сЬ 4=10). Левый идеал ВЬ лежит в 3„и обладает свойствами (1) и (2); следовательно, ЯЬ=-3 . Поэтому в Ж существует такой элемент г, что гЬ = Ь. Так как г принадлежит Я, то в силу теоремы 5 он обладает левым звездно обратным г'. г + г' — г'г = О.
Умножим это равенство справа на Ь; тогда получится, что Ь = — О, а это противоречит предположению ЯЬ ~ (0). Тем самым доказано, что С = (О), а позому и И" = (0). Малый радикал И содержит все нильпотентные двусторонние идеалы; поэтому И = Я. В силу теоремы 7 имеет место обратное включение: Ж я И. Поэтому справедлива Теорема 9. Малый радикал И равен больиюму радикалу Я.
Так как в силу теоремы 6 все нильидеалы содержатся в Я, имеет место Теорема 10, Все нильидеалы нильпотентны, Согласно теореме 2 кольцо классов вычетов о1И полупросто. Если в ь выполняется условие минимальности для левых идеалов, то, конечно, оно выполняется и в ь1И. Рассмотрим теперь в общем виде вопрос о строении полупростых колец с условием минимальности для левых или правых идеалов.
Теорема 11. Каждое полупростое кольцо ь с уловием минимальности для левых идеалов является прямой суммой простых левых идеалов 1о Доказательство. Радикал кольца ь, т. е. его нулевой идеал, есть, но определению, пересечение модулярных максимальных левых идеалов 2. Покажем сначала, что нулевой идеал является пересечением даже конечного числа упомянутых идеалов 9. Рассмотрим множество всех пересечений конечных множеств модулярных максимальных левых идеалов 2. В этом множестве 359 кОльцА с условиям минимАльности существует минимальный идеал 1=9,П." Пу. Если бы было 1Ф (О',, то существовал бы идеал 9 „, пересе. чение которого с 1 было бы подмножеством в 1.
Но это противоречит свойству минил1альиости идеала 1. Следовательно, 1=(0) и (О) =21() ... Д2„,, (4) Если в этом представлении в виде пересечения участвует какой-либо идеал рь содержащий пересечение остальных идеалов, то его можно удалить из записи (4). Удалим из (4) все такие лишние идеалы 2Ь в результате чего останется несократимое представление (О) =-21П ...
П 11„, (5) в котором ни один из идеалов 91 не содержит пересечение 1; остальных идеалов. Сумма (111, 1,) является в таком случае идеалом, собственно содержащим идеал у„а так как 11 максимален, то она равна ьи (6) (21, 11) = ш Равенства (5) и (6) утверждают, что идеал (О) является прямылю пересечением максимальных идеалов 91. В силу 9 92 отсюда следует, что г — прямая сумма левых идеалов 1,: е = 11 +... + 1„. (7) В соответствии с 9 92 для каждого 1 имеет место операторный изоморфизм 11 = с72ь (8) а так как модуль классов вычетов е191 прост, то идеалы 1, являются простыми. Тем самым все доказано. Согласно (7) каждый элемент а кольца э представляется единственным образом в виде суммы а=а,+...+а„(а, ен1).
(9) В равенстве (9) можно выделить одно слагаемое а, и вместо (9) написать а=а;+Ь, (а, ~ 1ь Ь1 ен 91). (10) Элемент а, называется 1гкомпонентой элемента а. Отображение а а, является операторным гомоморфизмом, ядро которого равно в точности 21. Два элемента а и а' тогда и только тогда сравнимы по вод "ь когда совпадают их 1„компоненты. Элемент кольца с со свойствами с'= с называется идемпо. тентным. Теорема 12. В обозначениях и при предположениях теоремы 11 вьтолняются следующие утверждения: АЛГЕБРЫ ~ГЛ.
ХШ Б. Элементы е~ аннулируюгп друг друга: е;е„= 0 для 1 =,А. Уг. (11) В. 1аколтонента а~ произвольного элемента а получается умножением элемента а на е,: (12) а, =аеь е=е,+...+е„ Г. Сумма (18) является единицей кольна ь. Доказательство. Так как идеал ствует элемент с; кольца ь со свойством ас,=а(11г) для всех 9, модулярен, суще- (14) Разложим теперь элементы с, в соответствии с (10): с~ =е;+1ь (15) Отсюда для ас, получается разложение: ас, = ае, + а7ь (16) Из сравнения (14) следует, что ас, и а имеют одни и те же 1пкомпоненты.
Согласно (16) это означает, что (17) Тем самым доказано (12). Если а пробегает кольцо ь, то а, пробегает весь идеал 1ь поэтому (,=сеь (18) Положим в (17) а=е,; тогда получится, что е, =е';. Положим в (17) а=в„; получим О=е,е; (/г~1). Тем самым доказаны утверждения А, Б и В. Если в обозначениях (!3) положить е=е,+...+е„, (19) (20) (21) то в силу (17) получится равенство ае=ае,+...+ае„=а,+...+а„=-а, (22) т. е. е — правая единица кольца о.
Таким образом, остается доказа1ь, что е является и левой единицей. А. Каждый идеал 1; порождается некоторым идемпоигентньгм элементом е,: 1, =Ген е) =-е,. за! кольцл с головням минимлльности Элементы а — еа образуют правый идеал т. Для произвольного Ь имеет место равенство Ье =- Ь, поэтому Ь (а — еа) = Ьа — Ьеа = Ьа — Ьа = О. В частности, (а — еа)' = О.
Таким образом, г — нильидеал и в силу теоремы 6 он содержится в радикале, а потому равен нулю. Тем самым для всех элементов а имеет место равенство а — еа =О, т. е. е — левая единица. Кольцо, являющееся вполне приводимым как левый модуль, т. е. представимое прямой суммой простых левых идеалов, называется вполне приводим!ям слева. Теоремы 11 и 12 мы можем теперь объединить в следующей формулировке; Любое полупростое кольцо с условием льипимальности для левых идеи гов является вполне приводимым слева и обладает единицей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
