Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Хотя бы одна такая дробь существует, потому что таким свойством обладает число М. Обозначим эту наименьшую верхнюю границу через а . Тогда а — 2» уже не будет верхней границей; тем самым для каждого д) р имеет место соотношение ар — 2-р < ае ( ар. (4) Отсюда следует, что )ар — а ' <2-», (ар — а»1<2-" при р>п, д)п. а потому Последовательность (сер) отличается от этой фундаментальной последовательности лишь на нуль-последовательность (໠— ар), а потому у нее тот же предел ьл.
Проведенная выше конструкция сопоставляет каждому упорядоченному полю К такое его расширение лг, в котором выполнена теорема Коши о сходимости. В частности, если К вЂ” поле рациональных чисел Щ, то лг — поле вещественных чисел Р. Следовательно, вещественное число в этой теории определяешься как класс вычетов по модулю и кольца фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Пусть г.' — упорядоченное поле и И вЂ” непустое множестьо элементов из Х, Если в К существует элемент в, для которого 276 веществанныв поля 1гл. хс Для заданного е можно найти натуральное число й) е-', а затем и степень 2')й)е-'.
Тогда 2-"(е. Таким образом, (5) утверждает, что (ае) является фундалсентальной последовательностью, которая тем самым определяет некоторый элемент со поля й. Из (4), далее, следует, что ар — 2- в ( со ~ ао Элемент со является верхней границей множества И, т. е. все элементы р из И не превосходят со. Действительно, если бы р ) со, то можно было бы найти число 2г (р — со)- ', тогда выполнялось бы неравенство 2-е р — со. Если к э~ому неравенству прибавить неравенство ав — 2 в~со, то получится ар(р, что не так, потому что ар — верхняя граница множества И, Элемент со является наименьшей верхней границей множества И. Действительно, если бы элемент о тоже был верхней границей, но меньшей со, то опять можно было бы найти 'число р, для которого 2 о~со — и.
Так как ар — 2-в не является верхней границей множества И, то существует элемент р из И со свойством: ар — 2-в(р. Отсюда следует, что ар — 2-в<о, и с помощью сложейия с предыдущим неравенством мы получаем а <со, чего быть не может. Следовательно, элемент со — верхняя граница множества И. В неархимедовом поле теорема о верхней грани может не иметь места. Действительно, рассмотрим в таком поле последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, ...; существует элемент поля е, превосходящий все натуральные числа; таким образом, эта последовательность ограничена. Если бы элемент д был верхней гранью упомянутой последовательности, то элемент 2д оказался бы верхней гранью удвоенной последова1ельности 2, 4, б, Так как элемент д обязательно положителен, имеет место неравенство д(2д, в то время как д является верхней границей и для чисел 2п; таким образом„2д не может служить верхней гранью — наименьшей верхней границей.
Теорема о верхней грани может выполняться лишь в архимедовом поле. Докажем теперь следующие предложения: 1. Каждое архимедово поле К является порядково изоморфным некоторому подпалю К' поля Р веи(ественнах чисел. 2. Если в поле К имеет место теорема о верхней грани, то К'=(л и, следовательно, поле К порядково изоморфно полю веи(ественнах чисел. 277 опредклкник ващкствкнных чискл в тв1 Доказательство. Каждый элемент а поля К является верхней гранью некоторого множества И рациональных чисел. В качестве М можно выбрать, например, множество всех рациональных чисел г, для которых г(а. То же самое множество имеет некоторую верхнюю границу а' н в ((.
Отображение а а' является аддитивным гомоморфизмом, т. е. сумма а+Ь переходит в сул!му а'+Ь'. Ядро этого голюморфизма состоит только из нуля; следовательно, этот аддитивный гомоморфизм является изоморфизмом. Произведению аЬ двух положительных элементов а и Ь соответствует произведение а'Ь'. Следовательно, произведениям ( — а)Ь= — аЬ и ( — а)( — Ь)=аЬ соответствуют в поле )с числа — а'Ь' = ( — а') Ь' и а'Ь' = ( — а') ( — Ь'). Значит, и в общем случае произведению соответствует произведение. Положительные элементы из К переходят в положительные элементы из К'. Таким образом, поле К порядково изоморфно полю К'.
Утверждение 1 доказано. Если в К выполнена теорема о верхней грани, то, в частности, каждое ограниченное множество рациональных чисел согласно сказанному выше имеет в К верхнюю грань а; поэтому то же множество в К' имеет верхнюю грань а'. Отсюда следует, что в К' лежит каждое вещественное число, потому что каждое вещественное число является верхней гранью некоторого множества рациональных чисел. Следовательно, К'=Р, чем и доказывается 2.
3 а д а ч а 1. Показать, что понятие предела обладает следующими свойствамн: а) Если (ал) и (рл) — сходящиеся последовательности, то 1ип (и л () )=1(шм„-ь !ип р„, 1!т а„й„=!ип ил 1ип Рл. б) Если 1ип !)л ФО и все рл чьО, то 1!тп (()„-') =(1ип Рл) К в) Подпоследователыюсть сходящейся последовательности сходится к тому же пределу. Задача 2. Каждое вещественное число в представляется в виде бесконечной десятичной дроби: СО / / л а=аз+ ~ ат ° 10 т (т.
е. з !!щ (ав+ ~ ат 1О т (Оена (1О). т =! л со Задача 3. Каждое архимедово поле, в котором имеет место теорема Коши о сходимости, порядково изоморфно полю вещественных чисел )с, 1гл. хг вещественные поля 9 79. Корни вещественных функций Пусть 1к — поле вещественных чисел. Рассмотрим вещественнозначные функции /(х) вещественной переменной х. Такая функция называется непрерьвной при х =а, если для любого числа е)0 существует такое число 6 О, при котором ~/(а+й) — /(а)1(е для 1й,:(6. Легко доказать, что суммы и произведения непрерывных функций являются непрерывными функциями (см, аналогичное доказательство для фундаментальных последовательностей в 5 78). Так как константы и функция /(х)--=х непрерывны всюду, то все многочлены от х представляют всюду непрерывные функции от х.
Теорема Вейерштрасса о корнях непрерывных ф у н к ц и й утверждает: Ес ггг непрерьгвная при а ( х . Ь функция /(х) такова, что /(а) (О и /(Ь) ) О, то между а и Ь она обращается в нуль. Доказательство. Пусть с — верхняя грань всех х, лежащих между а и Ь, для которых /(х)(0. Имеются три возможности. 1. /(с))0, Тогда с)а и существует 6 .0 такое, что для 0 ( й ( 6 имеет место 1/(с — й) — /(с) '(/(с), / (с) — / (с — й) / (с), т.
е. /(с — й) ) О, /(х))0 для с — 6(х~с. Следовательно, с — 6 — верхняя граница для таких х, что /(х) (О. Но элемент с был наименьшей верхней границей. Следовательно, этот случай невозможен. 2. /(с)(0. Тогда с(Ь и существует такое 6)0, что для 1 0(й(6, например, для й= — 6, /(с+й) — /(с) ( — /(с), /(с+/г) -О. Тем самым число с не есть верхняя граница всех таких х, что /(х) (О.
Следовательно, и этот случай невозможен. 3. /(с)=0 — единственный оставшийся случай. Следовательно, /(х) обращается в нуль при х=с. Теорема Вейерштрасса о корнях применительно к многочлену является основой всех теорем о вещественных корнях алгебраических уравнений. Позднее ыы перенесем ее на случай так назы- 279 кОРни зе!Пестяг!и!ых Фуикцил э! ваемых «вещественно замкнутых полей», так что она окажется верной не только для поля вещественных чисел. Все последующие теоремы этого параграфа основываются исключительно на теореме Вейерштрасса о корнях многочленов и тем самым окажутся справедливыми для всех вводимых позднее полей, где эта теорема выполнена. Следствие 1.
Многочлен хл — й при й)0 и любом натуральном и всегда имеет корень и притом даже положительный. Действительно, хл — й(0 при х=-О, а при больших х (например, х) 1+ — имеем х" — й> О. л/ Из ал — Ь"=(а — Ь) (ал-'+ал-'Ь+...+Ь"-') следует, далее, что а )Ь" при а)Ь>0, откуда можно получить положительный корень уравнения хл=й. Он обозначается через г й, а при и=2 просто через )'й («квадратный корень»). Положим у'Π— О. Из л л л а>ЬеьО следует р'а >г'Ь, потому что если бы было у'а ( .=р'Ь, то оказалось бы выполненным неравенство а . Ь.
Следствие 2. Каждый многочлен нечетной степени имеет корень в поле 11. Действительно, в силу задачи 2 из 2 77 существует такое М, что 7" (М)> О и 7( — М)(0. Обратимся теперь к вычислению веи(ественных корней много- члена ) (х). Под вычислением, в соответствии с определением вещественных чисел, подразумевается сколь угодно точная аппроксимация рациональными числами.
В 2 77 (задача 2) мы уже видели, как можно заключить в границы вещественные корни многочлена 7(х): если 7 (х) = Хл+ а,х"-'+ .., + ал и М вЂ” наибольшее из чисел 1 и',а, ~+...+~а„!, то все корни лежат между — М и М. Число М можно заменить на некоторое (при необходимости бо,тьшее) рациональное число, которое вновь обозначим через М; интервал — М ( х «.М с рациональными концами с помощью промежуточных рациональных точек можно разделить на сколь угодно мелкие части. В какой из этих частей находятся корни, можно будет установить, обладая средством подсчета числа корней в каждой из полученных частей интервала.
С помощью дальнейшего разбиения интервала, в котором лежат вещественные корни, можно будет аппроксимировать эти корни сколь угодно точно. Следующая теорема доставляет средство определения числа корней между двумя заданными границами, а также общего числа корней данного уравнения. 280 [гл хг ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ Т е о р е м а 1П т у р м а.
Определим многочлены Х„Х„..., Х, на основе заданного многочлена Х =~(х) по следующей схелге: Хг =1' (х) (дифференцирование) Х =яхт — Х„ Х, = гчзХз — Ха, (алгоритм Евклида) Для каждого вещественного числа а„не являющегося корнем многочлена 1(х), пусть гс(а) — число перемен знака') в последовательности чисел Х(а), Х,(а), ..., Х„(а), из которой удалены все нули. Если Ь и с — произвольные числа, на которых 1(х) не обращается в нуль, причем Ь«=.с, пго число различных корней в интервале Ь(х -с (кратные корни считаются только один раз() равно го (Ь) — гв (с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
