Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Последователыюе применение двух подстановок 0 ьч0 и 0 ~Р0 дает 0 сп "О. Следовательно, каждой подстановке соответствует некоторый вполне определенный корень нз единицы ~', а произведению подстановок — произведение корней из единицы. Поэтому группа Галуа изоморфна некоторой подгруппе группы корней п-й степени из единицы. Так как последняя группа циклична, то любая подгруппа н ней тоже циклична и, следовательно, циклична сама группа Галуа.
Если, в частности, уравнение х" — а =О неразложимо, то корни гч0 сопряжены с 9 и группа Галуа изоморфна полной группе корней и-й степени из единицы. В этом случае ее порядок равен п. Теперь мы хотим показать, что, наоборот, каждое циклическое поле и-й степени над К порождается корнями двучленного уравнения х" — а =- О. Пусть Х вЂ” циклическое поле степени и и пусть о — порогкдающая подстановка из группы Галуа, т. е.
о" =1. Предположим опя1ь, что основное поле К содержит корни п-й степени из единицы. з) Очевидно, все зтн хорна различны, тав что уравнение сепаравельно тиот!я гллул ~гл лп Пусть ь — примитивный корень и-й сгепени пз единицы в позе К. Для каждого элемента а из г' составим резольвенту Лагранжа (Ь, а) =-а+ьоа+(,'о'я+...+~"-'о" 'а.
(1) Согласно теореме о независимости из й 54 автоморфизмы 1, о, о',, о" ' линейно независимы; поэтому элемент а можно выбрать в г. так, чтобы было (ь, а)пьО. Автоморфизм о переводит (ь, а) в о((, я).—..-па+~оса+...+Ь"-'я= =~-'яоя+Ьэо'а+...+а) =Ь-'(с сс). (2) Поэтому и-я степень (с, а)" остается неизменной под дейсз вием подсгановки и, т. е. (ь, а)" принадлежит основному полю К. Из (2) повторением описанного рассуждения получается равенсзво и'(",, а) = ь- в (ь, я). Единственная подстановка из группы Галуа, которая оставляет неизменным элемент (~, сс), является тождественной. Следовательно, (ь, я) порождает все поте К(а).
Отсюда мы получаем нужный результат: Любое Чиклическое поле и-й степени при условии, что его основное поле содержит корни и-й степени из единииы и п не делится на характеристику, получается присоединением корня и-й степени из некоторого элемента основного поля. Если основное поле К не содержит корней п-й степени из единицы, то для использования описанного метода нужно сначала присоединить к К корни ь п-й степени из единицы. При таком присо'динении группа Галуа остается циклической. Локажем теперь енсе несколько фактов о неразложижости двучленных уравнений простой степени р.
Сначала предположим, что основное поле К содержит корпи р-й степени из единицы; тогда согласно доказанному в начале этого параграфа группа Галуа является подгруппой циклической группы порядка р, а потому либо всей группой, либо единичной группой. В первом случае все корни сопряжены и, следовательно, уравнение неразложимо. Во втором случае все корни осзаются ппвариантными относительно подстановок группы Галуа; следовательно, уравнение распадается на линейные множители уже в поле К. Итак„лсногочлен хе — а либо нерозлоисиж, либо полностью разлагается на линейные множители.
Если поле К не содержит корней из единицы, то утверждать так много уже нельзя. Однако имеет место теорема: Либо многочлен х" — а неразложи.ч, либо элемент а является р-й степенью и в силе К ил:еет место равенство: хе — а =х" — ре =(х — р) (хв-'+ рхл '+... + ре-'). 211 РЕ1ПЕИИЕ УРЛВИЕ1ИРЛ В РАДИКЛЛЛХ Доказательство. Предположим, что многочлен хр — а разложим: хр — а = 1р(х) ф(х). В своем поле разложения многочлеп хр — а разлагается следующим образом: р — 1 хр — а=П (х — Ь'8) (ар=а).
Следовательно, множитель тр(х) должен быть произведением множителей х — ь'8, а свободный член -+ Ь многочлена гр(х) должен иметь вид + ~'6Р, где ь' — корень р-й степени из единицы: Ь = ь'8Р, Ьр — арн — ан Так как 0 ()ь ~ р, имеет место равенство (р, р) = 1; поэтому при подходящих целых рациональных числах р и о рр+ ор =!, а =арнаор =Ь а следовательно, элемент а является р-й степенью.
Интересные теоремы о разложимости двучленных уравнений содержатся в работах К а п е л л и (Сареш А.). 8н11а гыос!Ы1па беие ещ1ах)оп! а12еЬМ. с!1с. — 'Иепб!соп!1 Маро!1, !898 и Да р б и (ЭагЫ бь). 8о11а г)бис!Ы1иа 1!е!1е еянагюш а)йеЬпсйе. — Аппа)! РИ Ма!. (4), 1928, 4, р. 185 — 208, 3 а д а ч а. Если не предполагается, что основное поле Н содержит корни л-й степени из сдиинды, то группа двучлспного уравнения х" — а — — О изоморфна некоторой группе линейных подстановок по модулю ч: к' нв сх + Ь. !Соотвстству1ентее ноРмальное поле равна Н (8, Ь) н Для кажДой подсгановки о нз группы справедливы равенства о" = Ге и аб = Гаэ.) $62. Решение уравнений в радикалах Известно, что корни уравнений второй, третьей и четвертой степеней выражаются через коэффициенты этих уравнений с помощью рациональных операций и извлечения корней )гс, )Г, («радикалов») (ср.
8 64). Поставим теперь вопрос: какие вообще уравнения обладают тем свойством, что нх корпи выражаются через элементы основного поля К с помощью рациональных операций и радикалов? При этом мы можем, конечно, ограничиться неразложимыми уравнениями с коэффициентами из К. Задача состоит в том, чтобы последовательным присоединением элементов вида )г а (где а принадлежит уже построенному полю) построить над К поле, которое содержит один или все корни заданного уравнения. ТЕОРИЯ ГАЛУА !гл уи! Такая постановка вопроса является, однако, неточной в слеп дующем отношении. Корень р', вообще говоря, является многозначной функцией в поле н возникает вопрос, какое именно из значений следует понимать под у а. Например, если выразить через радикалы примнтивнь!й корень шестой степени из единицы, то представление ~/ ! или даже '1)'! будег неудовлетворительным, ! ! в то время как представление ь= — Т- — )à — 3 намного удовле.
2 2 ! ! творительнее, так как выражение — + — 'у — 3 при л юбом вы- 2 2 боре значений корня ) — 3 (т. е. выборе решения уравнения х'+3 =О) дает оба примитивных корня шестой степени из единицы. Важнейший вывод, который можно сделать из этого наблюдения, состоит в следующем: нужно, чтобы, во-первых, все решения рассматриваемых уравнений представились в виде у ., ус. +ус. +, +..
(1) (или аналогичном) и, во-вторых, эти выоажения при л ю бо м выборе входящих в них радикалов представляли решения рассматриваемого уравнения. (Конечно, имеется ввиду, что если радикал ~/а входит в выражение (1) несколько раз, то ему всюду придается одно и то же значение,) Предположим, что первое требова ше выполнено. Тогда будет выполнено и второе, если позаботиться о том, чтобы при последовательном присоединении радикалов "/а всякий раз уравнение х" — а=О было неразложимым. Действительно, тогда все возможные значения функции ~ а будут сопряженными и, следовательно, могут переводиться друг в друга изоморфпзмами; эти изоморфизмы при всех последующих присоединениях можно продолжать до изоморфизмов очередного расширения (ср.
2 41). Следовательно, если при некотором выборе значения радикала "/а выражение (1) дает корень рассматриваемого уравнения, то и при любом другом значении этого радикала упомянутое выражение вновь дает корень уравнения, потому что любой изоморфизм переводит корни многочлена из К(х) в корни этого же многочлена. Г!осле этих предварительных замечаний мы можем сформулировать основную теорему об уравнениях, разрешимых в радикалах: 1. Если какой-либо корень неразложимого в Н уравнения !(х) = О представляется в виде (1) и если показатели радикалов в этом выражении не делятся на характеристику поля Н, то группа Галуа данного уравнения разрешима. 2. Обратно, если Ре!Пение уРАВнения В РАлггхчлАк з 62! еруппа Галуа уравнения разреиигма, то все корни уравнения представляются в виде (1); при этом показатели последовательно присоединяе.иых радика,гов ~/а будут простыми числами, а соответспгвуюи1ие уравнен!!я х" — а = О неразложимы.
Предполагается, что характеристика поля К равна нулю или превосходит наибольшее простое число, содерэкаи(ееся среди порядков композиционных факторов '). Зта теорема, по существу, утверждает, что для решения вопроса о разрешимости уравнения в радикалах достаточно решить вопрос о разрешимости группы. В действительности, теорема утверждает нечто болыпее, потому что в первой ее части понятие разрешимости в радикалах сформулировано в наиболее слабом виде, а во второй — в наиболее сильном. До к а з а тел ь от в о.
1. Прежде всего мы можем считать показатели корней простыми числами, воспользовавшись тем, что Присоединим к полю К корни из единицы степени р„степени р, н т, д., где р„р„...— простые числа, входящие в показатели корней, участвующих в (!). В результате получится серия циклических нормальных расширений, которые мы можем считать разложенными на расглирения простых степеней.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
