Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Элементу кольца а сопоставляется, таким образом, новая матрица А'; в этом случае говорят об эквивалентном представлении. Поскольку переход к эквивалентному представлению является не чем иным, как переходом к другому базису в том же модуле представления (нли операторно изоморфном ему), мы приходим к следующему выводу: изоморфным модулям представления соответствуют эквивалентные представления, и наоборот, Система линейных преобразований модуля линейных форм й)1, в частности, какое-либо представление кольца, называется приводимой, если все преобразования этой системы переводят фиксированное подпространство %~О, Я~% в себя.
В этом случае Я называется инвариантным псдпрсстранством. Если речь идет о представлении кольца ь, то % можно рассматривать как двойной модуль относительно ь и К, а инвариантное подпространство Я вЂ” как множество, допускающее все элементы из ь в качестве левых операторов. Отсюда следует, что представ- ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И МОДУЛИ ПРЕДСТАВЛЕНИИ (4) то все матрицы представления с помощью подходящего выбора базиса приведутся к виду ни и ки О О км " йс (6) О О ... Ли ление кольца приводимо пюгда и только тогда, когда соответству- ющий модуль представления обладает (двойным) подмодулем Я. Чтобы выяснить, как выглядят матрицы приводимого пред- ставления, возьмем какой-нибудь К-базис в Я и дополним его до К-базиса модуля ай.
Таким образом, Я=.,К+...+о,к, 3)) =о,К+...+о,К+в,К+...+юК. Тот факт, что произвольное линейное преобразование переводит модуль Я в себя, означает, что образы элементов о относительно такого преобразования вновь выражаются через о; (3) в,' = ~ оеау+ ~,иьту. Положим Й=)р~,~), Б=)о; (1 Т=)т;,); тогда это преобразование представится следующей матрицей: А=) Следовательно, система матриц приводима тогда и только тогда, когда все матрицы системы могут быть одновременно при- ведены к виду (4) с помощью преобразования А Р-'АР (выбор нового базиса). Из (3) следует, что (о; ...
о,') =(о, ... о,).)с, (щ', ... щ~) = (ю, ... ю,) Т (вод Я). Отсюда усматривается следующее: Фиксируем в случае приводимого представления кольца о инва- риантный подмодуль Я и фактормодуль Ж/Я и рассмотрим их как модули предспювления; тогда получающиеся при этом предста- вления задаются частями Й и Т, указанными в матрице (4). Если мы выберем в Я максимальный инвариантный подмодуль %~ „в котором вновь выберем максимальный инвариантный под- модуль Ю),.„и т. д., до получения композиционного ряда йт) = ЗЯБ ййс -1 ° . 3~(ь = (()) 81О ЛИНЕННАЯ АЛГЕБРА 1ГЛ. ХИ Диагональные клетки гси задают представления, которые соответствуют композиционным факторам ИуЗг(ь.,; поскольку последние являются простыми двойными модулями (т.
е. не содержат инвариантных подмодулей), соответствующяе представления неприводимы. Процесс, приводящий к матрицам (б), называется гтриведением» представления. По теореме Жордана — Гельдера (8 51) композиционные факторы определены однозначно с точностью до порядка следования и операторного изоморфизма. Отсюда: неприводимые представления Ри приведенного представленил (6) определенья однозначно с точностью дс порядка следования и эквивалентности представлений.
Если в системе (3) отсутствуют коэффициенты оу, то это означает, что не только (о,, ..., о,), но и (гс„..., тсг) является инвариантным подмодулем, а потому И является прямой суммой двух инвариантных подмодулей 91, ~. Матрица (4), следовательно, выглядит так: '4 ~)о т~, где )7 соответствует представлению на %, а Т вЂ” представлению на С. В этом случае говорят, что представление а А распадается на представление а ттг и а Т. Если двойной модуль д11 вполне приводим в смысле 8 53, т. е. является прямой суммой простых двойных модулей, то получаемое с помощью 3)1 представление задается матрицей уы О нз» (7) ,О Нгг где отдельные клетки задают неприводимые представления, среди которых, конечно, могут быть и равные.
Такое представление называется вполне приводимым. Примеры, иллюстрирующие понятия этого параграфа, доставит теория отдельно рассматриваемой матрицы, помещенная в следующем параграфе. 3 а д а ч а П Если о — кольцо с единицей и представление этого кольца сопоставляет едикице единичную матрицу, то для модуля представления это означает, что единица является единичным оператором. Показать с помощью одной из теорем э 84, что любое представление кольца с распадается на два таких, что в первом из них единице соответствует единичная матрица, а во втором каждому элементу сопоставляется нулевая матрица; я=~о о~.
нормальные оормьг млтпипы нлд полем зп а тя Зада ч а 2. Представление является вполне приводимым тогда и только тогда, когда каждому инвариантнаму подпространству Я можно сопоставить инвариантное же подпространство г такое, что вместе они порождают модуль %; И=Я+С. 3 а д а ч а 3. Если (иь ..., и») = (и, ..., и„) Р— гомоморфиам модуля представления в себя, то матрица Р перестановочна со всеми матрицами представления: АР=РА, и наоборот. й 88.
Нормальные формы матрицы над полем Пусть И = (и„..., и„) — модуль линейных форм над полем К и иа рь= ра игагь — некоторое линейное преобразование модуля И в себя. Мы собираемся ввести новый базис, (и1 ... и„') = (и, ... и„) Р (где Р— некоторая обратимая матрица над К), в котором матрица А =]ага] приобретет наиболее простую нормальную форму А' = Р 'АР. Рассмотрим степени матрицы А как представление степеней произвольной переменной х и продолжим его до представления кольца многочленов К(х], которое многочлену Р (х) = ~Х~~ атх' сопоставляет матрицу ~(А) = ~ ст,Ач.
Представление гомоморфно, потому что степени матрицы А перестановочны между собой и с коэффициентами а,. Этому представлению соответствует модуль представления И, в котором произведение многочлена из Н (х] с элементом и ее И определяется равенством ( У',а„хт) и= У, 'ичА'и.
Модуль представления И является двойным модулелт относительно Н(х] и К; однако, так как величины из поля Н перестановочны со всеми остальными и между собой, мы можем писать их слева от элементов модуля И: и1=)ги; поэтому И можно рассматривать просто как К(х]-гиодульь 312 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1гл хп Так как кольцо многочленов К [х) евклидово, применима основная теорема из ~ 86: модуль 8)1 является прямой суммой циклических К [х]-модулей (1о,), ..., (Го,), аинулирующие идеалы которых или равны нулю, или порождаются каким-либо много- членом.
Случай нулевых идеалов исключается, потому что для каждого Го=го, можно указать не более и линейно независимых величин среди ю, хц, х'!о, ...; следовательно, существует много- член ~~ а,х" ~ О со свойством ~ а„х'Го =О. Поэтому каждый элемент !о=го, обладает аннулирующим много- членом наиболее низкой степени ),(х) =1(х) =хь+аь,хь-'+...+а„ и 1.~~ — = 0 (!'.) Величины го, х1о, ..., хь-"1о линейно независимы над К и поэтому могут использоваться для построения К-базиса в циклическом К[х)-модуле (го) =(!о, х1о, х'го, ...).
Имеем: А!о =хго, Ах!о = х'го, Ахь-'!о=хе!в= — аь 1о — а,.х1о —...— аь, хь-'1о. Следовательно, преобразование А модуля (го, х1о, ...) в себя в новом базисе задается матрицей 0 0 ... 0 — аь 10...0 — а, О 1...Π—, А,= 0 0...! — аь, Такие матрицы называются сопровождающими. Каждому эле-. менту щ, соответствует сопровождающая матрица А, такого типа. Так как модуль Ж является прямой суммой модулей (го,), для матрицы А получается первая нормальная форма АГ 4а (2) Аг где блоки А,— сопровождающие матрицы типа (1). Из теоремы единственности $ 86 следует, что многочлены 1,(х). как и сопровождающие матрицы А„определяются модулем М однозначно. НОРМАЛЫ«ЫЕ ФОРМЪ| МАТРИЦЫ НАД ПОЛЕМ з~з «вв1 Блоки А, можно разлагать дальше, представляя циклические модули (ш,) в виде прямых сумм таких циклических подмодулей, которые аннулируются степенями неразложимых многочленов.
форма (2) сохранит свой вид, только в этом случае сопровождающие матрицы (1) будут соответствовать степеням многочленов (р(х))' (вторая норм линия Форма). И здесь сопровождающие матрицы определены однозначно с точностью до порядка следования. многочлены (р(х))Р иногда называют элементарными делителями матрицы А. Связь между понятием инвариантного множителя из й 85 и понятием элементарного делителя выявится в й 89. С помощью композиционных рядов циклических модулей (ви,) полученные выше нормальные формы можно упростить дальше.
Мы рассмотрим здесь лишь случай, когда встречающиеся в рассуждениях многочлены р(х) являются линейными; такая ситуация складывается, в частности, когда поле К алгебраически замкнуто. Итак, р (х) =х — А, 1(х) = (х — А)Р. Б качестве базисных элементов мы возьмем элементы и, =( — А)Р-' ю, о,=( — 1~) ' Имеем: (х — ),) О,=О, (х — )) ОР=ОР-д (1(и~о), или А и, = хи, = Аои А пи = хии = ).о„лг о„,. Тем самым блок А, приобретает «редуцированный вид»: х 1 о...о о О Х 1 ... О О А,= О О О ... А 1 О О О ...
О Х и, равным образом, так как каждому элементу ви, соответствует некоторое Х„ « 1 ... О О о » ... о о А,= О О О О ."О А» 314 1гл, хаа ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Эти блоки следует опять подставить в (2), и мы получим третью нормальную форму. Характеристические корни А„н порядки р„ рассматриваемых блоков вновь определены однозначно. Все векторы о„, которые соответствуют фиксированному корню ),, порождают некоторый модуль За, аииулирующийся степенью многочлена х — )ь (2 86); этот модуль (на языке векторных пространств) называется корневым подпространством корня )г. Весь модуль 911 является прямой сумлюй таких корневых подпростраиств. В этих последних существуют упомянутые в 2 8б ряды подпространств, аннулирующихся многочленами (х — ))е, (х — А)' ',..., 1.
Векторы х — )., аннулирующиеся многочлсном ца, т. е. удовлетворящие равенству Ага=)хс, называются собственными векторими матрицы А, отвечающими собственному значению )с. Вполне приводимый случай (ср. $ 87), в котором нормальная форма (2) имеет диагональный вид Ха Аа (4) ;о встречается, когда все порядки р равны, т. е.
когда многочлены ( (х) ),(х), из которых )" возникают при разложении на простые множители, не имеют кратных множителей. Так как )т„~ () дт), для этого достаточно, чтобы старший элементарный делитель 7,(х) не имел кратных множителей. Методы эффективного определения характеристических корней и построения нормальных форм изложены в следующих параграфах. 3 а д а ч а 1. Старший элементарный делитель Гт(х) совпадает с мвогочленом 7(х) наименьшей возможной степени со свойством )(х)ай О нли )(А)=0. 3 а д а ч а 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
