Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Таким образом, алгебраическое соотношение оказалось бы соотношением лишь между элементами из чо, что противоречит нх алгебраической нсзависимости. Следовательно, множество Я Ц ~ является алгебраически независимым над Р, чем и завершается доказа- тельство. $76. Дифференцирование алгебраических функций Введенное в й' 27 определение производной многочлепа 7'(х) без каких-либо дополнений переносится на рациональные функции одной переменной гр(х) =— ) (х) п(х) с коэффициентами из поля Р. Действительно, составим выражение )(х+Ь) я(х) — )(х)я(х+Л) и (х) и (х +Л) ') Эта теорема справедлива н для бесконечных степеней транспендентности, но для атого надо ввести понятие слогкснна бесконечных мощностей, о котором мы не говорили, 22бб БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕИ [Гл х тогда числитель этой дроби обращается в нуль при Ь=О; следовательно, у него есть множитель Ь.
Разделим обе части на Ь; получится ср (х+6) — ~р (х) е (х, Ь) а д(х)Р(х+Ь) ' Правая часть является рациональной функцией по Ь, которая при Ь = 0 принимает впотне определенное значение, так как знаменатель при Ь= О не обращается в нуль. Это значение рациональной функции мы называем дифферен[[и льным отношением или производной ~р'(х) рациональной функции ~р(х): (2) Чтобы фактически вычислить д (х, О), разложим числитель правой части в (1) по возрастающим степеням Ь, разделим на Ь и положим Ь=О; тогда д (х, 0) = ~' (х) д (х) — ) (х) д' (х); при подстановке этого выражения в (2) получается известная формула для производной частного: Л [(х) р (х)е(х) — [(х) е'(х) ех е(х) Р (х)2 Пусть )г (и„..., и„) — произвольная рациональная функция; пусть )г'„..., )г„' — ее частные производные по переменным и„..., и„и пусть р„..., [р„— рациональные функции от х.
Выведем формулу для полной произеодной[ и — „„)~(р " р.) =~,К(р " р.) —,,„—. (з) 1 Для этой цели в соответствии с определением производной положим [р, (х +Ь) — [р,(х) = Ь[р, (х, Ь), ф, (х, 0) = ср,' (х), и й (и, +Ьо ..., и„+и„) — Р (и„.. „и„) = х = ~~ ', ()А (и, -'; Ь„..., и, + Ь„ихам ..., и„)— — )((и,+Ь„..., и„и„„, „,, их))= п ч~~ Ьх5,(и,+Ьн ..., и,, Ь„, и, „..., и„) (4) х= — ! где 5~ (и„..., и~, О, ихл» ..., и„) = Р„' (и», и„).
диеевевнциеовхниа хлгавеиических екнкции 26) 4 76) Положим в тождестве (4) и,=~р,(х), й,=тр,(х+й) — тр,(х)=)тф,(х, й) и разделим полученное выражение на Еи Н(тгт (х+ь) ", ч, (х+ь)) — н(ттт (х), "., р,(х)) ь трт(Х~ (т) от(тр!+оф11 ° ° ° 1 трт1 пфх~ трттт» трх). т=! Положим справа 6=0; тогда ~,)~0р, "' 'р.) = ~~.',р'(х))~'(р, ", ц.), чем и доказывается (3). Попытаемся распространить теорию дифференцирования на алгебраические функции одной переменной х. Под алгебраической функцией одной переменной х мы понимаем произвольный элемент т) алгебраического расширения поля Р(х). Мы будем считать, что элемент т) сепарабелен над Р (х). Таким образом, алгебраическая функция т) является корнем некоторого неразложимого над Р (х) сепарабельного многочлена Е(х, у): Е(х, т)) =О.
Производные многочлена Е(х, у) по х и у обозначим соответственно через Е„' и Е„'. В силу сепарабельности многочлен Е„'(х, у) не имеет общих корней с Е (х, у); следовательно, Е„'(х, т)) ~0. Лля разумного определения производной йтут(х нужно потребовать, чтобы многочлен Е(х, у) удовлетворял формуле полной производной еч Е„'(х, и)+-„и Е„'(х, у)=0.
Положим по определению ЕЧ Ех(х, тй (5) Ех Е„(х Ч) Сразу усматривается, что это определение не зависит от выбора многочлена Е (х, у), потому что если Е(х, у) заменить на Е (х, у) тр(х), где ф (х) — произвольная рациональная функция от х, то Е,'(х, т)) и Е„'(х, т)) в (5) замепятся на Е„'(х, т)) тр(х)+Е(х, т)) тр'(х) =Е„'(х, 0) ф(х) БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕИ ~ГЛ Х и на Е'(х, и) ф(х), что не изменит соотношения (5). В частности, если н =с — константа из Р, то х не входит сс в уравнение, определяющее элемент гь поэтому -- = О, сх Пусть ~ — произвольный элемент поля Р(х, н), т.
с. Некото- рая рациональная функция от х и гь целая рациональная по гр ь=ср(х, и). Для этой функции мы докажем следующую формулу полной производной: и — „=<р;(х, и)+ср„'(х, 11) — „-, й~ (б) где ~р', и срс — производные от ~р (х, д) по х и по д. С этой целью составим уравнение, определяющее ь, которое можно считать целым рациональным по х и Ь: 6(х, ~) =О; подставим в него выражение ~р(х, н) для Ь и затем заменим и на переменную д. Полученный многочлен от д имеет корнем т) и потому делится на г (х, д): 6 (х, ср (х, д)) = 6 (х, д) г'(х, д).
Если продифференцировать это тождество по х и д с помощью формулы полной производной (3), то получится 6;(х, ср(х, д))+6;(х, ~р(х, д))<р„'(х, д) =()Ех'+ЯУ(х, д), 6;(х, <р(х, д)) ~р„'(х, д) =ЯР„'+Я„'Е(х, д). Заменим теперь д опять на гь благодаря чему члены с г" (х, д) обратятся в нуль; в соответствии с определением (5), далее„ дх (х т)) — ру (х 1)) ~ щч 6; (х, ь) = — 6; (х, ~) †.
Отсюда получается, что — 6*(х, 1) 3+6'(х, ~) ср,'(х, Ч) = — Я(х, Ч)Е„'(х, ~))ч-, 6;(х, ь) ср„'(х, Ч) =6(х, Ч)Р„'(х, н). Умножим второе равенство на —, прибавим к первому, н раз- делим полученное равенство на 6;; получим у+ГРк(х! Ч)+Ч!Р(х~ Ч) х =О! что и доказывает (6). После того как с помощью проведенного вычисления установлен частный случай (6), не представляет труда доказательство общей формулы полной произзодной.
Соответствующее правило таково: если Ч„..., Ч, — сепарабельные алгебраические функции от х из некоторого поля и гт (и„..., и,) — многочлен с произеодными ГГ;, то !Его(ч ° ° ч)= г,)т (ч " ч) — „„° 1 Доказательство. Пусть 6 — примитивный элемент сепарабельного расширения Р(х, Ч„..., Ч„) поля Р(х). Тогда все Ч, являются рациональными функциями от х и 6: Чч = Ч!ч (х! 6) Согласно (б), если Гр,'„и Гр,'! — производные от 1р,(х, ~) по х ипог,то — „, = р,'„(х, в)+ р,',(х, 6)„-, и, равным образом, если )т; и )т! — производные функции ГГ (ГР1(Х, ~), ..., Р„(Х, ~)), „-;гс(Ч„..., Ч.)= — „,)т(р1(х, 6), ..., р.(х, В))= л =г;(х, в)+К(х, 6) ~'.
Но в силу (3) л )1'„'(х, 1) =~)1;(ГР1(х, (), ..., 1Р„(х, ()) 1Р,'„(х, Г), 1 й!! (х, 1) = )~~нч(!Р1(х 0 ° ° ° <Р~(х, ()) !Рг!(х1 ()~ 1 следовательно, !! л — „)~(Ч1. ", ч.)= А = ~~И;(Гр,(х, 6), ..., !р„(Х, ! 6)) ~Ч1,'„(х, 6)+!р'1(х, 6) — „„) -;~ )Г'(Ч1, " . ч.) ~-„ 1 э 76~ ДИФФЕРЕНШ1РОБАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 263 264 васконвчные гасшиввния ползи [гл. к Вот важнейшие частные случаи общей формулы (7): а ач „-,(ч+1) =„—, + „-;: ахч~=ч„— „+ —, 1; и 1дч чг г~У- их Нх' (й) (1О) (1 1) Определение производных (5) применимо, конечно, не только тогда, когда х — переменная, но и тогда, когда х — любой трансцендентный относительно Р элемент, а ч — алгебраический сепарабельный элемент над Р (х). В этом случае элемент х предпочтительнее обозначать через $.
Таким образом, в любом поле степени трансцендентности 1 над Р все элементы ч, сепарабельные над Р Д), можно дифференцировать по трансцендентному элементу $. Если Ч и Ь алгебраически зависят от $, то поле Р ($, Ч, ~) имеет степень трансцендентности 1 над Р. Если теперь ч трансцендентен над Р, то ~ алгебраически зависит от Ч. Предположим, что Ь сепарабелен над Р (Ч); тогда можно построить ЛЬ7пт1. Если 6(ч, 1) =О (12) — оп; еделяющее уравнение элемента ь над Р(ч) и если 6„' и 6,' — частные производные многочлена 6(у, г), то 6„(ч, ~)+б;(ч, ~)„'-'=О, (13) С другой стороны, если продифференцировать (12) по е, то в соответствии с формулой полной производной получится равенство 6„' (ч, ь) ~ —" + б; (ч, ь) —: — = О. (14) (16) Если (13) умножить на —; и вычесть из (14), то получится Й) йй формула производной сложной функции нь л~ й) (15) ~$ = нч ' г4' В частности, при ь==$ она дает ч Таким образом, мы получили чисто алгебранчески, не прибегая к понятию предела, все обычные правила дифференциального исчисления для алгебраических функций одной переменной, Глава одиннадцатая ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ При изучении полей алгебраических чисел важны некоторые неалгебраические свойства чисел, например, абсолютное значение ', ,а ~, вееиественность, положительность.
То, что эти свойства определяются с помощью алгебраических операций + и не однозначно, может быть показано на следующем примере. Пусть ч« — поле рациональных чисел и «е — некоторый вещественный и, значит, ив — чисто мнимый корень уравнения х'=2. При изоморфизме 6 («с) л Я (йг) сохраняются все алгебраические свойства, но этот нзоморфизм переводит вещественное число «а в чисто мнимое число йг, положительное число «и» =):2 — в отрицательное число (йе)« = — 2, в то время как число 1+ и 2 с модулем, ббльшим 1, переводится в число 1 — )Г2 с модулем, меньшим 1. Однако в ходе дальнейшего исследования мы увидим, что этим неалгебраическим свойствам присущи некоторые алгебраические черты, а именно: в поле алгебраических чисел (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
