Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Именно: или, короче (соз ю+ ! з Рп гр)' = сов Згр + 1 з! и ЗФ, УЗ НР То, что трисекция угла ЗФ может быть сведена к этому двучленному уравнению, легко следует и из геометрической интерпретации комплексных чисел. Квадратура круга приводит к построению числа и. Ее невозможность будет установлена, если показать, что число п не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению, т, е.
является трансцендентным. Действительно, тогда п не может лежать ни ') Историю этой задачи мы знаем благодаря комментариям Архимеда по поводу выводов Ввтокия. См. в а н дер Ва рдея Б. Л. Пробуждающаяся наука — й4л Физматгиз, !959. с. 190, 194, 209-211, 221 — 224, 317-318, 324-325, которое согласно критерию Эйзенштейна неразложимо; поэтому каждый корень этого уравнения порождает расширение третьей степени. Но всякое такое расширение не может быть подполем поля степени 2 . Следовательно, задача об удвоении куба не решается с помощью циркуля и линейки.
Зада«а о гприсекции угла приводит, как мы видели, к уравневню 4х' — Зх — сс = О, ТЕОРИЯ ГАЛУА (гл. ли в каком конечном расширении поля рациональных чисел. Соответствующее доказательство, которое не относится к алгебре, см., например, в книге: Гессенберг (НеззепЬегй 6.). Тгапзгепдепг топ е ппб и. Построение правильного многоугольника, вписанного в заданную окружность, в случае л углов приводит к числу 2соз — "" =ь+ь-', ьи где ь=е" — примитивный корень л-й степени из единицы. Так как этот элемент переходит в себя лишь прн подстановках ь и ~ ~-' из группы Галуа поля деления круга, он порождает некоторое вещественное подполе степени ~; тем самым мы ф (А) 2 получаем условие для возможности построения этого числа:— . ф (А) а также ф(й) должны быть степенями двойки.
Пусть о=2'д',~ ... ... д,' (о,— нечетные числа); тогда ф(Ь)=2' д" ,... д', (о,— 1) ... (о,-1). (2) (В случае У=О первый множитель 2-' выпадает.) Условие, следовательно, состоит в том, чтобы нечетные простые делители входили в л лишь в первой степени (у,=!) и, кроме того, чтобы каждый нечетный простой делитель о; после вычитания единицы, т. е. число о; — 1, оказывалось степенью двойки, т.
е. чтобы выполнялось соотношение д~ = 2" +1. Каковы же простые числа такого вида? Число й не может делиться на нечетное число р >1, потому что из й=)ьу, р нечетное, р~1, следовало бы, что (2')"+1 делится на 2'+! и, таким образом, не является простым. Следовательно, должно иметь место равенство вида й=2' и д, = 2'~+1. Значения ).=О, 1, 2, 3, 4 действи1ельно задают простые числа оь а именно: 3, 5, !7, 257, 55537.
Для ),= 5 и нескольких больших Х (как далеко, неизвестно) число 2'+1 не является простым; например, 2'" 4-1 имее~ делитель 541, 229 ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУППЫ ГАЛУА Таким образом, каждый правильный й-угольник, где и, кроме степени двойки, содержит лишь указанные простые множители 3, 6, 17, ... не выше, чем в первой степени, можно построить с помощью циркуля и линейки (Гаусс).
Пример 17-угольника был рассмотрен нами еще в 9 60. Известны построения 3-, йч 5-, 6-, 8- и 10-угольннков. Правильные 7- и 9-угольники уже не могут быть построены с помощью циркуля и линейки, потому что они приводят к кубическому подполю в полях деления круга 6-й степени. 3 а д а ч а. Показать, что кубическое уравнение хз+ рх+ 9 = О в неприводимом случае приводится с помощью подстановки х=рх' к уравнениям типа уравнения трисекции (!), и вынес~и отсюда формулу решения куби. ческого уравнения в терминах тригонометрических функций.
$ 66. Вычисление группы Галуа. Уравнения с симметрической группой Один из методов, с помощью которого можно построить группу Галуа уравнения г (х) =О вад полем А, состоит в следующем. Пусть ав ..., а„— корни уравнения. Построим с помощью переменных и„..., и„выражение В = игаз+... + иасав' примениы к нему всевозможные подстановки з„переменнык и составим произведение Р (г, и) = П (,,в В). 5 Очевидно, это произведение является симметрической фуннцией корней и поэтому, согласно В 33, может быть выражено через коэффициенты многочлена 1(х). Разложим многочлен р (г, и) на неразложимые множители в кольце Ь(и г): р (г, и) =Г', (г, и) рэ (г, и) ...
Гг (г, и). Постановки зи, которые переводят в себя неноторый сомножитель, скажем, сомножитель Гм составляют группу З. Мы утверждаем, что группа й — это в точности группа Галуа заданного уравнения. Д о к а з а т е л ь с т в о. После присоединения всех корпел многочлен Р, а потому и миогочлен гс разлагаются на линейные множители вида г — Х и,ав, коэффициентами которых служат корни а„расположенные в некотором по.
рядке. Перенумеруеч корни так, чтобы р, содержал множитель г — (и,а,-(-... .,.+ива„). В последующем символ з„будет обозначать подстановку символов и, а з„— такую же подстановку символов а. Очевидно, что в таких обо. зна |енина подстановка зиз, оставляет выражение В = и,а, +... + и„ав инвариантным, т. е. вв воз = В, з В=з-б.
о и Если подстановка зв принадлежит группе Ч, т. е. оставляет инвариантным многочлен рн то з„переводит каждый множитель многочлена ро в частности г — В, ннов~ в некоторый линейный множитель многачлена Рг Обратно, е .тн ййо (ГЛ. УИЗ ТЕОРИЯ ГАЛУА некоторая подстановка зп переводит множитель г — 0 в другой линейный множитель многочлеиа Г,, то она переводит Г, в некоторый неразложимый в кольце й [и, г] многочлен, являющийся делителем миогочлена Р (г, и), т.
е. в один из многочленов Рт и притом в такой, у которого есть общий линейный множитель с Р„. зто означает, что Г, переводится в себя. Следовательно, подстановка зв пРинадлежит гРУппе Я Таким обРазом, гРУппа й состоит из подстановои символов и, которые переводят г — 0 в линейный множитель многочлена Р,. Подстановки в„ из группы Галуа многачлена /(х) †э таяне подстановки символов сс, которые переводят выражение 0=и,и, +...+и„а„ в сопряженные с ним и для которых, следовательно, элемент з„э удовлетворяет тому же неразложимому уравнению, что и 0, т. е, это такие подстановии ви, которые переводят линейный множитель г — 6 в другой линейный множитель многочлена Р,.
Таи каи з 0 з„'0, то подстановка а„-' также переводит линейный множитель г — 6 в линейный множитель лщогочлена Р„т. е. з„', а потому и э„, принадлежит группе 0. Верно и обратное утверждение. Следовательно, группа Галуа состоит ич тех н только тех ппдстановон, которые входят в группу ц, нужно только символы гх заменить на символы и.
Этот метод определения группы Галуа интересен не столько практически, сколько теоретически; из него получается чисто теоретическое следствие, которое звучит таи'. Пусть Я вЂ” целостное кольца с единицей, в котором имеет метло теорема об однозначном разложении на простые множители, Пусть о — простой идеал в Я и И =И/э-кочьцо классов вычетов. Пусть Ь и й — поля чистных колец И и Я.
Наконец, пусть /(х)=х" +...-много«лен из Я [х], а /(х) получается из /(х) при еомолюрфизме Я -ь Зц при«ель оба многочлена не имеют кратных корней. Тогда группа 1 уровненил /=0 над полем й (как круппа подстановок подходящим образом перенумерованных корней) лчяяегпся лодгруппой ~руппы 0 уравнения / =О. До и а з а те л ь с т в о Разложение многочлена Р(г, и)=Ц(г — зпэ) е на неразложимые множители Ро Г,, ..., Р» в польце й [г, и], согласно 0 30, осуществляется уже в Я [г, и], и поэтому его можно перенести с помощью естественного гомоморфизма на И [г, и]: Р(г, и)=Р» Ра " Р» Множители Р,...,, возможно, окажутся разложимыми дальше.
Подстановии иэ группы 0 переводят Рь а потому и Р, в себя, а остальные полста. новик символов и переводят Р» в Рв, ..., Р». Подстановки из группы ь) пере. водят любой неразложимый множитель многочлена Р, в себя', поэтому они не могут переводить Р, в Рз, ..., Р»: обяз тельно Р, переводится в себя, т.
е. 0-неиоторая подгруппа группы й. Эта теорема часто используется для нахождения группы Я. При этом идеал Р выбирают тан, чтобы миогочлен /(х) был разложим йо модулю р, потому что тогда легче определить группу 0 уравнения /. Пусть, например, И вЂ коль целых чисел и г = (р), где р — простое число Тогда по ь1одулю р миогочлен /(х) представляется в виде /(х) ~юг (х) срз (х) ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
