Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 40

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 40)

Это отношение, во-первых, рефлексивно, во-вторых, симметрично, в-третьих, транзитивно, потому что: 1) аа =а для о = 1; 2) из па =Ь следует о-'Ь=а; 3) нз па =Ь, ТЬ =с следует, что (та)а=с. Следовательно, этим условием определяется разбиение множества Э)1 на классы.

Если группа 9 транзитивна над 321 и 9,— подгруппа, состоящая из элеме11тов группы 9, оставляющих неподвижным элемент а из Э)1, то каждый левый смежный класс т9, по подгруппе 9, переводит элемент а в однозначно определенный элемент та. Таким образом, левым смежным классам взаимно однозначно соответствуют элементы множества %. Следовательно, число смежных классов (индекс группы 9,) равно числу элементов множества )Т11. таким образом, эта подстановка переставляет лишь пять чисел, в то время как т переставляет более пяти чисел.

Таким образом, во всех случаях подстановка т 'т, переставляет меныпе чисел, чем т, что противоречит выбору т. Следовательно, подстановка т может переставлять лишь три числа. Но тогда т является тройным циклом и, согласно лемме, 91=91„. Теорема полностью доказана. Задач а, доказать, что для и Ы:4 энакоперемепная группа Яа является единственной нормальной подгруппой группы 9„, отличной от самой этой группы и от рд ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП ?гл УП Группа тех элементов из ?э), которые оставляют инвариантиыми элемент та, задается равенством Ф'„= т?э),т '. Транзитивная группа подстановок некоторого множества Я называется импримитивной, если Я разбивается по меньшей мере на два непересекающихся подмножества Я„, эд?м ..., из которых хотя бы в одном содержится более одного элемента, причем элементы группы переводят каждое з1?Р в некоторое Я, Множества Ю?н !Й,, ...

Называются областями импримитивности. Вели же разбиение ~1=~?,о.а,о „, только что указанного вида невозможно, то группа называется примитивной. П р и м е р ы. Четверная группа Клейна импримитивна с областями импримитивности ?1, 2), 13, 4). ?Впрочем, возможны еще два разбиения на области импримитивности.) Наоборот, полная группа подстановок ?и, равным образом, зиакопеременная группа) на и символах обязательно явяяется примитивной, потому что для каждого разложения множества Я на подмножества, например, Я=?1, 2, ..., /г) 01...)1) ... 11(Ф(п), существует подстановка, которая переводит 11, 2, ..., я) в ?1, 2, ..., й — 1, я+1), т. е. в множество, имеющее с ?1, 2,,й) общие элементы и ие совпадающее с ним.

При любом разбиении Я = ?Р)?и ..., Ю?,) с описанным выше свойством, в котором, следовательно, группа ?Н переставляет множества ог1, между собой, для каждого у существует подстановка, принадлежащая группе, которая переводит 'Й, в Я,. Действительно, нужно лишь на основе транзитивности найти такую подстановку, которая произвольно взятый элемент из Я, переводит в какой-нибудь элемент из Ю?,; тогда эта подстановка будет переаодить Я, в %„. Отсюда, в частности, следует, что множества Эд?и ш?„... состоят из одного и того же числа элементов. Для произвольной транзитивной группы подстаиовок 1)) некоторого множества Я выполняется следующая теорема: Пусть й — подгруппа, состояи)ая из тех элементов группы ?э), которые оставляют неподвижным некоторый элемент а множества Ю?, Если группа сг) импримитивна, то сии?ествует иадгриппа ?), отличная огп 9 и от й, для которой Вс?)с?,Е, тРАнзитиВность и ПРимитиВность рйз и обратно, если существует подгруппа (, удовлегпворяющая этим включениялк то Рб импримитивна.

Группа й остпавляетп неподвижной одну из областей импримитивности й))т, а левые смежные классы по 11 переводят 9)1, в те или иные области !Йт Д о к а з а тел ь с т в о. Пусть сначала группа !б импримитивна и !Й = ('.())„Р!)1„...) — ее разложение на области иашримитивности.

Пусть а — некоторый элемент области '.))!н Пусть й — подгруппа элементов группы б), оставляющих ипварнантным множество .'))!т. Согласно сделанному выше замечанию группа 1) содержит все подстановки из 1з1, переводящие а в себя или в какой- нибудь другой элемент подмножества 3))т; отсюда следует, что йс:!) и ))~й. Но в группе бб существует подстановка, которая переводит 21„скажеьн в ЭМт; поэтому ! =~!1). Если т переводит систему 93)т в й))ч, то и весь смежный класс т) переводит ))1, в й)1,. Обратно, пусть й — группа, отличная от 9 и от 1Ч и пусть й~!)с:6. Группа 9 распадается на смежные классы т!) и каждый из этих смежных классов распадается на смежные классы о,).

Последние смежные классы переводят элемент а в некоторые элементы оа; следовательно, если их собрать в смежные классы т(), то элементы оа составят по меньшей мере два непересекающихся множества й))н чд)„, каждое из которых состоит по меньшей мере из двух элементов. Множества Ыч определяются, таким образом, условием 1)31, = т! а. Каждая новая подстановка о переводит 3)!я =т!)а в от1а, т. е. опять-таки в некоторое множество того же вида, чем и доказывается импримитивность группы !б.

Обозначим через й))т множество, получающееся в соответствии с (1) при к=1; тогда 1) (в силу й'.)д)т =-()1)а = — !а=У!э) оставляет область импримитивности 'б(т неподвижной, а смежные классы М переводят ЭЛт в остальные области импримитивности а)1, (в силу т 3))т =т1)1;а =т!)а) . 3 а д а ч а 1. Если часло элементов множества бя простое, то каждая транзитивная группа на рд примитивна. 3 а да ч а 2. Определенная выше группа Ь транзитивна на )В1Н Задач а 3.

Пусть множество ан разлагается на три области пмпримнтив. ности, в каждой из которых по два элемента. Пусть порядок группы З равен !2. Чему равен а) индекс группы !) в группе 1Э; б) индекс группы ч в группе !); в) порядон группы ЗЭ 3 а д а ч а 4. Порядок транзитивной группы подстановок конечного мно. жества объектов делится на число этих объектов. Замечание. Число перестав.чяемых объектов называет я степенью группы подстановок. Глава восьмая ТЕОРИЯ ГАЛУА Теория Галуа занимается конечными сепарабельными расширениями поля Х и, в часзпости, их изоморфизмами и автоморфизмами.

В ней устанавливается связь между расширениями данного поля Х, содержащимися в фиксированном нормальном расширении этого поля, и подгруппами неко»орой специальной конечной группы. Благодаря этой теории оказывается возможным ответить на различные вопросы о разрешимости алгебраических уравнений. Другое изложение теории Галуа см. в книге А рт и н (Аг1гп Е), Са!о!в 1пеогу. — Мо1геОап1е, !944. Все тела, рассматриваемые в этой главе, считаются коммутативными. После Х будет называться основным. $ б7. Группа Галуа Если задано основное поле Х, то согласно 0 46 каждое конечное сепарабельное расширение Е э1ого поля порождается некоторым «примитивным элементом» 0: Е=Х(0).

Соглас>о 0 44 расширение Е имеет в некотором подходяще выбранном расширении Й столько же пзоморфизмов над Х, т. е. изоморфизмов, оставляющих все элементы из Х на месте, какова степень н расп1ирения Е поля Х. В качестве такого расширения 11 можно взять поле разложения многочлена )(х), корнем которого является элемент О. Такое поле разложения является наименьшим над Х нормальным расширением, содержащим поле Е, или, как мы еще будем говорить, й является нормальным расширением, ссопметсл«ву~ащим полю 2'.

Изоморфизмы расширения Х (О) над Х могут быть определены благодаря тому обстоятельству, что элемент 8 переводится ими в сопряженные элементы 0„..., О„поля 11. Каждый элемент «р(0) =- )'ахзх(ах еп Н) переходит тогда в «р(0«)= =~~ ~а«0, и поэтому вместо того, чтобы говорить об изоморфизме, можно говорить о поде»пановке 0 О,. Необходимо, однако, обратить внимание на то, что элементы 0 и О„являются лишь вспомогательным средством, делающим более удобным представление изоморфизмов, и что ион я- 190 ГРУППА ГАЛУА $571 т и е изоморфизма совершенно не зависит от того или иного выбора элемента В.

Если г. — нормальное расширение, то все сопряженные поля К (0,) совпадаквп с Х. Действительно, прежде всего, в этом случае все В, содержатся в К (О). Но К (0,,) эквивалентно К (0), а потому является нормальным, Следовательно, и наоборот, элемент В содержится в каждом поле К(0,). Обратно: если Х совпадает со всеми полями г. (0„), то расши.

рение Х нормально. Действительно, в этой ситуации расширение У равно полю разложения Н (В„,. „В„) многочлена ) (х), а потому оно нормально. Будем впредь считать, что Х =К (0) — нормальное расширение. В этом случае изоморфнзмы, переводящие Х в сопряженное с ннм поле К (0,,), оказываются автоморфизмами поля Х. Очевидно, что эти автоыорфнзмы поля г. (оставляющие неподвижным каждый элемент нз К) составляют группу из и элементов, которая называется группой Галуа поля Х над полем К или относительно К.

Характеристики

Список файлов книги