Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 58

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 58)

е, последовательность (ар) была бы нуль- последовательностью, что противоречит предположению. Фундаментальная последовательность (ар) остается в том же классе вычетов по модулю и, если заменйть а„..., а„на Обозначим опять через а„, ..., а„эти новые п элементов ч; тогда для всех р окажется выполненным условие ,,ае!)Ч; в частности, ар~ьО.

Теперь последовательность (а ') является фундаментальной, потому что для каждого а) 0 существует п такое, что (а„— ат(<аЧт при р)п, д)п. Если бы выполнялось неравенство ~а,' — а '(~а для некоторого р) п и некоторого т))п, то с помощью умножения на',а„(гьЧ и па !ат!-. ч получалось бы соотношение !а — ат'=!а ат(а,,' — а,')) ~еЧт, что, однако, места не имеет, Следовательно, !а — а')<а при р)п, д)п. Очевидно, фундаментальная последовательность (а,') является решением сравнения (2). Поле й содержит, в частности, те классы вычетов по модулю и, которые представляются фундаментальными последовательностями вида (а, а, а, ...).

Эти последние составляют некоторое подкольцо К' внутри Й, изоморфное полю К, потому что каждому а из К соответствует такой класс вычетов, различным а соответствуют различные классы 272 1ГЛ. Хг ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ вычетов, сумме соответствует сумма, а произведению соответствует произведение.

Отождествим элементы из К' с соответствующими элементами из К; тогда ьр станет расширением поля К. Фундаментальная последовательность называется положительной, если существует е ) О в поле К и натуральное число и такие, что ар)е при р)и. Сумма и произведение двух положительных фундаментальных последовательностей являются, очевидно, положительными.

Кроме того, сумма положительной последовательности (ар) и нуль-после- довательности 1Ьр) положительна; это показывается с помощью выбора столь большого номера и, что ар)е при р)п, 1 , Ьр1( — е при р) п; 1 отсюДа заключаем, что ар+Ьр) — В пРи Р)п. Тем самым, все последовательности одного класса по модулю и положительны, если в этом классе есть хотя бы одна положительная последова- тельность. В этом случае класс вычетов называется положитель- ным.

Класс вычетов А называется отрицательным, если положи- телен класс — Й. Если ни последовательность 1ар), ни последовательность ~ — а ) положительными не являются, то для каждого В О и каждого и существуют такое г) п и такое з) и что а,(В и — а,~е. Выберем и настолько большим, чтобы при р)п, д)п выпол- нялось неравенство 1ар — аг1( е; тогда, полагая сначала ос р и беря р произвольно большим, превосходящим п, получим ар=(ар — а )+а,(е+е=2е, а затем, полагая а=з и беря р произвольно большим и превос- ходящим п, получим — ар — — (ае — ар) — а,(е+е =2е, откуда !ар~(2е для р)и, и, следовательно, 1ар) — нУль-последовательность.

Таким образом, либо 1ар) — положительная последовательность, либо ~ — ар) — положительная последовательность, либо )ар) — нуль- последовательность. Поэтому каждый класс вычетов по модулю и определение Вещественных чисел 273 положителен, отрицателен или равен нулю. Так как сумма и произведение положительных классов вычетов положительны, мы делаем следующий вывод: Поле й является упорядоченны.м. Непосредственно усматривается, что упорядочение поля К сохраняется в поле й. Если последовательность 1а ) определяет элемент а, а последовательность 1Ь ) — элемент 11 7юля Р, то из ар»Ьр при р)л следует, что я»)). Действительно, если бы выполнялось а < р, т.

е. 17 — а ) О, то для фундаментальной последовательности (Ь вЂ” ар1 существовали бы а и т такие, что Ь,— а,)е) О для р= т. Вь7б ем здесь р=т+и; тогда получится противоречие с условиеь ~р»Ьр. Отметим, что из ар) Ьр следУет не а) 11, а а.=11. Ь;илу сказанного выше, из ограниченности каждой фундаментальной последовательности следует, что для каждого элемента ь7 поля Й существует превосходящий его элемент з из К.

Если поле К архимедово, то для э существует превосходящее его натуральное число и. Таким образом, для каждого 87 в этом случае существует превосходящее его натуральное число и, т. е. поле й также архимедово. Конечно, в самом поле й можно ввести понятия абсолютного значения (модуля), фундаментальной последовательности и нуль- последовательности. Нуль-последовательности и в этом случае составляют некоторый идеал.

Если последовательность (ар) сравнима с некоторой постоянной последовательностью 1сс) по модулю этого идеала, т. е. если 188 — а) — нуль-последовательность, то говорят, что последовательность 1ар) сходится к пределу а и пишут 1пп ар †-88 или, коРоче, 1ппа𠆆а. р сО ФУндаментальные последовазельности 1ар) из К, котоРые слУ- жат для определения элементов поля й, могут, конечно, рассматриваться как фундаментальные последовательности в Й, потому что К содержится в й.

Покажем следующее: если последовательность 1ар) определяет элемент а поля й, то 1ппа,=а. Для доказательства заметим, что для каждого положительного е из й существует меньший положительный элемент е' из К, а для него в свою очередь существует такое и, что при р= и, д)п имеет место неравенство 1ар — а71< е', т. е. Разности ар — ач и ае — ар обе меньше е'. Согласно сделанному выше замечанию отсюда следует, что ар — а и а — ар меньше 274 вещественные поля !ГЛ. Х! или равны е' и, следовательно, ( ар — а ! с е' ( е. Значит, (ар — а) — нуль-последовательность. Покажем теперь, что поле ьа не может быть далее расширено с помощью фундаментальных последовательностей, т. е.

каждая фундаментальная последовательность (ар) имеет предел уже в поле ьа (теорема Коши о сходимости). При доказательстве мы можем предполагать, что в последовательности (яр) два следующих друг за другом элемента ар, я „ всегда различны. Действительно, есля это не так, то мы либо можем выбрать подпоследовательность, состоящую нз ар, отличающихся от ар.„и нз сходимости которой, конечно, йемедленно следует сходимость данной последовательности, либо считать, что последовательность ар остается постоянной, начиная с как -з-то места: ар — — а при р ) п; конечно, в этом случае !нп ар = а Положим ! ар арм ~ = вр. Так как последовательность (а ) фундаментальна, последовательность гер) является нуль-последовательностью').

согласно предположенйю е ) О. Выберем теперь для каждого я аппроксимирующий его элемент ар со свойством (ар — ар (( ер. Сделать это можно, потому что сам элемент ар определяется фундаментальной последовательностью вида (аг„аро ...) с пределом а . Далее, для каждого е) О существуют такие и' н п", что ,'ар — а ~( — е пРи Р)п', г7)п', 1 е,( --е при р) п". Если тенерь и — наиболыпее из чисел и' и и", то для р)п, гу)п тРн абсолютные величины !ар — сер~„!Яр — ае~ и ~а — ая( 1 меньше — е и, следовательно, 1 1 1 +~ар " ~+:ат ая ( З е+ З е+ З еь а Тем самым, элементы ар составляют фундаментальную последовательность в К, определяющую некоторый элемент оз ноля й.

') До этого момента цель доказательства состояла в огыскании нуль-последовательюсти, используемой в дальнейшем. В архимедовом случае можно было бы просто положить ер —— 2 Р, но мы хотим доказать теорему в полной общности. В неархимедовом случае (2 Р) не является нуль-последовательностью. 275 Определение ВещестВенных чисел а~в при всех а из И, то в назьшается верхней границей множества И, а И называегся огрпниченным сверху. Если существует наименьшая верхняя граница, то она называется верхней гранью мномсества И. Рассмотрим опять построенное выше на основе поля К поле лг и докажем для случая, когда К, а значит, и лг архимедовы, теорему о верхней грани: Каждое непустое ограниченное сверху множество И с: С) имеет в Й верхнюю грпнь. Ф Доказательство.

Пусть в — произвольная верхняя граница множества И, а М вЂ” произвольное целое число, превосходящее в (конечно, это число — тоже верхняя граница); пусть р— произвольный элемент множества И и т — целое число, превосходящее — р. Тогда — т(р<М. Для каждого натурального числа р рассмотрим (конечное) множество всех дробей й 2-р ()г — некоторое целое число), лежащее «л1еждур — т н М: — т:-)г 2-» =:М. (з) Найдем наименьшую из трех перечисленных дробей, являющихся верхними границами множества И.

Характеристики

Список файлов книги