Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Преобразование А определено однозначно, если задан образ каждого порождающего элемента и„: Аиь =,У, 'о~сне. Коэффициенты ам составляют матрицу преобразования А. 299 модэлн нлд явклндовыми кольцхмн $ м! Если А — взаимно однозначное отображение модуля 8)1 на модуль Я, то существует обратное отображение А-'. Для него А-'А=1 и АА-'=1, где символ 1 обозначает тождественное преобразование. В этом случае отображение А и его матрица 1а;») называются обратимыми. Линейное преобразование А и его матрицу )а,»( мы часто бу"ем обозначать одной н той же буквой А . Это не вполне логично, но зато удобно. й 85. Модули над евклидовыми кольцами.
Инвариантные множители О кольце Я мы будем теперь предполагать, что оно коммутатни!о и евклидово в смысле 9 17. Это означает, таким образом, что каждому элементу а чн 0 кольна сопоставлено «абсолютное значение» а(а), причем зак, что д(аб) )д(а) и возможно деление. Согласно 9 17 в этом случае каждый идеал в б( является главным. Докажем для начала следующее: Теорема. Пусть 10! — модуль линейных форм над кольцом Я с базисом (и„..., и„). Тогда каждый подмодуль Я в 8Я является модулем линейных форм не более, чем с и базисными элементами. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для нулевого модуля 8Я теорема тривиальна.
Пусть она уже доказана для (и — 1)-членных модулей 8)1. Если Я состоит из линейных форм лишь от элементов и„... ..., и„„то по предположению индукции все доказано. Если Я содержит линейную форму вида и,3,,+...+и„Х„с 1.„~=0, то элементы Х„, появляющиеся прн этом, образуют ненулевой правый идеал в 8! и, следовательно, главный идеал (р„) с !«„~0. Таким образом, в Я имеется форма 1= — илу,+...+и,р„и для любой другой формы ил).,+...+и„Х„можно найти такую кратную форму !а формы 1, что если ее вычесть из и,1п+,+и„Л., то исчезнет коэффициент Х„.
Получающиеся таким образом линейные формы из Я от переменных и„..., и„, составляют подмодуль, который согласно индуктивному предположению обладает базисом (Е„... ..., 1,), т — 1«: п — 1. Но тогда формы !и ..., ! „! порождают подмодуль Я. Элементы !и ..., ! , линейно независимы. Если бы существовала линейная зависимость с рным, то сравнение коэффициентов при и„справа и слева дало бы р„р =О, а это невозможно.
!ГЛ Х11 ЛИИЕИИАЯ АЛГЕБРА Задача 1 Если йй — целочисленный модуль линейных форм и Э) — его подмодуль, порожденный конечным числом заданных линейных форм оз = = ~ и1ам, то базис (1о ..., 1м) с описавными выше свойствами строится в конечное число шагов. 3 а д а ч з 2 С помощью базиса (1,,..., 1,„), построенного в задаче 1, ука. зать способ определения, является ли данная линейная форма р,и, + .. + Ряп» злементом модуля Я или нет; другими словами, указать способ распознавания, обладает ли система диофантовых уравнений ~ а1ззз = б1 целочисленными решенннми $ь илн нет. Т е о р е м а о б и н в а р и а н т н ы х м н о ж и т е л я х. Если Я— лодмодуль модуля линейных 4юрм З)1, то существует такой базис (им ..., и„) в ш) и такой базис (о„..., о ) в Ж, что о, = исаи еоч ю 0 (е,).
Доказательство. Будем исходить из произвольного базиса (и„..., и„) модуля )!)1 и произвольного базиса (о„..., о ) модуля Я. Пусть ОА — — ~,' и,а,а. (2) С помощью матричного способа записи вместо (2) можно записать (о„ ..., о ) = (и„ ..., и„) А. (3) Мы хотим с помощью последовательных изменений базисов привести матрицу А к желаемой диагональной форме: е, О ... О ~ О ез ... О (4) О О ... вм' , О О ... О ~ Допустимые изменения базиса при этом таковы: 1, Перестановка двух форм и или двух форм о, что влечет за собой перестановку двух строк или двух столбцов матрицы А. 2, Замена одной из форм и, иа форму и,+и1) ()Ф1); при этом из 1'-й строки матрицы А вычитается 1-я строка, умноженная слева на ).: оа= '~,' и ад —— ...+(и,+и,).)а д+...+и, (а,а — Лага)+...
3. Замена любой формы оз на оа — о,). ((=е=н); при этом из й-го столбца матрицы А вычитается 1-й столбец, умноженный справа на )с о,— о,),= '5; и,(ам — а, А), МОДУЛИ ИАД ЕВКЛИДОВЫМИ КОЛЬЦАМИ Будем преобразовывать матрицу А с помощью операций 1, 2, 3 до тех пор, пока нельзя будет уменьшить абсолютное значение наименьшего из отличных от нуля элементов матрицы А. С помощью операции ! мы можем добиться того, чтобы наименьший элемент матрицы, отличный от нуля, занял место и„. С помощью операции 2 сделаем так, чтобы были предельно уменьшены остальные элементы первого столбца; для этого нужно вычитать подходящие кратные первой строки из последующих строк. Получится, что абсолютные значения элементов первого столбца меныпе, чем ~ам ,'„т.
е. они равны О. Точно так же заменяются нулями элементы первой строки (преобразования типа 3) без изменения элементов первого столбца. После этих операций все элементы матрицы должны делиться на ам. Если бы это было не чак, то какой-то элемент, скажем, и„, не делился бы на аи и зогда на основании алгоритма деления имело бы место равенство ам = аир+ у, у чи О, д (у) (д (сьи). Прибавим сначала с помощью операции 2 первую строку к (-й и вычтем затем с помощью операции 3 из й-го столбца первый, умноженный на (); тогда на месте (Й) появится элемент у, для которого д(у) (у(аи), что противоречит минимальности элемента аи.
Теперь матрица выглядит так: ии О О ,О где все элементы из А' делятся иа ац. С помощью последующих операций нужно изменить первый столбец и первую строку матрицы А' точно так же, как это делалось с матрицей А. При этом не будет утрачена делимость каждого из элементов в А' на ам. В конце концов А' примет вид О ... О иьь О где все элементы из А" делятся на а„.
Продолжая таким образом, мы через т шагов получим искомую нормальную форму (4), Случай, когда одна из матриц А, А', А", ... состоит сплошь из нулей, исключается, потому что иначе некоторые из элементов о„были бы равны нулю, тогда как иа каждой стадии описанного процесса элементы о составляют базис модуля Я. Теорема доказана. ЛННЕЯНАЯ АЛГЕБРА !ГЛ ХП 3 а м е ч а н и я. !. Операции 1 — 3 всегда осуществляются умножением матрицы А слева или справа на некоторые обратимые матрицы над кольцом 3!. Если ввести новые базисы (и, '...
и,',)=(и, ... и„) В н (о,' ... о„',) =(о,, о,„) С, то (о, '... о') =-(о, ... о,) С=(и, ... и ) АС=(и,' ... и„') В ' АС. Теорема об ннвариантных множителях равнозначна, таким образом, утверждению о существовании обратимых матриц В, С, для которых В-'АС вЂ” матрица вида (2). 2. Преобразование матрицы А тем же самым методом удается и тогда, когда элементы о не составляют линейно неззвисимой системы; только в этом случае одна из матриц А, А', А", ... окажется нулевой и мы получим вместо нормальной формы (4) форму более общего вида, ~е» () В-'АС = (5) е„ О о 6»=е,е,...е» (й =г), 6» = 6»,е» (1 ( й === г).
так что (е) Элементы 6» называются детерминантными делителями матрицы А, а е» вЂ” инвариантными множителями матрицы А. Из (6) следует, что инвариантный множители являются отношениями двух последовательных детерминантных делителей. 4. Тот факт, что инвариантные множители е» однозначно определяются матрицей А с точностью до обратимого множителя, будет иным путем получен в следующем параграфе, где показывается, что инвариантные множители (если только они не обратимы) зависят лишь от фактормодуля р))/М, который в свою очередь определяется, конечно, матрицей А.
где г — ранг матрицы А. Соотношения делимости между элементами е, остаются теми же. 3. Миноры й-го порядка преобразованной матрицы Р =В-'АС являются линейными функциями миноров матрицы А и, аналогично, миноры матрицы А = ВРС-' являются линейными функциями миноров матрицы Р, Следовательно, наибольший общий делитель б„миноров й-го порядка матрицы А отличается обратимым множителем от наибольшего общего делителя миноров я-го порядка матрицы Р. Но для Р легко подсчитать, что ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ОБ АБЕЛЕВЫХ ГРИППАХ 3 а д а ч а 3. Каждая система линейных диофантовых уравнений а ~пчаза=рг (1=1, ..., т) ! с целымн числами ам и (Н приводится с помощью унимодулярного преобразования неизвестных з) и уравнений к виду ени у~ (1 = 1, ..., г; е~ ~ 0), О=бу О=г+1, ..., т).
Условия разрешимости этой системы в целых числах выглядят так: уз=О(ег); б =О. Неизвестные Ч~ при 1 г определенные, а остальные яу — свободные. Неизвестные $а представляют собой целочисленные линейкые функции свободных неизвестных ту. $86. Основная теорема об абелевых группах Пусть (З) — произвольная абелева группа с конечным числом образующих, записанная аддитивно, т. е. некоторый модуль. Если задана область мультипликаторов Я для группы Ю, то мы предполагаем, что в Я существует единичный элемент, являющийся одновременно единичным оператором; если же область мультипликаторов не задается, то мы считаем, что таковой служит кольцо целых чисел, которое удовлетворяет указанному условию.
В этом параграфе мы записываем операторы слева от элементов модуля. Пусть сначала (э) — циклический Я-модульн (Р =(д). Множество элементов р нз Я, аннулирующих д, составляет левый идеал п кольца Я; из )сто=-О и р,а=О следует, что (р,— )ьэ)д=-О, и из рд=О следует, что яра=О для каждого и из Я. Каждому ). нз Я соответствует элемент ).д и, так как () +Р)б=)"й+)ььг Лр.д=),.рб, это сопоставление является операторным гомоморфизмом над Я. Отсюда по теореме об изоморфизме следует, что Ф= Я!а, или произвольный циклический Я-модуль 05 ивоморфен модулю классов вычетов кольца Я по аннулируюи(ему модуль (з) левому идеалу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
