Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Агап произвольной матрипы А, заданной во второй нли третьей нормальной форме, определить совокупность перестановочнык с ней матрия (ср, 4 87, задача 3). 9 89. Элементарные делители и характеристическая функция При преобразовании А'=Р-'АР матрица хŠ— А переходит в Р-'(хŠ— А) Р =хР 'ЕР— Р-'АР =хŠ— А'. Определим иивариантные множители матрицы хŠ— А в кольце К(х]. Так как они инвариантны относительно одновременного элементАРные делители умножения матрицы А слева и справа на любые обратимые мат- рицы, мы можем определить их для матрицы хŠ— А', где А'— первая нормальная форма в смысле 5 88. Согласно (1), (2) из ~ 88, матрица хŠ— А' состоит из блоков вида о а„ о а, О 8, хЕ,— А,= х в», — ! «+рл ! О О ... — ! х+рл ! Перестановкой одних только строк переведем первую строку в самый низ; тогда под главной диагональю останутся только нули. Прибавлением к последующим столбцам столбцов, кратных предыдущим, легко получить всюду над главной диагональю нули.
Таким образом, получится матрица )(х) 1 Располагая такие блоки друг за другом и переставляя строки и столбцы так, чтобы — 1 занимали начало главной диагонали, чы получим искомую диагональную форму — ! — ! й (х) Для определения матрицу привести бавнм строки со аа х, х', хлль х Π— ! х ~ о ~ о о о о ннвариантных множителей мы должны эту к диагональному виду.
К первой строке привторой по Й-ю, умноженные соответственно получим: ОО„,О)(х) — ! х ... О 316 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1гл. хн Тем самым многочлены 1,(х) вместе с несколькими единицами служат инвариантными мновхителями л1атрицы хŠ— А. Степени простых многочленов, на которые они раскладываются, являются элементарными делителями матрицы А. Характеристический многочлен (характеристическая функция) матрицы А аннулирует модуль И, потому что этим свойством обладает уже множитель ), (х); следовательно, д(А) =О.
(1) Характеристический многочлен является наибольшим в смысле порядка минором матрицы хŠ— А, а потому с точностью до константы равен определителю 1хŠ— А ~. Но эта константа равна, очевидно, единице; следовательно, Х(х) =~хŠ— А ~. (2) Характеристическое уравнение (1) для матрицы А выводится непосредственно из (2). Именно, хил= 'У, 'и,ам и исключение всех и из этой системы уравнений дает нам (надо учитывать, что переменная х и ее степени перестановочны с ко- эффициентами а11): х — а„,.. — а,„ и1=0, -аа ... х — а„„ или ~ хŠ— А1и1 =О, т. е.
)((х) =~хŠ— А, ,аннулирует все переменные и„а потому и весь модуль У)1. Это и требовалось доказать. В силу сказанного коэффициенты характеристической функции д(х) матрицы А инвариантны относительно преобразования А Р-'АР. Важнейшими среди коэффициентов являются первый и последний. След матрицы А — это коэффициент при — х"-': 5 (А) = ~ аи. Норма матрицы А — это коэффициент при ( — 1)"хь: 11' (А) =; А 1.
317 квлдРАтичиыа и эемитовы ФОРмы Корни характеристической функции называются характериогпическими корнями ХР, которые в предыдущих параграфах уже вводились как корни многочлена 7,(х). Это доставляет средство определения корней Х, и построения нормальных форм, описанных в предыдущих параграфах. Именно, сначала нужно определить А„ как корни многочлена т (х) = ~ хŠ— А ), затем векторы о, нз линейных уравнений (ср. (3) из 9 88) АО1 — — А,,оо 5 90.
Квадратичные и эрмитовы формы Пусть К вЂ” поле и Я вЂ” квадратичная форма Я(хо ..., х„)=~',д,х,'+) о,лх,хл (1) ОК А с коэффициентами из поля К. Положим д,=ои и будем писать вместо Я (х„..., х„) просто Я (х); тогда (1) можно записать короче: Я(х) = ~ олх~хл.
'(А Построим форму Я(к+у), где у обозначает новый набор переменных у„..., у„. Вычисление показывает, что Я(к+у) =1~(х)+Я(у)+В (х, у), где В(х, у) — симметрическая билинейная форма В(х, У) = ~ Ьмхгкл (3) (2) с коэффициентами Ьи =2дь Ьп =Ьм = ум (1(й). форму В(х, у) называют полярной форлюй квадратичной формы Я (х). Когда переменные х линейно преобразуются: х, = ~~" 11ок,' (пу ~ К), (4) В случае кратных корней (р Р1) последующие векторы о„... о, как правило, определяются легко из уравнений (3) из 9 88; при этом может оказаться необходимым заменить соответствующие корню ХР векторы о, их линейными комбикациями. Уравнение т ().) = О, корнями которого являются й„появляется во многих приложениях; поскольку оно очень часто встречается в теории вековых возмущений, его называют еще вековым уравнением.
з[в ЛННЕИНАЯ АЛГЕБРА [Гл. ХЦ форма [;[(х) переходит в новую форму Я'(х'): Я (х) = ['„[' (х'). При этом матрица Р =',,1пг[[, предполагается неособой. Формы Я и Я' называются рационально эквивалентными над полем К. Если матрица Р и обратная к ней Р-' состоят из элементов некоторого кольца Я: — К, то формы называются эквивалентныл[а над кольцом Я (например, целочисленно эквивалентными, когда Я = х", — кольцо целых чисел), Если переменные у преобразуются точно так же, как переменные х, с коэффициентами Л,Р Д[ = А порп то форма В (х, у) переходит в некоторую билинейную форму В'(х', у'): В(х, у) =В'(х', у').
Из (2) следует, что Я' (х'+у') =()' (х')+Я' (и')+ В' (х'„и'). (е) Если  — полярная форма квадратичной формы [;[, то В'— полярная форма квадратичной формы Я'. Построение полярной формы инвариантно относительно линейных преобразований переменных. Если в (2) подставить у=х, то получится 4Я(х) =2[;[(х)+В (х, х) или 2Я (х) = В (х, х). (7) Если характеристика поля отлична от 2, то из В (х, х) можно восстановить форму Я (х): 1 ! Ъл [~(х) = — В(х, х) — — 6[Ах[хА Положим теперь — 8[А=ам, тогда можно будет записать квад- 1 ратичную форму в виде Я(х) = '5„а[Ах[хА (ам Г ам).
(8) лд! Ч13 " Ч1л 41л Бел ° Члл Ь„Ь„... Ь,л Ьм Ьм...э,л (9) 91л Члл "Зчл ь„ьл, ... Ал„ Из коэффициентов б[л билинейной формы В(х, у) можно построить следующий определитель: з!з Квлдглтичныв и эгмитовы догмы Определитель Р называется определителем формы Я. Если характеристика основного поля не равна 2, то из разделенных па 2 коэффициентов ам можно построить определитель Л. Этот определитель называется дискриминантом формы Я. Очевидно, имеет место равенство Р = 2"Л. (10) Выясним, как меняется определитель Р при линейных преобразованиях (4). Подставим (4) и (5) в (3); получим В' (х', у') = ~ 5мпупмх,'х;; следовательно, ий = ~ ампулы, (11) где суммирование ведется по индексам, встречающимся дважды.
Равенство (!1) можно записать как матричное равенство В' — Р'ВР, (12) где Р' — матрица, транспонированная по отношению к матрице Р =!! пу(',. Если взять определители обеих частей равенства (12), то получится Р' =(Ре1(Р))' Р (13) Иначе говоря: определитель Р у ~ножается на квадрат определителя осуи!естеляемоео преобразования. Начиная с этого места, предполагается, что характеристика основного поля отлична от 2. Заменим переменные х; на координаты с, произвольно взятого вектора и, а переменные у~ — на координаты с(; вектора о и запишем: 1(и о) =,~ амс~с(л = 2 В (с, а), 1 в частности, )(и, и) =,У, 'амс;с,=Я(с).
Приведем квадратичную форму г(и, и) с помощью линейного преобразования к наиболее простому виду. Для этого выберем вектор с, так, чтобы было 1(см о,) ~0; это всегда возможно, если ! не есть тождественный нуль, Тогда уравнение )(оь и)=0 опгеделяет некоторое поднространство Й„, векторного пространства В., которое не содержит с,. Выберем в этом подпространстве, если возможно, вектор о, так, чтобы было ((вм о2) ФО; тогда уравнение ) (о„и) = 0 вместе с предыдущим уравнением определяет некоторое подпространство Й„, в Й„и которое не содержит в,. Будем продолжать это до тех пор, пока не придем к подпространству й„, такому, что Г(и, и)=0 для всех и из 1с„„так что )(и, о) =0 для и и о из В„., Может оказаться, что г=п; 320 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ~ГЛ. Хн тогда й„,— нулевое подпространство.
В противном случае выбе- рем в й„, произвольный векторный базис о, „..., о„. Тогда ((о1, о„) =0 (1Фй), ~ (о1, о1) = у1 ~ 0 (1 = 1, ..., г), Г(о1, о,) =0 (1 =г+1, ..., л). Разложим теперь каждый вектор о по новому базису о„..., о„: О= У, О1»(1, тогда ((о. о)=ХХ)(о1, о»)дА =~',у»дл (14) ! Таким образом, форма 1', как принято говорить, преобразована к сумме квадратов. Векторы »о из подпространства )т„, обладают тем свойством, что 1'(Го, и) =0 для каждого и, и характеризуются этим.
Следовательно, подпространство )Г„, и его размерность и — г инвариантно связаны с формой ). Число г квадратов в (!4) также инвариантно; оно называется рангом формы 1. Предположим, что поле Н упорядочено Е 77). Число отрицательных коэффициентов у; в (14) называезся индексом инерции формы ). Покажем, что и индекс инерции инвариантен (закон инерции Сильвестра). Пусть та же форма г, разложенная по другим базисным векторам Го„выглядит так: Г 1 =,')„у) д1', 1 предположим, что ун ..., ул положительны, а у„,„..., у, отрицательны и, аналогично, у1, ..., у» положительны, а у„'„, ..., у,' отрицательны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
