Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Следуя Артину и Шрайеру, мы введем понятие формально вещественного поля '): Поле назьгваетгя формально вещественным, если — 1 не предспшвляется в нем в виде суммы квадрагпов. Формально вегцественное поле обязательно имеет характеристику нуль; действительно, в любом поле характеристики р элемент — 1 является суммой р — 1 слагаемых 1. Очевидно, что всякое подполе формально вещественного поля тоже формально вещественно. Поле Р называется вещественно замкнутым' ), если само оно формально вещественно, но любое его собственное алгебраическое рис!парение формально вещественным не является. Т е о р е м а 1.
Каждое вещественно замкнутое поле может быть упорядочено одним и только одним способом. Пусть Р— вещественно замкнутое поле. Докажем следующее: Если а — отличный от О элемент из Р, то либо а является квадратом, либо — а является квадратом, и эти случаи исключают друг друга. Суммы квадратов элементов из Р сами являются квадратами. Теорема 1 отсюда немедленно следует. Действительно, полагая а = О в том случае, когда а — квадрат, отличный от нуля, мы определим, очевидно, упорядочение на Р, которое является единственно возможным, потому что каждый квадрат должен быль неотрицательным при любом упорядочении.
') Если в каком-нибудь поле злемент — 1 представляется в виде суммы квадратов ~~~а'-', то 1»+~о'=О; тем самым О является суммой ненулевых квадратов. Обратно, если дана сумма ~ Ь" =О, в которой, скажем Ь Ф О, то на ьгссто Ь легко поставить 1, разделив всю сумму на ЬА) если затем перенести 1 в другую часть равенства, то получится — 1 =~Рп' «) Ар т и н и Ш р а йер !Агни Е., зсйге)ег О.). А!йеЬга1зсйе Коп»1гп1«- Поп геенег Когрег.— АЬЬ. Майн 5епг. !)п1т.
Нагпьпгя, 1926, 5, 5. 83 — 115. ») Краткое наименование «вещественно замкнутое» предпочитают более точному «вещественно алгебраически замкнутое», Вешастввнные поля 1гл. х! Если у не является квадратом элемента из Р, то, обозначая через ) у корень многочлена х' — у, мы получаем собственное алгебраическое расширение Р()лу) поля Р, не являющееся формально вещее!венным. По этой причине имеет место равенство — 1 = у ~х~~ !х', + У, Я+ 2 )!л у ~х ', а, р,, где сь„й„принадлежат Р.
Отсюда следует, что последнее слагаемое должно быть нулевым, потому что иначе элемент ~/у принадлежал бы полю Р, что противоречит предположению. Наоборот, первое слагаемое не может обратиться в нуль, так как в противном случае поле Р не было бы формально вещественным. Отсюда мы заключаем, прежде всего, что у не представляется в Р в виде суммы квадратов, так как иначе мы получили бы и для — 1 представление в виде суммы квадратов.
Проведенные рассуждения доказывают следую!нее: если у не является квадратом, то оно не является и суммой квадратов. Или, в позитивной форме: каждая сумма квадратов в Р является в Р квадратом. Мы получили, что л ~ а' Числитель и знаменатель этого выражения являются суммами квадрат!в, а потому просто квадратами; отсюда — у=с', где с — элемент поля Р. Следовательно, для каждого элемента у из Р имеет место по крайней мере одно из равенств: у=Ь' нлн — у=-с'. Но если у ~0, то оба равенства одновременно не могут иметь места, так как иначе выполнялось бы равенство — 1=-(Ь~с)', чего быть не может.
На основании теоремы 1 мы будем предполагать в дальнейшем, что вещественно замкнутые поля упорядочены. Т е о р е и а 2. В любом вещественно замкнутом поле каждый л!ногочлен нечетной степени имеет по крайней мере один корень. Э!а теорема для степени ! тривиальна. Предположим, что она уже доказана для всех степеней, меньших и, и пусть 1(х)— произвольный многочлен нечетной степени п)1. Если г" (х) разложим в вещественно замкнутом поле Р, то у него есть по край- ллгеБРлическля теОРия вещественных пОлеп ааГ Л БЦ ней мере один неразложимый множитель нечетной степени, меньшей и, а потому, в силу индуктивного предположения, и корень в поле Р.
Приведем теперь предположение о том, что многочлен 1(х) неразложпм, к противоречию. Действительно„пусть а — символически присоединенный корень многочлена 1(х). Поле Р(а) не ьюжет бь1ть формально вещественныьп поэтому где ч~ч(х) — многочлены степени не выше и — 1 с коэффициентами из Р. Из (1) получается тождество à — 1= „"', (~р,(х))'+г(х)д(х). (2) Сумма многочленов ~р; имеет четную степень, так как старшие коэффициенты являются квадраьами и, следовательно, при сложении не дают нуль. Далее, степень положительна, так как иначе уже (1) давало бы противоречие. Поэтому д(х) имеет нечетную степень, не превосходящую и — 2; следовательно, д(х) обладает в Р некоторым корнем а. Подставим а в (2); тогда что и приводит к противоречию, так как элементы ~р,,(а) лежат в поле Р.
Теорема 3. Вещественно замкнутое поле не является алгебраически замкнутым, Но в результате присоединения элемента 1 получается алгебраически замкнутое поле '). Первая половина утверждения тривиальна. Действительно, уравнение х'+1 =0 неразрешимо в любом формально вещественном поле. Вторая половина следует непосредственно из следующего утверждения. Теорема За. Если в некотором упорядоченном поле К каждый положительный элемент обладает квадратным корнем и каждьчй многочлен нечетной степени обладает по крайней мере одним корнели то в результате присоединения элемента 1 получаггпся алгебраически замкнутое поле. Прежде всего заметим, что в поле К(1) каждый элемент обладает квадратным корнем и поэтому каждое квадратное уравнение разрешимо. Доказательство проводится с помощью такого д $80.
Ч С... ° ° ° ° .ю ., ж-. -...,... Вещественные поля (гл х1 Для доказательства того, что поле Н(1) алгебраически замкнуто, согласно й 72 достаточно показать, что каждый неразложимый над К многочлен 1(х) обладает в К(!) некоторым корнем. Пусть 1(х) — многочлен без кратных корней, имеющий степень и, и и =2 о, где о — нечетное число. Мы проведем индукцию пот. Предположим, что каждый многочлен без кратных корней с коэффициентами из К, степень которого делится на 2"-', но не делится на 2'", обладает в К(!) некоторым корнем. Для т= ! это имеет место по условию.
Пусть и„и„..., и„— корни многочлена 1(х) в некотором расширении поля Н. Выберем элемент с из К так, чтобы выражений и,я»+с(и~+и») для 1 л(л-1) «)«й(п имели различные значения. Так как эти выражения, л (л — 1) очевидно, удовлетворяют некоторому уравнению степени над К, то, по предположению, по крайней мере один из них лежит в К (!), например, элемент я»я»+.с(я»+я,). В силу требования, которому подчинен элемент с, имеет место равенство (см. й 46) К (и,и„и, + я,) Н (и,и, + с (я, + я») ); таким образом, я, и и, можно найти как решения некоторого квадратного уравнения над К(1). Одновременно с этим мы получаем из теоремы За, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто.
Это — «основная теорема алгебры». Теорема, обратная к теореме 3, звучит так: Теорем а 4. Если формально вещественное поле К становится алеебраически замкнутым лри присоединении элемента «, то оно вещественно замкнуто. Доказательство. Между К и К(!) нет промежуточных полей; поэтому поле К не имеет алгебраических расширений, отличных от себя самого и от поля К(!). Поле К(!) ие является формально вещественным, так как — ! является в нем квадратом, Следовательно, поле К вещественно замкнуто.
Из теоремы 4, в частности, следует, что поле вещественных чисел вещественно замкнуто. Корни уравнения )(х)=О с коэффициентами из некоторого вещественно замкнутого поля К лежат в К(!) и входят в это поле, если только они не принадлежат самому К, вместе со своими сопряженными элементами (над К). Если а+у( — некоторый корень, то а — о( — сопряженный с ним корень. Если в разложении многочлена )(х) на линейные множители сгруппировать те из них, которые соответствуют сопряженным корням, в пары, то получится разложение многочлена 7(х) на линейные и квадратные множители, неразложимые над К. ь»п ллгевелическля твогня ввшвстввнных полю взз — 1=„~; сА»ю »=1 (3) где с« — положительные элементы из Н, а с,— элементы из К.
Г1редположим, что такое соотношение имеет место. В элеменэах $„ могут встретиться лишь в некотором конечном числе квадратные корни )/а«, 1''а»,..., )/а„ которые были присоединены к полю К. Будем считать, что среди всех равенств вида (3) мы выбрали и рассматриваем такое, в котором г принимает наименьшее возможное значение, (Обязательно г = 1, так как в К не существует равенства вида (3).) Каждый элемент 5, представляется в виде 1,=»)»+Ь,)/а„где !)„~, лежат в поле К(1 а„'1/а», ..., Уа !), Таким образом, л « « 1 = ~ с,,»),'-+ ~ч~~ с,а,ь,'+2 1/а, л,' с,!)»ь„. (4) »=! «! » ! Мы можем теперь доказать «теорему Вейерштрасса о корнях» для многочленов Я 79) над любым вещественно замкнутым полем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
