Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Говоря коротко, алгебра 71ж является алгеброй с теми же базисными элементами, что и 21, но с кольцом коэффициентов 6. Очевидно, имеет место изоморфизм '71; 6:--бху(, и поэтому тензорное произведение 6 не зависит от выбора базиса в 'М. Согласно (3) модуль 6 = 2( х 6 Важно построить и тогда, когда 41 — произвольное конечномерное векторное пространство, а 6 — произвольный Р-модуль.
Точно так же модуль 6 можно построить с помощью (5), когда а — произвольный Р-модуль, а 6 в произвольное конечномерное векторное пространство. Тензорное проиведение '2! х6 модулей !З( и 6 можно определить и без использования базисов. Это инвариантное определение имеет смысл даже тогда, когда Р— коммутативное кольцо с единицей, а 21 и 6 — произвольные Р-модули, на которых единичный элемент нз Р действует как единичный оператор. Поскольку нам здесь потребуется лишь случай, когда Р— поле, а 21 или 6 — конечномерное векторное пространство, ограничимся данным в начале определением, а по поводу общего случая отошлем читателя к книге: Б у р6 а к и Н.
Алгебра. — Мл Физматгиз, 19б2, гл. И1. Тем же способом можно строить тензорные произведения из трех и большего числа векторных пространств: 71 х 6 х 6 = ( !1 х 6) х 6 = 71 х (6 х 6). (6) 342 АЛГЕБРЫ [гл. хгп определяемый тем, что и~ил отображается на о„и» затем это отображение продолжается по линейности на суммы (!). Интересные соотношения между произведениями выполняются для полных матричных колец. Символ 9!, будет обозначать кольцо всех матриц г-го порядка с коэффициентаь4и нз кольца 7!. Тогда У! х Р„~ й(„ (8) Р,хР.=Р„.
(9) Для доказательства изоморфизма (8) нужно лишь заметить, что определенные в З 93 матрицы См образуют базис в Р„. Чтобы осуществить требуемое отображение алгебры Р!хР„, нужно в качестве базисных взять те же самые элементы, но в качестве области коэффициентов кольцо 7!.
Тогда получится в точности алгебра 6,. Изоморфизм (9) получается так. Алгебра Р, порождается базисными элементамн С)ы а алгебра Р, порождается зе базнсными элементами Сн4, поэтому Р,хР, порождается гэе' произведениями Сия ы = СмС;» удовлетворяющими правилами: О, если й~т или (~п, ( Сц ре, если lг=ш и (=п, Если множество, состоящее нз гз пар Ц, занумеровать индексами 1, пробегающими значения от ! до гз, то получится соотношение С ) О К~).
-'-=(... „.„,=, откуда и усматривается нужный изоморфнзм с Р„,. 3. Скрещенные произведения. Пусть Х вЂ” сепарабельиое нормальное конечное расширение поля Р. Группа Галуа б) расширения Х (З 57) состоит из автоморфизмов 5~ поля Х, оставляющих неподвижными все элементы поля Р. Мы не предполагаем здесь известной теорию Галуа, а лишь содержание 9 57 и, в частности, тот факт, что порядок группы Я равен степени расширения п=(Х: Р). Символом рз обозначим элемент, получающийся из элемента () поля Х применением автоморфизма 5.
Произведение автоморфизмов 5 и Т (сначала 5, а потом Т) на этот раз будет обозначаться через 5Т и, таким образом, иизт (иРз)т Введенное Э. Истер скрещенное произведение поля Х с его группой Галуа О) определяется следующим образом: сначала 343 ПРО?ОВЕДЬНИЯ И СКРЕЩБ??ИЬГЕ ПРОИЗВВДЕ??ИЯ строится векторное пространство ?!1 = и? Х+...+и„Х, в котором каждому элементу группы Яг соответствует базисный вектор иь Если символ 3? заменить на символ В, удалив индекс, то соответствующий элемент и, будет обозначаться через из. Таким образом, векторное пространство г?! состоит из сумм ~ и?)4? = ?, из()з. 3 (Рй) Затем определяются произведения риз по формуле йиз = из()з (11) н произведения иэит по формуле г?зит == изтбз, т, (12) где ыножигелн 63 т являются заданными с самого начала эле- ыентаып поля Х, не равными нулю. С помощью (11) и (!2) можно перемножать любые суммы (10), осу?цсствляя умножение отдельных слагаемых по формуле ггзР ггтУ = изггт(1'Я = ихтбз, т(1'У, и затем складывая полученные произведения.
Чтобы введенное с похющью сисгнсжы фаин?оров бз т умножение было ассоциативным, элементы бз т должны удовлетворять условию ассоциативности бд тпбт и =бзт, и(6з, т)Я ° (13) В выборе базисных элементов из и факторов бх т существует некоторый произвол; именно, элементы из можно заменить на эле- лгенты Две системы факторов ба т и е?ь т, связанные друг с другом соотношением (15), называются ассоциированными. Таким образом, ассоциированные системы факторов определяют одну и ту же алгебру 3!.
Пусть Š— единичный этечент группы Г??д Тогда можно подобрать множитель прп элементе ив так, чгобы было пег?в =. ив иэ = иауз (уз ~ О, уз ен Х). (14) Соогветствующая этому новому базису система факторов выглядит так: т ез, т =- — 6?ь т. тзтт (15) тат ллгевгы !гл х!и и, таким образом, выполнялось равенство бе я= 1. Из законов ассоциативности (иеиь) ия = ил(иеи„), иэ (иеив) = (илие) ие теперь следует, что ие — единичный элемент алгебры 21. Следовательно, произведения иер можно отождествить с элементами р поля Х. Каковы те элементы с=- ~, иэуэ, которые перестановочны со всеми элементами р поля Х? Условие ()с=с() дает равенство ~иФ'уз=2,иэуФ отсюда в силу линейной независимости элементов иэ (р' — (!) уэ = О.
Для о =-1 это условие выполняется автоматически. Для 5-К-.! существует такой элемент (1, что ()э чь(); поэтому уз=О. Тем самым, с =- илус = уе является элементом поля Х. Отсюда следует утверждение: поле Х является л~аксимальным коммутативным подкольиол~ алгебры 21. Определим теперь центр кольца ?', т. е. множество элементов с алгебры 21, перестановочных со всеми элементами из У(: ас =со для всех а. Если с — элемент центра, то с перестановочен, прежде всего, со всеми элементами поля Х, а потому содержится в Х.
Поэтому можно положить с=у. Так как у перестановочен со всеми базис- ными элементами иэ, элемент у должен оставаться неподвижным при всех автоморфизмах Я в соответствии с (11). Согласно последней теореме из З 57 это может быть только тогда, когда у лежит в основном поле Р. Мы получили предложение: Центром алгебры У( является поле Р, Алгебры над полем Р, центр которых совпадает с Р, называются центральными над Р. Раньше их называли «нормальными», но теперь это слово имеет слишком много значений. Далее мы докажем следующее утверждение: Если в каком-либо кольце, содержащем поле Х, вьтолнлются соотношения (11) и (12) с бв г чь О, то элементы иэ либо все равны нулю, либо линейны независимы над Х.
Доказательство. Если бы один из элементов иэ был линейно зависим от остальных уже известных элементов иг, то $ и? пгоизведвиия и скгвщв??ные пгоизввдвния для данного 5 имело бы место равенство из=- ~; итуг. г~=з Умножая (16) справа на (1з, получим из(?з = ~ и?угря. т 345 (16) (17) С другой стороны, умножая (16) на () слева, получим в силу (11), что из()з = ~", и?ргуг. (18) т Сравнение (17) и (18) показывает, что ввиду линейной независимости элементов иг имеет место равенство ()туг = уг(1з, или уг (1)г — ()з) =- О.
(19) Так как Т ~ 5, мы можем взять элемент () такой, что Рг чв-(Р. Тогда из (19) следУет, что Уг=О. Зто веРно длЯ всех Т, входящих в (16), а потому ив=О. Из (12) следует теперь, что изг=О для всех Т, т. е. все элементы из равны нулю, что и требовалось доказать. Из доказанной выше теоремы получается такое следствие: Алгебра 'Л являгтсн простой, т. г.
в нгй нет двусторонних идеалов, отличны от нег самой и от (О). Действительно, если ж — произволы ый двусторонний идеал в !?1, то ??17??? является кольцом, в котором классы вычетов ив удовлетворяют равенствам (11) и (12), а потому оин или все равны нулю или линейно независимы над полем Х. В первом случае ?и = 21, а во втором ?и = (О). Ооъединяя все это, заключаем: Скрещенное произведение 2?1 является центральной простой алгеброй над полем Р.
4. Циклические алгебры. Если группа Галуа Е циклическая, то соответствующее скрещенное произведение 21 называется циклической алгеброй. В этом случае все элементы Т из Е являются степенью порождающей 5: Т»=5» (й=О, 1, ..., п — 1) и все элементы иг можно выбрать как степени элемента ив: ит=(из)» (Й=О, 1, ..., и — 1). (20) Такой выбор элементов иг находится в согласии с условием, согласно которому иг выбирается как единичный элемент з40 АЛГЕБРЫ !ГЛ ХП1 алгебры»й иь = (из)" = е.
и-я степень элемента из является произведением (и — 1)-й степени и первой степени. Отсюда в силу (12) следует, чж> (из)л =еб, (21) где 6 — некоторый элемент поля 2:. Этот единственный элемент определяет всю систему факторов, так как д>я 1'+' (и имеет место равенство (из)' (из)» = (из)"», а для 1+й~п — равенство (иэ)1, (иэ)» (иэ)1>» — л, (иэ)л (иэ)1-» — л,б Таким образом, факторы бг я равны 1 или 6 в зависимости от того, будет ли в выражениях Т=-51 и Я=Я» сумма показателей 1+я меньше и или нет. Умножим (21) слева или справа на иь:, тогда получим (из)" ' =- изб = 6из.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
