Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 52
Текст из файла (страница 52)
(Отрезок А — это по-прежнему множество элементов, предшествующих некоторому элементу а.) Они составляют вполне упорядоченное множество (с отношением А с:. В как отношением порядка); действительно, каждому элементу а взаимно однозначно соответствует отрезок А, состоящий из тех х, для которых х(а, и из Ь < а следует В с: А. Возьмем в качестве последнего отрезка 243 тРАнсФНИНТИАя индукции $7!1 само множество М; тогда множество отрезков окажется вполне упорядоченным.
Теперь мы хо~им доказать индукцпей по А, что па каждом из А существует функция 7р(х) =7рл(х) (определенная для всех х из А), удовлетворяющая заданным соотношениям. Пусть этот факт существования уже доказан для всех отрезков, предшествующих заданному отрезку А. Есть только два случая: 1. Отрезок А обладает последним элементом а. На множестве А', которое получается из А отбрасыванием элемента а, функция ~р(х) уже определена, потому что А' предшествует отрезку А. Но с помощью совокупности значений 7р((7) ((7(а) и с помощью заданного соотношения определяется значение гр(а).
Если выбрать его, то функция гр будет определена на всех элементах отрезка А и на всех этих элементах без исключения будет удовлетворять заданному соотношению. 2. Отрезок А не имеет последнего элемента. Таким образом, каждый элемент а из А принадлежит уже предшествующему отрезку В. Но на каждом предшествующем отрезке В функция 7Гв Уже опРеДелена.
Мы хотим опРеДелить: 7Р (а) = ЮН (а); для этого сначала нужно доказать, что функции гра, 7рс, ..., соответствующие различным отрезкам, совпадают в каждой общей точке этих отрезков. Пусть, следовательно, В и С вЂ” различные отрезки и пусть, например, В с: С. Тогда ч7а и гас определены на В и удовлетворяют заданным соотношениям; следовательно, онн совпадают (в силу теоремы единственности, которая уже бы.ла доказана), Таким образом, определение гр(а) =7ра(а) приобретает однозначный смысл. То, что так построенная функция удовлетворяет заданным соотношениям, очевидно, потому что таковыми являются все функции грв Таким образом, как в случае 1, так и в случае 2 существует функция 7а на А с заданными свойствами, а потомудоказаносуществование функции 7Р на любом отрезке.
В частности, в качестве такого отрезка можно взять само множество М; утверждение доказано. Глава десятая БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ Каждое поле получается из своего простого подполя с помощью конечного или бесконечного расширения. В главах 6 и 8 мы рассмотрели конечные расширения полей; в этой главе рассматриваются бесконечные расширения полей, сначала алгебраические, а затем — трансцендентные. 5 72.
Алгебраически замкнутые поля Среди алгебраических расширений заданного поля важную роль играют, конечно, максимальные алгебраические расширения, т. е. такие, которые не допускают дальнейшего алгебраического расширения. Существование таких расширений будет доказано в настоящем параграфе. Чтобы поле Й было максимальным алгебраическим расширением, необходимо следующее условие: каждый многочлсн кольца Й [х) полностью разлагается на линейные множители (иначе можно было бы, в соответствии с 5 39, расширить поле Й с помощью присоединения корня какого-либо нелинейного неразложимого множителя). Это условие является и достаточным.
Действительно, если каждый многочлен в Й [х) разлагается на линейные множители, то все простые многочлены в Й [х) линейны и каждый элемент любого алгебраического расширения Й' поля Й оказывается корнем некоторого линейного многочлена х — а в Й [х), т. е. совпадает с некоторым элементом а поля Й. Поэтому дадим следующее определение: Поле Й называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен в Й [х) разлагается на линейные множители.
Равнозначное с этим определение таково: поле Й алгебраически замкнупю, если каждый отличный от константы многочлен из Й [х] обладает в Й хоть одним корнем, т. е. хоть одним линейным множителем в Й [х). Действительно, если такое условие выполнено и произвольно взятый многочлен Г(х) разлагается на неразложимые множители, то все они должны быть линейными. лОсновная теорема алгебрыэ, к которой мы вернемся в 9 80, утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, Следующим примером алгебраически замкнутого поля может слу- 245 АЛГЕБРАНЧЕСКИ ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ 4 ТЯ жить поле всех комплексных алгебраических чисел, т.
е. Множе. ство тех комплексных чисел, которые удовлетворяют какому-либо уравнению с рациональными коэффициентами. Комплексные корни уравнения с алгебраическими коэффициентами являются и в самом деле алгебраическими не только над полем алгебраических чисел, но и пад полем рациональных чисел, т.
е. сами являк1тся алгебраическими числами. В этом параграфе мы покажем, как построить алгебраически замкнутое расширение произвольно заданного поля Р и притом чисто алгебраическим путсль Штейницу принадлежит следующая Основ н а я теорема. Для каждого поля Р су цествугт алгебраически замкнутое алгебоаическое расшиоение (г. С точностью до эквивалентности зто расширение определено однозначно: любые два алгебраически замкнутых алгебраических расширения 42, 11' поля Р эквивалентны, Доказательству этой теоремы мы должны предпослать несколько лемм: Л е м м а 1. Пусть й — алгебраическое расширение поля Р, Достаточным условием для того, чтобы Аг было алгебраически замкнутым, является разложение на линейные множители мобого многочлена из Р [х) в кольце Аг [х). Доказательство.
Пусть )(х) — произвольный многочлен из 0[х). Если он не разлагается на линейные множители, то можно присоединить некоторый его корень а и прийти к собственному надполю (г'. Элемент а является алгебраическим над 11, а 11 является алгебраическим расширением поля Р; следовательно, элемент а алгебраичен и над Р. Поэтому он является корнем некоторого Аиногочлепа д(х) из Р [х). Этот миогочлен разлагается в Й [х) на линейные множители. Следовательно, и — корень некоторого линейного множителя в Й [х), т. е. принадлежит полю ьг, что противоречит предположению.
Лемма 2. Если поле Р вполне упорядочено, то кольцо много- членов Р [х) может быть вполне упорядочено и притом так, что в этом упорядочении поле Р будет отрезком. Дока за тел ь с т во. Определим отношение порядка между многочлепами 1(х) из Р [х) следующим образом: пусть 1(х) (д(х), когда выполнено одно из условий: 1) степень 1(х) меньше степени д(х); 2) степень 1(х) равна степени д(х) и равна п, т. е. ) (х) =-аьх" +...+а„, д(х) =Ьох" +...+Ь„ и при некотором индексе й: а, =-Ь, для 1(/г, аь(Ь, в смысле упорядочения поля Р.
246 БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕННЯ ПОЛЕИ ~гл. Х При этом для многочлена О делается исключение: ему присваи- вается степень О. Очевидно, что таким способом получается неко- торое упорядочение, в смысле которого Р (х) вполне упорядочено. Показывается это так: в каждом непустом множестве многочле- нов есть ненустое подмножество многочленов наименьшей степени; пусть таковая равна и. В эзом подмножестве есть непустое под- множество многочленов, коэффициен~ а„которых является первым в смысле имеющегося порядка среди свободных членов рассматривае- мых многочленов; в указанном подмножестве есть в свою очередь подмножес~во многочленов с первым а, и т. д.
Подмножество с первым а., которое в конце концов получится, может состоять лишь из одного-единственного многочлена (так как а„..., а„ определяются однозначно благодаря последовательно выполняе- мому условию минимальности в выборе); этот многочлен является первым элемен1ом в заданном множестве.
Л е м м а 3. Если поле Р вполне упорядочено и заданы многочлен Г(х) сп1епени и и и символов ан ..., а„, то поле Р(а„..., а„), в котором ((х) полностью разлагается на линейные множители л Д (х — а~), строится единственныл~ образом и является вполне 1 упорядоченным. Лоле Р в смысле этого порядка является отрезком, До к а за тел ьство. Мы будем присоединять корни ан ..., и„ последовательно, вследствие чего из Р— -Р„последовательно будут возникать поля Р„ ..., Р„.
Предположим, что Р~, †. — Р (а„, ..., сс,,) — уже построенное поле и что Р— отрезок в Р~,, тогда Р; будет строиться так. Прежде всего в силу леммы 2 кольцо многочленов Р;,(х1 вполне упорядочивается. Многочлен ( разлагается в этом кольце на неразложимые множители, среди которых на первом месте будут стоять х — а„., х — а,,; среди остальных множителей пусть (,(х) будет первым в смысле имеющегося порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
